椭圆及其标准方程

1、2.2.12.2.1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程( (一）一）惠民县第一中学惠民县第一中学 关关 丽丽 人教版人教版普通高中课程标准实验教科书普通高中课程标准实验教科书数学选修数学选修2-12-1椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程一、一、教材分析教材分析 二、二、教学目标分析教学目标分析 三、三、教法与学法分析教法与学法分析 四、四、教学过程设计教学过程设计 五、五、教学评价设计教学评价设计一、教材分析一、教材分析1.1.教材的地位及作用教材的地位及作用 教材结构教材结构 ：承上启下的作用：承上启下的作用 在必修在必修2 2，学生已学习了直线与方程，圆与方程，对曲线与方程，学生已学习了直线

2、与方程，圆与方程，对曲线与方程的关系有了一定的感性认识。通过上一节曲线与方程更系统，更完的关系有了一定的感性认识。通过上一节曲线与方程更系统，更完整的学习，初步掌握了求曲线方程的一般步骤，为本节奠定了基础；整的学习，初步掌握了求曲线方程的一般步骤，为本节奠定了基础；而对本节的学习是坐标法的又一次深入，它为双曲线和抛物线的学而对本节的学习是坐标法的又一次深入，它为双曲线和抛物线的学习提供了一个范例。习提供了一个范例。 思想方法：函数与方程，数形结合思想思想方法：函数与方程，数形结合思想本节主要体现了函数与方程，数形结合的重要思想，而这种思想本节主要体现了函数与方程，数形结合的重要思想，而这种思想

3、将贯穿于整个高中阶段的数学学习。将贯穿于整个高中阶段的数学学习。 2.教材的重点与难点教材的重点与难点一、教材分析一、教材分析重点：重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的 基本思想基本思想难点：难点：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用难点成因：难点成因：学生学习解析几何的时间不长，分析学生学习解析几何的时间不长，分析解决问题的能力较浅。解决问题的能力较浅。运算能力低，遇到问题太依赖于课本，缺乏积极运算能力低，遇到问题太依赖于课本，缺乏积极的动脑习惯。的动脑习惯。逻辑思维不是很强，归纳概括能力有待提高。逻辑思维

4、不是很强，归纳概括能力有待提高。二、教学目标分析二、教学目标分析 知识知识与技能与技能: :让学生掌握椭圆的定义及标准方程，并根据让学生掌握椭圆的定义及标准方程，并根据条件会求椭圆的标准方程。条件会求椭圆的标准方程。 过程与方法过程与方法: :让学生亲身经历椭圆的定义和标准方程的获让学生亲身经历椭圆的定义和标准方程的获取过程，培养学生的数形结合思想，提高运算能力，加强用坐标法取过程，培养学生的数形结合思想，提高运算能力，加强用坐标法解决问题的能力。解决问题的能力。 情感情感态度与价值观态度与价值观: :通过主动探究，合作学习，感受探通过主动探究，合作学习，感受探究的乐趣，培养学生积极交流的意识

5、，进一步体会数学知识的和谐究的乐趣，培养学生积极交流的意识，进一步体会数学知识的和谐美，几何图形的对称美，提高学生的审美情趣。美，几何图形的对称美，提高学生的审美情趣。三、教法与学法分析三、教法与学法分析课堂结构设计课堂结构设计三、教法与学法分析三、教法与学法分析三、教法与学法分析三、教法与学法分析四、教学过程设计四、教学过程设计（一）创设情境，引入课题（一）创设情境，引入课题 由神七搭载我国三名宇航员成由神七搭载我国三名宇航员成功完成舱外行走，实现历史性突功完成舱外行走，实现历史性突破入手，提问：破入手，提问：“你知道神七的你知道神七的运行轨道是什么形状吗？运行轨道是什么形状吗？”预设预设学

6、生回答为椭圆，补充学生回答为椭圆，补充“由椭圆由椭圆在近地点变轨为圆。为什么要变在近地点变轨为圆。为什么要变轨？何处是近地点？你想了解轨？何处是近地点？你想了解其中的奥妙吗，就让我们从学习椭圆开始吧！其中的奥妙吗，就让我们从学习椭圆开始吧！ 接着用课件展示神七运动轨迹的图片，并请学生举出生活中接着用课件展示神七运动轨迹的图片，并请学生举出生活中具有椭圆形状的物体，并看图片，从而引入本课。具有椭圆形状的物体，并看图片，从而引入本课。四、教学过程设计四、教学过程设计 设计意图设计意图:一方面，通过神七的成功发射激发学生的爱国热情和一方面，通过神七的成功发射激发学生的爱国热情和探究实际问题的兴趣，为

