【课件】平面向量的应用课件—2021-2022学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

1、平面向量的应用1|,2DEABCDEBCDEBC如图，是的中位线，用向量方法证明：例1：一、平面几何中的向量方法1|,2DEBCDEBC1()2ACAB 1122ACAB DEAEAD 12AEAC 12ADAB DEABC证明：是的中位线1=2DEBC ACABBC (3)把运算结果“翻译”成几何关系(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”22222()ACDBab ABCDACBDADAB已知四边形是平行四边形，你能发现对角线和的长度与两条

2、邻边和的长度之间的关系？例2：22222()ACBDADAB2222()2ACabaa bb DBab ACab则：,ABaADb 设,AB AD 证明：取为基底2222()2DBabaa bb 1.证明：等腰三角形的两个底角相等BC0abc 由,| | |ABCBCa CAbABcbc 证明：在中 设00180180BC00|cos(180) | |cos(180)a bCa cB a ba c | | |bc2222aa ccb acb abc 得：2222aa bbc 两边平方得：ABCDaEABFBCBAFDEMEMF2.如图，正方形的边长为 ，是的中点， 是边上靠近 的三等分点，与交

3、于点，求的余弦值2105|2aDE 222236aaaDE AF EMFDEAF 是与的夹角(0,0),(0, ), ( ,0),( , )23aaADa EF a则AABxADy解：以 为原点，所在直线为 轴，所在直线为 轴10|3aAF cos|DE AFEMFDEAF ( , )3aAFa ( ,)2aDEa2651023aaa,ABCOBCOABACMNABmAMACnANmn3.如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交、于不同的两点、 。设求的值22mnAMAN 1()2mAMnAN 1()2AOABAC OBC 是中点ABmAMACnAN 解：2mn122mnMON，三点共线在日常

4、生活中，我们有这样的经验:两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。你能从数学的角度解释这种现象吗？例3.二、向量在物理中的应用举例1|2cos2GF 则：(|)GG旅行包所受的重力为为定值12F F 如图，设作用在旅行包上的两个拉力分别为，解：先来看共提旅行包的情况12F F 另设， 的夹角为12| |.FF 不妨设同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力12FF 也就是说， 之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力1|F 由大逐渐变小；(2)022当 由逐渐变小到0 时，由逐渐变小到1|F 由小逐渐变大；(1)0022当 由 逐渐变大

5、到时，由 逐渐变大到cos2的值由大逐渐变小，cos2的值由小逐渐变大，1|2cos2GF 1|2cos2GF 解：231cos22得|2G其最小值为cos12取得最大值231(2)| |FG 由(1)0当时1|F 最小1122500,| 10/,|2/,(0.1min)dmAkmhkmh 如图，一条河两岸平行，河的宽度一艘船从河岸边的地出发，向河对岸航行。已知船的速度的大小为水流速度的大小那么，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间 精确到？例4.3.1min当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1(min)96(/ )km h12 设AB当船实际沿着方向行驶时，船的航程最短BAB解：设

6、点 是河对岸一点，与河岸垂直2212| 则|0.56096|dt 船的航行时间23( )WF sJ (20,15)(7,0).(4, 5)FABFF1.一物体在力的作用下，由点移动到点已知，求 对该物体所做的功( 13, 15)sAB (4, 5)F 解：3444 3.ABONNNAOB2.如图，一滑轮组中有两个定滑轮 ， ，在从连接点出发的三根绳的端点处，挂着 个重物，它们所受的重力分别为，和此时整个系统恰好处于平衡状态，求的大小030OPOQOPMQ以，为邻边作平行四边形12FFG 即：120FFG | 4 3G 12,ABOF FOP OQOGOR 解：把两点处的重物对点的作用力看作两个

7、拉力，分别设为， ，用，表示，又设 受到的重力为，用表示2 33422AOB设1| | 2 32ODGPPDOMD过点 作，垂足为OPMQ四边形是菱形12| |FF 060AOB| | 4 3OMG 则12| | 4FF 则1|cos|ODF 12301212331,62| 1,|,452(1)(2)FFFFNFNFFFFF 3.若平面上的三个力作用于一点 且处于平衡状态.已知与的夹角为，求的大小；与夹角的大小031150FF 与的夹角为133|2OGFAG 3 12AGCG2|ACF 12112,F FF FFOA OB OCF FFCOAOAG 解：如图，设， 的合力为， 与的夹角为用表示

