高三数学2.7对数与对数函数课件

1、要点梳理要点梳理1.1.对数的概念对数的概念（1 1）对数的定义）对数的定义 如果如果a ax x= =N N( (a a00且且a a1)1)，那么数，那么数x x叫做以叫做以a a为底为底N N的对的对 数，记作数，记作 ，其中，其中_叫做对数的底数叫做对数的底数,_,_ 叫做真数叫做真数. . 2.7 2.7 对数与对数函数对数与对数函数 基础知识基础知识 自主学习自主学习a aN Nx x=log=loga aN N（2 2）几种常见对数）几种常见对数2.2.对数的性质与运算法则对数的性质与运算法则（1 1）对数的性质）对数的性质 =_;=_;logloga aa aN N=_(=_(

2、a a00且且a a1).1). 对数形式对数形式特点特点记法记法一般对数一般对数底数为底数为a a( (a a00且且a a1)1)_常用对数常用对数底数为底数为_自然对数自然对数底数为底数为_e elnln N Nlglg N Nlogloga aN N1010NaalogN NN N（2 2）对数的重要公式）对数的重要公式 换底公式换底公式: (: (a a, ,b b均大于零且不等均大于零且不等 于于1)1)； 推广推广logloga ab bloglogb bc cloglogc cd d= = _. _.bNNaablogloglog,log1logabbalogloga ad d

3、(3)(3)对数的运算法则对数的运算法则 如果如果a a00且且a a1,1,M M0,0,N N0,0,那么那么 logloga a( (MNMN)=_;)=_; =_; =_; logloga aM Mn n= = _(_(n nR R);); logloga aM M+log+loga aN Nlogloga aM M-log-loga aN NNMalogn nlogloga aM M .loglogMmnManam3.3.对数函数的图象与性质对数函数的图象与性质a a1100a a111时时,_,_当当00 x x111时时,_,_当当00 x x100y y00y y00y y00

4、1 10 0增函数增函数减函数减函数4.4.反函数反函数 指数函数指数函数y y= =a ax x与对数函数与对数函数_互为反函数，它互为反函数，它 们的图象关于直线们的图象关于直线_对称对称. . y y=log=loga ax xy y= =x x基础自测基础自测1.1.（20092009湖南理）湖南理）若若loglog2 2a a0, 1,1,b b0 B.0 B.a a1,1,b b00 C.0 C.0a a1,0 D.00 D.0a a1,1,b b00 解析解析 loglog2 2a a0=log0=log2 21,01,0a a1.1. b b0. 0. , 1)21(b,)21

5、(1)21(0bD2.2.已知已知loglog7 7loglog3 3(log(log2 2x x)=0)=0，那么，那么 等于等于 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由条件知由条件知loglog3 3(log(log2 2x x)=1,log)=1,log2 2x x=3,=3, x x=8,=8,21x31634233.4221xC3.3.若若a a=0.3=0.32 2, ,b b=log=log2 20.3,0.3,c c=2=20.30.3, ,则则a a, ,b b, ,c c的大小关系是的大小关系是 （ ） A.A.a a b b c c B.B.

6、a a c c b b C. C.b b c c a a D.D.b b a a c c 解析解析 a a=0.3=0.32 2(0,1),(0,1),b b=log=log2 20.30,0.30, c c=2=20.30.3(1,+),(1,+),b b a a 11，函数，函数f f( (x x)=log)=loga ax x在区间在区间 a a,2,2a a 上的最大值上的最大值 与最小值之差为与最小值之差为 则则a a等于等于 （ ） A. B.2 C. D.4A. B.2 C. D.4 解析解析 根据已知条件根据已知条件logloga a2 2a a-log-loga aa a=

7、= 整理得：整理得：logloga a2 = 2 = 则则 即即a a=4.=4.,21222,21,21, 221aD5.5.函数函数 的定义域是的定义域是_._. 解析解析 要使要使 有意义有意义 需使需使 0303x x-21,-21,即即 b b c c B.B.a a c c b b C. C.b b a a c c D.D.b b c c a a (1)(1)引入中间量如引入中间量如“1”1”或或“ ”“ ”比较比较. . (2) (2)利用对数函数的图象及单调性利用对数函数的图象及单调性. . 解析解析 a a=log=log2 21,1, a a b b, ,a a c c.

