数值稳定和要注意的若干原则ppt课件

1、第一章第一章1.3 数值稳定性和要留意的假设干原那么数值稳定性和要留意的假设干原那么1.3.3 减少运算次数减少运算次数1.3.2 防止有效数字的损失防止有效数字的损失1.3.1 数值方法的稳定性数值方法的稳定性第一章第一章1.3 数值稳定性和要数值稳定性和要留意的假设干原那留意的假设干原那么么学习目的：学习目的：掌握数值运算中防止大误掌握数值运算中防止大误差产生的假设干准那差产生的假设干准那么。么。第一章第一章 定义 1.4 对于某个数值计算方法，假设输入数据的误差在计算过程中迅速增长而得不到控制，那么称该算法是数值不稳定的，否那么是数值稳定的。 举例阐明如下。例例1 计算积分值计算积分值

2、106 , 1 , 0,5。ndxxxInnnI解解 由于要计算系列的积分值，我们先推导由于要计算系列的积分值，我们先推导 的一个递推公式。的一个递推公式。由由1010111,1555ndxxdxxxxIInnnnn1.3.1 数值方法的稳定性数值方法的稳定性第一章第一章可得下面两个递推算法。可得下面两个递推算法。算法算法 1 ：。6 , 2 , 1,511 nInInn。1 , 5 , 6,1511 nInInn算法算法 2 ：0I 直接计算可得 假设我们用四位数字计算，得 的近似值为 。记 ， 为 的近似值。5ln6ln0 I1823. 0*0 I*nnnIIE *nInI对算法对算法 1

3、，有，有。01)5(5EEEnnn按以上初始值按以上初始值 的取法有的取法有 ，现实上，现实上 。这样，我。这样，我们得到们得到 。这个数曾经大大超越了。这个数曾经大大超越了 的大小，所以的大小，所以 连一连一位有效数字也没有了，误差掩盖了真值。位有效数字也没有了，误差掩盖了真值。0I40105 . 0 E401022. 0 E34. 05066 EE6I*6I逆向递推公式逆向递推公式第一章第一章对算法对算法 2，有，有。66051,51EEEEknnk 可取可取 的一个近似值为的一个近似值为。 )1(51)1(6121*kkIk 对对 有有 。6 k0262. 0*1 IkI 假设我们可以给

4、出假设我们可以给出 的一个近似值的一个近似值, ,那么可由算法那么可由算法2 2计算计算 的近似值的近似值. .并且并且, ,即使即使 较大较大, ,得到的近似值得到的近似值的误差将较小的误差将较小. .0,.4,56nI6E6I 1010)1(5156)161kdxxIdxxkkkk（由于由于第一章第一章 按 和 ，分别按算法1和2计算，计算结果如表 1-1 ，其中 为算法1的计算值， 为算法2的计算值。易知，对于任何自然数 ，都有 ，并且 单调递减。可见，算法1是不稳定的，算法2是稳定的。 1823. 0*0 I0262. 0*6 I)1(nI)2(nIn10 nInI 四位四位nI表表

5、1 - 1n)1(nI) 2(nI00885.01823.01823.011823.00884.00884.020575.00580.00580.030458.00431.00431.040210.00344.00343.050950.00281.00285.063083.0 0262.00243.0用递推关系进展计算时必需留意误差的积累用递推关系进展计算时必需留意误差的积累.第一章第一章 当然，数值不稳定的方法普通在实践计算中不能采用。数值不稳定的景象属于误差危害景象。下面讨论误差危害景象的其他表现及如何防止问题。1.3.2 防止有效数字的损失防止有效数字的损失在数值计算中，参与运算的数有时