8、， ，过点作的垂线，与的延长线相交于点3|3+1(N)F | 23+1FCG0303tan3Rt OCGCGOG在中Rt ACG在中，045CAGAOB三、余弦定理2222cosbacacB2222cosabcbcA2222coscababC22|2| |cos|aabCb2a aa bb b 2| |() ()cc cabab cab则：,CBaCAbABc 设同理可得：2222coscababC222cos2abcCab2222cosbacacB2222cosabcbcA余弦定理：222cos2acbBac222cos2bcaAbc000,60 ,34 ,41(1 ,1676.7841 ,

9、cos740.2737 cos410.7547)ABCbcA在中已知，解这个三角形边长精确到参考数据：，例5.ABCabc形一般地，三角形的三个角 ， ，和它们的对边，叫做三角形的元素已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角做0180()CAB0106B7630.27372788 41a 1676.7822060342 60 34 cos41 2222cosabcbcA解：2224134602 41 34222cos2acbBac00001804110633098B03 31,7 ,8 ,sin(sin8)147ABCabCCB例在中锐角满足，求参考.：6数据17 3c 913143 3s

10、in14CC解：，为锐角2cos1 sinCC2222coscababC222cos2acbBac23 31 ()141349642 7 814 499642 3 7 00180105CAB,2 ,2 ,3 1ABCabc1.在中 已知，解这个三角形222cos2acbBac045A22222cos2bcaAbc解：030B3222( 3 1)42 2( 3 1)24( 3 1)24( 3 1)sinsinsinabcABC090sin1CCsinsinabcABsinbBcsinaAc090Rt ABCC在中，四、正弦定理sinsinacACsinsinbcBC|cos|cos() |cos

11、()222jACj CBCjABA 即：j ACj CBj AB 即：()jACCBj AB ACCBAB 2jCBC 与的夹角为2jABA 则 与的夹角为,ABCAACj在锐角中 过点 作于垂直是单位向量sinsinaCcACCBm 同理，过点作与垂直的单位向量sinsinsinabcACC仿照上述方法，同样可得sinsinsin2aRbcABC正弦定理2jCBC 与的夹角为AACj过点 与垂直的单位向量A不妨设 为钝角ABC当是钝角三角形时2jABA 则 与的夹角为，11,BOBAAC作过点 ，的直经连接112 sinRt BACaRBAC在中0190BCAR设其外接圆的半径为(2)A当

12、是锐角时2 sinRA(1)A当 是直角时ABCABCabc的三角 ， ，所对的三边分别为 ， ，022 sin90aRR2 sinRA1BACBAC则，2 sincRC2 sinbRB同理可得：2 sinaRA综上知：2 sinRA0190BCA11,BOBAAC作过点 ， 的直经连接(3)A当 是钝角时01180BACBAC则112 sinRt BACaRBAC在中0015 ,45 ,33 ,ABCABc 在中，已知解这个三角形例7.22( 3 1)6222 sinbRB202( 3 1) sin152( 3 1)0000180(1545 )1200180()CAB解：033sin1202

13、 sinaRA 02( 3 1) sin45622( 3 1)42sincRC33320,30 ,2 ,2ABCBbc在中已知，解这个三角形例8.3 10045135CC或0030180C0,30cbB02sin30222sin2sincCRcBb解：002cos15sin30002sin105sin300(1)45C 当时sinsinbAB0105A3 1002sin15sin30sinsinbAB015A0(2)135C 当时2 sinaRA622 242 sinaRA622 2402 31.21203ABCacAbC在中，已知，求 和2 33bc 0030150C或12sinsincAC

14、asinsinacAC解：02 3sin12032BC00180()30BAC030C0180AC002.24575ABCbACc在中，已知，求3 263002sin75sin60sinsinbCcB sinsinbcBC0000180457560B 解：6234cos353ABCABbac3.在，已知，求 ，23CABA62 sin5aRA32sin33sin5A解：4 3354 331031cossin22AA2sinsin()3CA2sinbRB2 sincRC无解1).若已知三角，则三角形不确定，有无穷多个解).i A为锐角2).若已知两边和其中一边的对角三角形解的个数探索：一解两解0