8、. b b c c,a a b b c c. . , 3log2b,2log3c, 12log21, 13log2132cb, 12lg3lg2log3log2232又思维启迪思维启迪21A探究提高探究提高 比较对数式的大小，或证明等式问题是比较对数式的大小，或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多对数中常见题型，解决此类问题的方法很多, ,当底当底数相同时可直接利用对数函数的单调性比较数相同时可直接利用对数函数的单调性比较; ;若底若底数不同，真数相同数不同，真数相同, ,可转化为同底（利用换底公式）可转化为同底（利用换底公式）或利用对数函数图象，数形结合解得；或利用对数函数图

9、象，数形结合解得；若不同底，若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较不同真数，则可利用中间量进行比较. . 知能迁移知能迁移2 2 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小. . (1) (1) (2)log (2)log1.11.10.70.7与与loglog1.21.20.7;0.7; (3) (3)已知已知 比较比较2 2b b,2,2a a,2,2c c的大的大 小关系小关系. . 解解 （1 1） loglog log5 51=0,1=0, ;56log32log53与,logloglog212121cab32log356log5.56log32log53(2)(2)方法一方法一

10、00.71,1.11.2,00.71,1.1log0log0.70.71.1log1.1log0.70.71.2,1.2,即由换底公式可得即由换底公式可得loglog1.11.10.7log0.7log1.21.20.7.0.7.方法二方法二 作出作出y y=log=log1.11.1x x与与y y=log=log1.21.2x x的图象的图象. .如图所示两图象与如图所示两图象与x x=0.7=0.7相相交可知交可知loglog1.11.10.7log0.7 a a c c, ,而而y y=2=2x x是增函数，是增函数，2 2b b22a a22c c. . ,logloglog2121

11、21cab且xy21log,2 . 1log11 . 1log17 . 07 . 0题型三题型三 对数函数的性质对数函数的性质【例例3 3】 已知函数已知函数f f( (x x)=log)=loga ax x ( (a a0,0,a a1)1)， 如果对于任意如果对于任意x x33，+)+)都有都有| |f f( (x x)|1)|1成立，成立， 试求试求a a的取值范围的取值范围. . 当当x x33，+)+)时，必有时，必有| |f f( (x x)|1)|1成成 立立, ,可以理解为函数可以理解为函数| |f f( (x x)|)|在区间在区间33，+)+)上的最上的最 小值不小于小值不

12、小于1.1. 解解 当当a a11时，对于任意时，对于任意x x33，+),+),都有都有f f( (x x)0.)0. 所以所以,|,|f f( (x x)|=)|=f f( (x x),), 而而f f( (x x)=log)=loga ax x在在33，+)+)上为增函数，上为增函数， 对于任意对于任意x x33，+),+),有有f f( (x x)log)loga a3.3.思维启迪思维启迪因此因此, ,要使要使| |f f( (x x)|1)|1对于任意对于任意x x33，+)+)都成立都成立. .只要只要logloga a31=log31=loga aa a即可，即可，11a a3

13、. 3. 当当00a a11时，对于时，对于x x33，+),+),有有f f( (x x)0,)0,|f f( (x x)|=-)|=-f f( (x x). ). f f（x x）=log=loga ax x在在33，+)+)上为减函数，上为减函数，- -f f（x x）在）在33，+)+)上为增函数上为增函数. .对于任意对于任意x x33，+)+)都有都有| |f f( (x x)|=-)|=-f f( (x x)-log)-loga a3. 3. 因此，要使因此，要使| |f f( (x x)|1)|1对于任意对于任意x x33，+)+)都成立都成立, ,只要只要-log-loga

14、a3131成立即可，成立即可，综上综上, ,使使| |f f( (x x)|1)|1对任意对任意x x33，+)+)都成立的都成立的a a的的取值范围是取值范围是(1(1，3 3 ，1). 1). 本题属于函数恒成立问题，即在本题属于函数恒成立问题，即在x x33，+)+)时时, ,函数函数f f( (x x) )的绝对值恒大于等于的绝对值恒大于等于1.1.恒成恒成立问题一般有两种思路立问题一般有两种思路: :一是利用图象转化为最值一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题问题；二是利用单调性转化为最值问题. .这里函数的这里函数的底数为字母底数为字母a a, ,因此需对参数因此

15、需对参数a a分类讨论分类讨论. . . 131, 31,1log13logaaaaa即31探究提高探究提高知能迁移知能迁移3 3 (1) (1)设设f f( (x x)= )= 是奇函数，则使是奇函数，则使 f f( (x x)0)0的的x x的取值范围是的取值范围是 （ ） A.(-1,0) B.(0,1)A.(-1,0) B.(0,1) C.(-,0) D.(-,0)(1,+) C.(-,0) D.(-,0)(1,+) 解析解析 f f（x x）为奇函数，）为奇函数，f f（0 0）=0.=0. 解之，得解之，得a a=-1.=-1.f f( (x x)= )= 令令f f( (x x)

