专题3 曲线运动与天体运动

1、专题三 曲线运动与天体运动 本专题从运动学和动力学的角度研究了物体做曲线的条件及两类典型的曲线运动：平抛运动和圆周运动，同时研究了人造卫星、天体运动的有关规律它们是牛顿力学的重要组成部分，包含了重要的分析方法运动的合成与分解本专题是高考的必考内容之一，也是高考的重点和热点，特别是曲线运动结合带电体在电磁场中的偏转以及人造卫星的变轨问题、双星和多星问题、卫星运动的基本参量的求解和比较是重中之重，考查题型以选择题、计算题为主复习时要注意与其他专题知识的综合 2010年浙江卷20题考查了天体运动，注重物理知识在实际中的应用.22题考查了平抛知识，注重多因素问题的综合分析能力的考查.2011年，本专题

2、要注重与生产、生活、高科技联系的命题运动的合成与分解的应用运动的合成与分解的应用 【例【例1】 如图311所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M.滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H.某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为a时，杆的角速度为w，求此时物块M的速率vM. 杆的端点A点绕O点做圆周运动，其速度vA的方向与杆OA垂直，此时其速度大小为：vA=wR，对于速度vA作如图所示的正交分解，即沿绳BA方向和垂直于BA方向进行分解，沿绳BA方向的分量就是物块M的速率vM， 求解此类问题，关键是

3、找“关联”速度，即沿杆或绳方向的速度分量相等 绳、杆等有长度的物体，在运动中，其两端点的速度并不一样，但两速度有联系，称“关联”速度，一般沿杆、绳的速度分量相等，采用速度的分解求解，注意按实际效果分解因为物块只有沿绳方向的速度，所以vM=vAcosb，由正弦定理知， = 由以上各式得vM=wHsina.2sinH sinRa【变式习题【变式习题】一条宽度为L的河流，水流速度为vs，已知船在静水中的速度为vc，那么：(1)怎样渡河时间最短？(2)若vcvs，怎样渡河位移最小？(3)若vcvs时，船才有可能垂直于河岸横渡 【例【例2 2】 如图321甲所示，水平传送带长度为L=5.0m，其皮带轮的

4、半径为R=0.1m，皮带轮以角速度w顺时针转动，现有一小物体(可视为质点)以水平速度v0从A点滑上传送带，越过B点后做平抛运动，其水平位移为x，保持物体的初速度v0不变，多次改变皮带轮的角速度w，依次测量水平位移x，得到如图乙所示的xw图象求： 抛体运动抛体运动(1)当0w30rad/s时，水平位移不变，说明物体在AB之间一直加速，其末速度为： vB= =3m/s， 根据v2-v02=2ax 当0w10rad/s时，2gL=v02-vB2 当w30rad/s时，2gL=vB2-v02，得v0= m/sxt5 本题以传送带上物体为背景，涉及直线运动、牛顿运动定律、圆周运动、平抛运动等知识点，过程

5、多，情景复杂，对学生的要求较高，最关键要挖掘联结点下落的距离与在水平方向通过的距离之比为: 1tan12tanA.tanq B2tanqC.D.【变式题【变式题1 1】(2010.全国)一水平抛出的小球落到一倾角为q的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图322中虚线所示小球在竖直方向 如图，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面倾角q，根00y200tantan.1D22tanvvvgtygtgtxv tvqqq据有：则下落高度与水平距离之比为， 正确 【变式题【变式题2】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度

6、不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力(设重力加速度为g)(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的P1点(如图323实线所示)，求P1点距O点的距离x1；(2)若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2(如图323虚线所示)，求v2的大小；(3)若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3，求发球点距O点的高度h3.12(2)设发球高度为h2，飞行时间为t2，根据平抛运动h2= gt x2=v2t2 且h2=h 2x2=L 由式得v2= 22Lgh12hg (1)设发球时飞行