7、更积极的投入本节课的学习作好铺垫。探究实际问题的兴趣，为更积极的投入本节课的学习作好铺垫。另一方面，使学生明确数学来源于生活，服务于生活。另一方面，使学生明确数学来源于生活，服务于生活。四、教学过程设计四、教学过程设计（二）动手实验，归纳概念（二）动手实验，归纳概念 提问：提问：”你还记得不用圆规怎样画出圆形吗？又是怎样给你还记得不用圆规怎样画出圆形吗？又是怎样给圆下定义的？圆下定义的？”在学生回答后，用课件演示圆的形成过程。在学生回答后，用课件演示圆的形成过程。 接着，让学生拿出准备好的学具接着，让学生拿出准备好的学具 动手实验。将细绳两端固定，用动手实验。将细绳两端固定，用 笔将细绳拉紧并

8、运动，看能得到笔将细绳拉紧并运动，看能得到 怎样的图形？待学生画完后，用怎样的图形？待学生画完后，用 课件演示画椭圆的过程。课件演示画椭圆的过程。 提问：提问：“你能根据刚才画椭圆的过程，类比圆的定义，你能根据刚才画椭圆的过程，类比圆的定义，归归 纳出椭圆的定义吗？纳出椭圆的定义吗？”先让某一学生回答，其他学生先让某一学生回答，其他学生给予补充，逐步完善，概括出椭圆的定义。给予补充，逐步完善，概括出椭圆的定义。椭圆定义：平面内椭圆定义：平面内与与两个定点两个定点F F1 1, , F F2 2的距离之的距离之和等于常数和等于常数（大于大于| |F F1 1 F F2 2 | |）的点的轨迹叫做

9、椭圆。定点）的点的轨迹叫做椭圆。定点F F1 1, , F F2 2叫做叫做椭圆的焦点，椭圆的焦点，F F1 1, , F F2 2间的距离叫做椭圆的焦距。间的距离叫做椭圆的焦距。 为帮助学生更好的理解定义，提出：为帮助学生更好的理解定义，提出：“为何为何常数常数要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？” ” 四、教学过程设计四、教学过程设计（三）启发引导，推导方程（三）启发引导，推导方程 为了更好的研究椭圆的性质，需要建立椭圆的方程。为了更好的研究椭圆的性质，需要建立椭圆的方程。怎样建立椭圆的方程呢？本环节我预设如下几个步骤进行：怎样建立椭圆的

10、方程呢？本环节我预设如下几个步骤进行：（1）建立直角坐标系，设出动点的坐标）建立直角坐标系，设出动点的坐标学生可能会有如下几种建系方案：学生可能会有如下几种建系方案：方案方案1：以定点：以定点F1为原点，两定点所在直线为为原点，两定点所在直线为X轴；轴；方案方案2：以定点：以定点F2为原点，两定点所在直线为为原点，两定点所在直线为X轴；轴；方案方案3：以两定点所在直线为：以两定点所在直线为X轴，其垂直平分线为轴，其垂直平分线为Y轴；轴；方案方案4：以两定点所在直线为：以两定点所在直线为Y轴，其垂直平分线为轴，其垂直平分线为X轴。轴。方案方案 方案方案 方案方案 方案方案4 四、教学过程设计四、

11、教学过程设计 我加以引导：建立坐标系的一般原则：尽量我加以引导：建立坐标系的一般原则：尽量使曲线对于坐标轴具有较多的对称性，让一些关使曲线对于坐标轴具有较多的对称性，让一些关键点的坐标尽可能简单，以便于计算。经过讨论，键点的坐标尽可能简单，以便于计算。经过讨论，先按方案先按方案3 3建系，引导学生设出动点建系，引导学生设出动点M M的坐标及相的坐标及相关常数。关常数。 这样设计的意图是：对如何建坐标系这一问这样设计的意图是：对如何建坐标系这一问题，不是给学生提供标准答案，而是启发学生通题，不是给学生提供标准答案，而是启发学生通过自主探究来寻找比较适当的坐标系，这样做有过自主探究来寻找比较适当的

12、坐标系，这样做有利于拓展学生的思维空间。利于拓展学生的思维空间。 四、教学过程设计四、教学过程设计（2 2）写出动点）写出动点M M满足的集合满足的集合 学生根据椭圆的定义，写出动点学生根据椭圆的定义，写出动点M M满足的集满足的集合，即：合，即：P PM | M | |MF1|+|MF2|=2a (3)(3)列方程列方程 这里学生不会有太大的困难这里学生不会有太大的困难, ,绝大多数学绝大多数学生都能得到方程生都能得到方程: : 四、教学过程设计四、教学过程设计(4)(4)化简方程化简方程 带根式的方程的化简，学生会感到困难带根式的方程的化简，学生会感到困难, ,这也是教学的一个难点。建这也

13、是教学的一个难点。建议学生不要急于动笔，先思考如何化简。议学生不要急于动笔，先思考如何化简。师生共同探究如下几种方式：师生共同探究如下几种方式：平方化简平方化简: : 如何平方？直接平方化简时左边式子将很复杂。因此考虑将两个根式放如何平方？直接平方化简时左边式子将很复杂。因此考虑将两个根式放在方程的两边，平方两次去掉根号。在方程的两边，平方两次去掉根号。等差数列法：等差数列法： 上式和等差中项公式（上式和等差中项公式（A+C=2BA+C=2B）形式类似）形式类似, ,即把即把 ,a , ,a , 看成公差为看成公差为d d的等差数列的三项，从而设的等差数列的三项，从而设对（对（1 1）（）（2