16、0)0，则，则 x x(-1(-1，0). 0). )12lg(ax.11lgxx, 1110 xxA(2)(2)已知已知f f( (x x)=log)=loga a(3-(3-a a) )x x- -a a 是其定义域上的增函数是其定义域上的增函数, , 那么那么a a的取值范围是的取值范围是 （ ） A.(0,1) B.(1,3)A.(0,1) B.(1,3) C.(0,1)(1,3) D.(3,+) C.(0,1)(1,3) D.(3,+) 解析解析 记记u u=(3-=(3-a a) )x x- -a a, , 当当11a a333时，时，y y=log=loga au u在其定义域内

17、为增函数，在其定义域内为增函数， 而而u u=(3-=(3-a a) )x x- -a a在其定义域内为减函数，在其定义域内为减函数， 此时此时f f( (x x) )在其定义域内为减函数，不符合要求在其定义域内为减函数，不符合要求. . 当当00a a11,1,x x2 21,1,则点则点A A、B B的纵坐标分别为的纵坐标分别为loglog8 8x x1 1、loglog8 8x x2 2. .因为因为A A、B B在过点在过点O O的直线上，的直线上，所以所以 点点C C、D D的坐标分别为的坐标分别为( (x x1 1,log,log2 2x x1 1) )、( (x x2 2,log

18、,log2 2x x2 2),),由于由于loglog2 2x x1 1= =3log= =3log8 8x x1 1,log,log2 2x x2 2=3log=3log8 8x x2 2, ,OCOC的斜率为的斜率为k k1 1= = ,loglog228118xxxx2loglog818x,log3log118112xxxx解题示范解题示范2 2分分4 4分分（2 2）解解 由于由于BCBC平行于平行于x x轴，知轴，知loglog2 2x x1 1=log=log8 8x x2 2，即得即得 代入代入x x2 2loglog8 8x x1 1= =x x1 1loglog8 8x x2

19、 2, ,得得 由于由于x x1 11,1,知知loglog8 8x x1 10,0,故故 又因又因x x1 11,1,解得解得x x1 1= ,= ,于是点于是点A A的坐标为的坐标为 利用函数图象和解析几何的思想方法利用函数图象和解析几何的思想方法, ,突突出了本题的直观性出了本题的直观性. .将对数的运算融于几何问题，体将对数的运算融于几何问题，体现了数形结合的思想现了数形结合的思想. . 探究提高探究提高,log31log3122212xxxx,log3log1811831xxxx,3131xx 3).3log, 3(8ODOD的斜率为的斜率为k k2 2= = 由此可知由此可知k k

20、1 1= =k k2 2, ,即即O O、C C、D D在同一直线上在同一直线上. . ,log3log228222xxxx6 6分分8 8分分1212分分知能迁移知能迁移4 4 已知函数已知函数 是奇函数是奇函数( (a a0,0, a a11）. . (1) (1)求求m m的值；的值； (2)(2)判断判断f f( (x x) )在区间在区间(1,+)(1,+)上的单调性并加以证明上的单调性并加以证明. . 解解 （1 1）f f（x x）是奇函数，）是奇函数， f f（- -x x）=-=-f f（x x）在其定义域内恒成立，）在其定义域内恒成立， 1-1-m m2 2x x2 2=1

21、-=1-x x2 2恒成立，恒成立， m m=-1=-1或或m m=1=1（舍去），（舍去），m m=-1. =-1. 11log)(xmxxfa,11log11logxmxxmxaa即（2 2）由（）由（1 1）得）得 ( (a a0,0,a a1),1), 任取任取x x1 1, ,x x2 2(1,+).(1,+). 设设x x1 1 1,1,x x2 21,1,x x1 1 0,-10,x x2 2-10,-10,x x2 2- -x x1 10.0.11log)(xxxfa,11xx,) 1)(1()(21111)()(,11)(,11)(2112221121222111xxxxxx

22、xxxtxtxxxtxxxt则t t( (x x1 1)t t( (x x2 2),),即即 当当a a11时，时， f f( (x x) )在（在（1,+1,+）上是减函数；）上是减函数；当当00a a100，且，且a a1)1)与对数函数与对数函数y y=log=loga ax x ( (a a0,0,且且a a1)1)互为反函数，应从概念、图象和性质互为反函数，应从概念、图象和性质 三个方面理解它们之间的联系与区别三个方面理解它们之间的联系与区别. .3.3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性 质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象质，要