7、时间为t1，根据平抛运动h1=gtx1=v1t1 由解得x1=v1 (3)如图所示，设发球高度为h3，飞行时间为t3，同理根据平抛运动得h3=gt32 x3=v3t3 且3x3=2L 设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有 s=v3t 由几何关系知，x3+s=L 联列式，解得2312hhgt343hh圆周运动圆周运动 【例【例3 3】 如图331所示，两绳一端系一质量为m=0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的AB两处，上面绳长l=2m，两绳拉直时与轴的夹角分别为30和45，问球的角速度在什么范围内两绳始终有张力？ 设两细线都拉直时，A、B绳的拉力分别为TA、TB，小球的

8、质量为m，A线与竖直方向的夹角为q=30，B线与竖直方向的夹角为a=45，受力分析，由牛顿第二定律得： 解决本题的关键，一是利用几何关系确定小球圆周运动的半径；二是对小球进行受力分析时，先假定其中一条绳上恰无拉力，通过受力分析由牛顿第二定律求出角速度的一个取值，再假定另一条绳上恰无拉力，求出角速度的另一个取值，则角速度的范围介于这两个值之间时两绳始终有张力 当B线中恰无拉力时，TAsinq=mw12lsinq TAcosq=mg www12B2B210 3由、解得=rad /s3当A线中恰无拉力时，T sina = mlsin T cosa = mg 由、解得w =10 3rad /s所以，两

9、绳始终有张力时角速度的范围是10 3rad /s 10 3rad /s3 本题以圆周运动为情境，要求考生熟练掌握并灵活应用匀速圆周运动的规律，不仅考查考生对牛顿第二定律的应用，同时考查考生应用多种方法解决问题的能力比如正交分解法、临界分析法等综合性强，能考查考生多方面的能力，能真正考查考生对知识的掌握程度体现了对考生分析综合能力和应用数学知识解决物理问题能力的考查【变式题【变式题】(2009.安徽)过山车是游乐场中常见的设施如图332所示是一种过山车的简易模型，它由水平轨道和在竖直平面内的三个圆形轨道组成，B、C、D分别是三个圆形轨道的最低点，B、C间距与C、D间距相等，半径R1=2.0m、R

10、2=1.4m.一个质量为m=1.0kg的小球(视为质点)，从轨道的左侧A点以v0=12.0m/s的初速度沿轨道向右运动，A、B间距L1=6.0m.小球与水平轨道间的动摩擦因数=0.2，圆形轨道是光滑的假设水平轨道足够长，圆形轨道间不相互重叠重力加速度g=10m/s2，计算结果保留小数点后一位数字试求：(1)小球在经过第一个圆形轨道的最高点时，轨道对小球作用力的大小；(2)如果小球恰能通过第二圆形轨道，B、C间距L应是多少；(3)在满足(2)的条件下，如果要使小球不能脱离轨道，在第三个圆形轨道的设计中，半径R3应满足的条件；小球最终停留点与起点A的距离 (1)设小球经过第一个圆轨道的最高点时的速

11、度为v1，根据动能定理 小球在最高点受到重力mg和轨道对它的作用力F，根据牛顿第二定律 22111211222mgLmgRmvmv (2)设小球在第二个圆轨道的最高点的速度为v2，由题意21110.0NvFmgmRF由得22222122011- 222vmgmRmg LLmgRmvmv由得L=12.5m (3)要保证小球不脱离轨道，可分两种情况进行讨论：.轨道半径较小时，小球恰能通过第三个圆轨道，设在最高点的速度为v3，应满足233vmgmR由得R3=0.4m.轨道半径较大时，小球上升的最大高度为R3， 解得R3=1.0m为了保证圆轨道不重叠，R3最大值应满足(R2+R3)2=L2+(R3-R

12、2)2解得R3=27.9m综合、，要使小球不脱离轨道，则第三个圆轨道的半径须满足下面的条件221330112222mg LLmgRmvmv21301202mg LLmgRmv 根据动能定理0R30.4m或1.0mR327.9m当0R30.4m时，小球最终停留点与起始点A的距离为L，则20102mgLmv L=36.0m当1.0mR327.9m时，小球最终停留点与起始点A的距离为L，则L=L-2(LL1-2L)=26.0m平抛运动与圆周运动的结合平抛运动与圆周运动的结合【例【例4 4】(2010.重庆)小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直