14、 2）两式平方后作差可表示出）两式平方后作差可表示出d d，在将，在将d d代入（代入（1 1）式进行变换和整）式进行变换和整理即可，过程显得简捷，运算也轻松多了理即可，过程显得简捷，运算也轻松多了22)(ycx22)(ycx)2(yc)x) 1 (yc)x2222dada（ 四、教学过程设计四、教学过程设计分子有理化法：分子有理化法： 即将即将 （3 3） 的左式进行分子的左式进行分子有理化，变形整理得有理化，变形整理得 （4 4）在将（在将（3 3）（）（4 4）两式相减得）两式相减得 (5) (5) 将（将（5 5）式两边平方即可。）式两边平方即可。 设计意图是：课堂上时间有限，不一定要

15、按照上述方法设计意图是：课堂上时间有限，不一定要按照上述方法去一一推导，这些工作可以留给学生课后去做。但是课堂上去一一推导，这些工作可以留给学生课后去做。但是课堂上教师给学生提供方法指导，引导学生积极思考是有价值的，教师给学生提供方法指导，引导学生积极思考是有价值的，这样做至少有利于突破课本框框，丰富解决问题的方法。这样做至少有利于突破课本框框，丰富解决问题的方法。 xacycxycx2)()2222（xacacx22y)（四、教学过程设计四、教学过程设计 让学生开始动手化简。几分钟后将我发现的学生中出现让学生开始动手化简。几分钟后将我发现的学生中出现的典型和普遍错误找同学板演，以便点评纠正，

16、形成最后结的典型和普遍错误找同学板演，以便点评纠正，形成最后结果：果： 之后让学生观察图形：之后让学生观察图形： 提出问题：提出问题：“你们能从图中找出表示你们能从图中找出表示a a、c c、 的线段吗？的线段吗？”通过观察，学生容易得出结论。从而将方程简化为：通过观察，学生容易得出结论。从而将方程简化为：告诉学生告诉学生: :它就是椭圆的标准方程。它就是椭圆的标准方程。四、教学过程设计四、教学过程设计（四）拓展引申，对比分析（四）拓展引申，对比分析 提出问题：提出问题：“如何推导焦点在如何推导焦点在Y Y轴上的椭轴上的椭圆的标准方程呢？圆的标准方程呢？” 学生可能回答：学生可能回答：“按方案

17、按方案4 4建系再推一建系再推一遍遍”。我启发：。我启发：“还有别的方法吗？还有别的方法吗？”学生学生经过观察思考会发现，只要交换坐标轴就可经过观察思考会发现，只要交换坐标轴就可以得到了焦点在以得到了焦点在Y Y轴上的椭圆的标准方程：轴上的椭圆的标准方程： 接下来，我通过表格的形式，让学生进行对比接下来，我通过表格的形式，让学生进行对比分析。分析。0 12222babyax 0 12222babxay图图 形形方方 程程焦焦 点点F( (c，0)0)F(0(0，c) ) a,b,c之间的关系之间的关系c2 2= =a2 2- -b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义1

18、12 2yoFFMx1oFyx2FM注注: :共同点：共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是方程的左边是平方和，右边是1.2x2y不同点：焦点在不同点：焦点在x轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大. 焦点在焦点在y轴的椭圆轴的椭圆 项分母较大项分母较大.四、教学过程设计四、教学过程设计（五）范例教学，巩固提高（五）范例教学，巩固提高例例1 1 求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 1）已知椭圆的焦点坐标是）已知椭圆的焦点坐标是F F1 1

19、 （4 4，0 0）、）、 F F2 2 （4 4，0 0），椭圆上任一点），椭圆上任一点到到F F1 1, , F F2 2 的距离之和为的距离之和为1010，求椭圆的标准方程。，求椭圆的标准方程。（2 2）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（0 0，2 2）、（）、（0 0，2 2），并且椭圆经过点），并且椭圆经过点 。 例例2 2 将圆将圆 上的点横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，上的点横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线方程，并说明它是什么曲线。求所得曲线方程，并说明它是什么曲线。例例3 已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，求轴上的椭圆，求m m的取值范围。的取值范围。设计意图是：通过例设计意图是：通过例1让学生回顾所学的基础知识，通过例让学生回顾所学的基础知识，通过例2体体会用坐标法求曲线方程，通过例会用坐标法求曲线方程，通过例3巩固和强化教学的重点。巩固和强化教学的重点。12122mymx422yx)25,23( 四、教学过程设计四、教学过程设计（五）归纳小结，布置作业（五）归纳小结，布置作业（1 1）归纳小结）归纳小结 让学生归纳总结，这节课学到了什么知识？掌握了什么方法？还有让学生归纳总结，这节课学到了什么知识？掌握了什么方法？还有什么问题？教师再概括。什么问题？教师再概括。（2 2）布置作业）布置作业1 1必做题：习