23、记忆函数的性质可借助于函数的图象. .因此要因此要 掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函 数和对数函数的图象数和对数函数的图象. . 一、选择题一、选择题1.1.（20092009湖南文，湖南文，1 1） 的值为的值为 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析定时检测定时检测2log2.212log2log2122212122D2.2.函数函数 的反函数是的反函数是 （ ） A. A. B. B. C. C. D.D. 解析解析 x x1,01,0 x x-1-1x x. .) 1(1log2xxxy)0(122xyx

24、x)0(122xyxx)0(212xyxx)0(212xyxx,1221log, 01log. 1122yyxxxyxxyxx解得由).0(1221log.122,2xyxxyyyxxxxx的反函数为得互换A3.3.(2009(2009辽宁文，辽宁文，6)6)已知函数已知函数f f( (x x) )满足：当满足：当x x44时，时， 当当x x44时，时，f f( (x x)=)=f f( (x x+1).+1).则则f f(2+log(2+log2 23)=3)= （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 因为因为2+log2+log2 234,34,34,故故f f

25、(3+log(3+log2 23)=3)=.24131)21()21(33log32;)21()(xxf2411218183A4.4.已知已知00 x x y y a a1,1,m m=log=loga ax x+log+loga ay y，则有，则有 （ ） A.A.m m0 B.00 B.0m m11 C.1 C.1m m2 D.22 解析解析 m m=log=loga axyxy,0,0 x x y y a a1,01,0 xyxy a a2 21.logloga aa a2 2=2. =2. D5.5.若函数若函数f f( (x x) )满足：满足：f f( (x x)=)=f f(

26、(x x+2)+2)且当且当x x11，33时，时， f f( (x x)=|)=|x x-2|,-2|,则方程则方程f f( (x x)=log)=log5 5x x的实根的个数是（的实根的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 解析解析 由已知得由已知得f f( (x x) )是以是以2 2为最小正周期的函数，为最小正周期的函数， 又又x x1,31,3时时, ,f f( (x x)=|)=|x x-2|,-2|,所以其图象如下图所示所以其图象如下图所示. . 由于由于loglog5 55=1,5=1,且且y y=log=log5 5x x是增函数是增函

27、数, ,所以所以f f( (x x) )的图象与的图象与 y y=log=log5 5x x的图象有且仅有的图象有且仅有4 4个不同交点，也就是方程个不同交点，也就是方程 f f( (x x)=log)=log5 5x x有有4 4个不同实根个不同实根. . D6.6.函数函数y y=log=loga a| |x x+ +b b| (| (a a0,0,a a1,1,abab=1)=1)的图象只可能的图象只可能 是是 （ ） 解析解析 由由a a0,0,abab=1=1可知可知b b0,0, 又又y y=log=loga a| |x x+ +b b| |的图象关于的图象关于x x=-=-b b

28、对称，对称， 对称轴对称轴x x01,1,且且00a a1,1,由单调性可知，由单调性可知，B B正确正确. . B二、填空题二、填空题7.7.(2009(2009江苏，江苏，11)11)已知集合已知集合A A=x x|log|log2 2x x2,2,B B= = (-, (-,a a),),若若A A B B, ,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是( (c c,+),+), 其中其中c c=_.=_. 解析解析 loglog2 2x x2,02,04,4, c c=4. =4. 8.8.计算计算 loglog5 525=_.25=_. 解析解析 原式原式=(-4)=(-4)1 1+

29、log+log5 55 52 2=-4+2=-2. =-4+2=-2. 4 4313)4(-2-29.9.已知已知00a a b b11c c, ,m m=log=loga ac c, ,n n=log=logb bc c, ,则则m m与与n n的大小关的大小关 系是系是_._. 解析解析 m m0,0,n n0,0, =log =loga ac cloglogc cb b=log=loga ab blog n n. . m m n nnm三、解答题三、解答题10.10.将下列各数按从大到小的顺序排列将下列各数按从大到小的顺序排列: : log log8 89,log9,log7 79, 9

30、, 解解 在同一坐标系内作出在同一坐标系内作出y y=log=log8 8x x, , y y=log=log7 7x x，y y=log=log2 2x x的图象如图的图象如图 所示所示, ,当当x x=9=9时时, ,由图象知由图象知 loglog2 29log9log7 79log9log8 891=log91=log8 88,8,.)21( ,)21( , 9log, 3log322121, 9log)9log(9log2222221loglog2 22 29log9log7 79log9log8 891,91,即即 loglog7 79log9log8 891.91. 在在R R上是减函数上是减函数, ,9log221xy)21(. 3log)21()21(9log9