15、1sinabA时，02sinabA时，03sinbabA时，一解 无解一解).ii A为直角或钝角04 ab 时，01 ab时，02 ab 时，()ABABAB如图， ， 两点都在河的对岸 不可到达，设计一种测量，两点间距离的方法，并求出 ， 间的距离例9：2222222sin ()sin2sin()sin cossin ()sin ()sin()sin()aaa222cosABCABACBCACBC在中，由余弦定理得sinsin()asin()sin()a,ABCDCDaCDBCAACDCDBBDA解：在 ， 两点的对岸选定两点，。测得并且在 ， 两点分别测得0sin()sin180()aA

16、C0sinsin180()aBCADCBDC在和中，由正弦定理得sinsinsin()ah10.ABBAAB是底部 不可到达的一座建筑物， 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度的方法，并求出建筑物的高度例sinAChsinsin()ACDaAC在中，由正弦定理得HGHGBGHACDah解：选择一条水平基线，使，三点在同一直线上，在，两点用测角仪器测得 的仰角分别是，测角仪器的高度是ABAEh00020.307()5 3(1 )(1) (cos44)12An mileBn mileCn mile位于某海域 处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救甲船立即前往救援，同时把

17、消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距的处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线由观例测点看目标的视线的方向是北偏东多少度精确到？需要航行的距离是多少海里 精确到？参考数据11.：00046307624n mile乙船前往营救遇险渔船时的方向是北偏东需要航行的距离是5 3120sinsin1202024C24()BCn mile58922202cos120BCABACAB AC解：00009046CC2212072 20 7 ()2 3202sin24C解三角形所使用到的八大知识点cossin22ABC两边之差小于第三边小结tan()tanABC cos()cosABC sin()sin

18、ABCABCsincos22ABC两边之和大于第三边2.三边不等关系大边对大角小边对小角1.内角和定理2222coscababC()()()p papb pc2222cosbacacB2222cosabcbcA4.余弦定理rp12 sin2 sinsin2RARBC1sin2abc12Sah5.面积公式3.正弦定理2sinsinsinabcRABCtan对边邻边6.三角函数的定义cos邻边斜边sin对边斜边7.两角和的正弦、余弦公式,倍半角公式cos()coscossinsin22cos2cossincos()coscossinsinsin()sincoscossinsin()sincosco

19、ssinsin22sincos8.利用均值不等式和三角函数的有界性求最值|sin| 1222xyxy3(cos)2(1)cos(2)2112.20baCcAcbDBCBDDCADcABC例已求若，点在边上，中，知且在，求23 3cb 2coscos3AEDCAB /DE AC则2cos3A0sin0CC，3cossin2sinACC3sincos3cossin3sincos2sinACACACC3sin3sin()3sincos(2s)in1BACACC解：3 32b 2274b2222444240102()999327bbbb 2222cosADAEDEAE DEAED122333bAEcD

20、Eb，ADEAEDCAB在中，(2)2ABEBEEADE上取点 ，使得连接在，2,313,43(1)3 3 ,tan,3(2.),3DADCABCABCDABCBCADACAACBACCD例中，求若求在平面四边形若的面积为13AC3 3sinsinADAC2222cos13ACABBCAB BCABC3AB 1sin3 3(1)2ABCSAB BCABC解：3 3RtACDAD 在中33ACBACD则(2)ACD设3 3tan7ACD即：3 3tan73 332sin3sin()cossin32243 33sin()sin32sinsinBCACBACABC3BACACBABABCC在中5,3

21、 2 , sinsin(1)sin22(2)214.,BCABCabaBAMACMCMBABMABC上一点，的面积例在中求如图，点为边求4sin2sincos225AAAcos5sincos222AAA2cos5sin2AAsin0B 2sincos5sinsin2ABAB2 si5(1)nsin2AbaB解：2cos25A1sin25Acos00222AA，(2),2MACMCMBABMABC上积如图，边一点，点求的面为22CA2ABMMBCMCB MBMC23(2)cos2cos125AA 22AC15 2sin4cC15 2sin4bABC 15 2sinsinsin4ABCbcaABCCA在中5sin2sin()cos23CAA27845sincos4CC1sin2ABCSbcA115 215 24sinsin2445ABCCsin()cos2CCsinsin()ABCAC45sin28C2.ABCD如图，四边形的两条对角线所成的角为1| | sin2ABCDSACBD则四边形的面积探索与发现1.1| | sin2ABCABCBMACSACBM如图，在中，与所成角为 ，则000032.2/2030min65.6.5(cos250.9063 ,cos700.3420)