13、平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉球飞离水平距离d后落地，如图341所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力(1)求绳断时球的速度大小v1，和球落地时的速度大小v2；(2)问绳能承受的最大拉力多大？(3)改变绳长，使球重复上述运动若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？ 以小球做圆周运动、平抛运动为背景，考查利用牛顿运动定律、机械能守恒定律等来综合分析解题的能力 (1)设绳断后球飞行时间为t，由平抛运动规律，有2112221211422113-22452dgtdv tv

14、gdmvmvmg ddvgd竖直方向水平方向得由机械能守恒定律，有得(2)设绳能承受的最大拉力大小为T，这也是球受到绳的最大拉力大小球做圆周运动的半径为2134-113RdmvTmgRTmg由圆周运动向心力公式，有得(3)设绳长为l，绳断时球的速度大小为v3，绳承受的最大拉力不变，有23383mvTmgmlvgl得绳断后球做平抛运动，竖直位移为d-l，水平位移为x，时间为t1，有213 112( - )432dlgtxv tl d lxdlx 得当时， 有极大值max2 33xd 本题考查力学综合知识，包括平抛运动的处理，机械能守恒，圆周运动的向心力的表达式等知识点第三问求极值问题对数理结合的

15、能力要求较高 【变式题【变式题】如图342所示， 在倾角为q的光滑斜面上，有一长R的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O点到斜面底边的距离SOC=L，求：(1)小球通过最高点A时的速度vA；(2)小球通过最低点B时，细线对小球的拉力；(3)小球运动到A点或B点时细线断裂，小球滑落到斜面底边时到C点的距离若相等，则R和L应满足的关系？ (1)小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动： (3)在A、B两点线断裂后，小球都做类平抛运动， 设平抛的水平距离为x： 2222sinsin11-222sin5sinsin6sin2AABABBvmgm

16、vgRRABmvmvmgRvgRvBFmmgRFmgqqqqqq，则从 到 由动能定理得：，得对 点：可得：2()sinsin2 ()2()5sinsin10 ()31022ABRLAxv tgRgR RLLRBxv tgRgR LRR LRR LRLRqqqq 点平抛：点平抛：则：，得万有引力定律的应用万有引力定律的应用 【例【例5 5】我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r

17、和r1，月球绕地球转动的周期为T.假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间(用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)BE 如图所示，O和O分别表示地球和月球的中心在卫星轨道平面上，A是地月连心线OO与地、月球表面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点卫星在圆弧 上运动时发出的信号被遮挡 画出地、月、卫的示意图，根据万有引力提供向心力及几何关系进行求解，注意卫星绕月时要忽略地球

18、对卫星的影响 设探月卫星的质量为m0，万有引力常量为G，根据万有引力定律有2220012112G()2G()MmmrrTm mmrrT 式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期由式得2311()()TrMTmr 设卫星的微波信号被遮挡的时间为t，则由于卫星绕月球做匀速圆周运动，应有1tTa上式中，a=COA，=COB.由几何关系得rcosa=R-R1 r1cos=R1 311131(arccosarccos)MrRRRTtmrrr由式得 解决有关天体运动的问题，要抓住两条关键：22nn22222m4mr4GvFmamw rrmf rTMmmgR地万有引力定律提供向心力，在地球表面或附近时，万有引力定律等于重力：【变式题【变式题1 1】英国新科学家(New Scientist)杂志评选出了2008年度世界8项科学之最，在XTEJ1650-500双星系统中发现的最小黑洞位列其中，若某黑洞的半径R约45km，质量M和半径R的关2()2MccGRG系满足其中 为光速， 为引力常量 ，则该黑洞表面重力加速度的数量级为( )A108m/s2 B1010m/s2C1012m/s2 D1014m/s2C 设黑洞表面重力加速度a，根据天体运动222162242122,2G9 10G2224.5 10m /