6、数量级相差很大，而计算机位数有限，如不留意，“小数的作用能够消逝，即出现“大数吃“小数的景象。例例2 用三位十进制数字计算用三位十进制数字计算,10110021 x其中其中 假设我们自左至右逐个相加，那么假设我们自左至右逐个相加，那么一切的一切的 都会被舍掉，得都会被舍掉，得 。但假设把一切的。但假设把一切的 先加起来，先加起来，再与再与101相加，就有相加，就有1414 . 01001011 . 0100101111 xi 。100,2 , 1, 4 . 01 . 0 ii 101 xi 可见，计算的次序会产生很大的影响。这是由于用计算机计算时，在运算中要“对阶，对阶引起了大数吃小数的景象。

7、大数吃小数在有些情况下是允许的，但有些情况下那么呵斥错误。在数值计算中，两个相近数相减会使有效数字严重损失。第一章第一章 例例3 务虚系数二次方程务虚系数二次方程 的根，其中的根，其中 02 cbxax。0, 042 abacb解解 思索两种解法。思索两种解法。 算法算法 1：aacbbx2422, 1 算法算法2:2121( )4,2bsgn bbaccxxaax 其中其中sgn表示取数的符号，即表示取数的符号，即10( )10bsgn bb对算法对算法1，假设，假设 ，那么是不稳定的，否那么是稳定的。这是由于，那么是不稳定的，否那么是稳定的。这是由于前一种前一种情况的分子有一个相近数相减，

8、会大量损失有效数字，从而有一个结果的误差情况的分子有一个相近数相减，会大量损失有效数字，从而有一个结果的误差很大。算法很大。算法2不存在这个问题，在任何情况下都是稳定的。因此称算法不存在这个问题，在任何情况下都是稳定的。因此称算法1是条件是条件稳定的，算法稳定的，算法2是无条件稳定的。是无条件稳定的。acb42 第一章第一章02000. 0,08.6221 xx例如，对于方程例如，对于方程0000. 110.622 xx用用4位有效数字计算，结果如下：位有效数字计算，结果如下：算法算法1：算法算法2：01611. 0,08.6221 xx准确解是准确解是 。这里。这里 所以算法所以算法1不稳定

9、，舍入误差对不稳定，舍入误差对 的影响大。的影响大。016107237.0,083892.6221xxacb42 2x遇到两相近数相减的情形，可经过变换计算公式来防止或减少有效数遇到两相近数相减的情形，可经过变换计算公式来防止或减少有效数字的损失。例如，我们有如下的变换公式：字的损失。例如，我们有如下的变换公式：第一章第一章xxxxxxxxxxxx111lglglgcos1sinsincos12121假设无法改动算法，那么采用添加有效位数进展计算，或在计算上采用双假设无法改动算法，那么采用添加有效位数进展计算，或在计算上采用双精度运算但这要添加机器计算的时间和多占内存单元。精度运算但这要添加机

10、器计算的时间和多占内存单元。 第一章第一章1.3.3 减少运算次数减少运算次数在数值计算中，要留意简化计算步骤，减少运算次数，这也是数值分析所要研讨的重要内容。同样一个计算问题，假设能减少运算次数，不但可以节省计算机的计算时间，还能减少误差的积累。下面举例阐明简化计算公式的重要性。的值。假设我们先求的值。假设我们先求 ，需求进展，需求进展k次乘法，在相加，那么需求次乘法，在相加，那么需求 次乘法和次乘法和n 次加法才干得到一个多项式的值。假设我们将多项式写成下面的次加法才干得到一个多项式的值。假设我们将多项式写成下面的方式方式 例例4 给定给定x，计算多项式，计算多项式011)(axaxaxPnnnnn 2/ )1( nnkkxa0121)()(aaaaxaxxxxPnnnn 那么只需那么只需n次乘法和次乘法和n次加法即可得到一个多项式的值，这就是著名的秦九韶算次加法即可得到一个多项式的值，这就是著名的秦九韶算法法，可描画为，可描画为02, 11 nnkaxuuaukkknn最后有最后有)(0 xPun 第一章第一章nxxnnn 11)1()1ln(2ln例例5 利用级数利用级数计算计算 ，假设要准确到，假设要准确到 ，要计算，要计算10万项