同济大学高等数学第六版下册第十章第一节曲线积分

1、曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 前一章我们已经把积分概念从积分范围的角前一章我们已经把积分概念从积分范围的角度从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一度从数轴上的一个区间推广到平面或空间内的一个区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度个区域，在应用领域，有时常常会遇到计算密度不均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通不均匀的曲线的质量、变力对质点所作的功、通过某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需过某曲面的流体的流量等，为解决这些问题，需要对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和要对积分概念作进一步的推广，引进曲线积分和曲面积分的概念，给出计算方法，这就是本章的曲面积分的概念，给出计算

2、方法，这就是本章的中心内容，此外还要介绍中心内容，此外还要介绍 Green 公式、公式、Gauss公式公式 和和 Stokes 公式，这些公式揭示了存在于公式，这些公式揭示了存在于各种积分之间的某种联系。各种积分之间的某种联系。重点重点第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法第二型曲线积分与曲面积分的概念和计算方法Green公式、公式、Gauss 公式公式曲线积分与路径无关的条件曲线积分与路径无关的条件难点难点第二型曲面积分的计算第二型曲面积分的计算基本要求基本要求 正确理解曲线积分和曲面积分概念正确理解曲线积分和曲面积分概念熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算方法熟练掌握曲线积分与曲面积分的计算

3、方法掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、掌握几种积分间的联系，明确它们在概念、性质、计算方法上的异同性质、计算方法上的异同掌握第二型曲线积分与路径无关的条件掌握第二型曲线积分与路径无关的条件牢固掌握牢固掌握Green公式及其成立条件公式及其成立条件牢固掌握牢固掌握 Gauss 公式及其成立条件公式及其成立条件对弧长的曲线积分及其计算对弧长的曲线积分及其计算一、问题的提出一、问题的提出实例实例: :曲线形构件的质量曲线形构件的质量匀质之质量匀质之质量. sM oxyAB1M2M1 iMiM1 nML),(ii 分割分割,121insMMM ,),(iiis 取取.),(iiiisM 求和求和.

4、),(1 niiiisM 近似值近似值取极限取极限.),(lim10 niiiisM 精确值精确值二、对弧长的曲线积分的概念二、对弧长的曲线积分的概念1.定义定义,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和并作和作乘积作乘积点点个小段上任意取定的一个小段上任意取定的一为第为第又又个小段的长度为个小段的长度为设第设第个小段个小段分成分成把把上的点上的点用用上有界上有界在在函数函数面内一条光滑曲线弧面内一条光滑曲线弧为为设设oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L.),(lim),(,),(,),(,010

5、niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即即记作记作线积分线积分第一类曲第一类曲上对弧长的曲线积分或上对弧长的曲线积分或在曲线弧在曲线弧则称此极限为函数则称此极限为函数这和的极限存在这和的极限存在时时长度的最大值长度的最大值如果当各小弧段的如果当各小弧段的积分弧段积分弧段被积函数被积函数积分和式积分和式曲线形构件的质量曲线形构件的质量.),( LdsyxM 2.存在条件：存在条件：.),(,),(存在存在对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分上连续时上连续时在光滑曲线弧在光滑曲线弧当当 LdsyxfLyxf3.推广推广曲线积分为曲线积分为上对弧长的上对弧长的在空间曲线弧在空间曲线弧函数函数 )

6、,(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 注意：注意：)(,)(. 121LLLL 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 2 LdsyxfLyxf曲线积分记为曲线积分记为上对弧长的上对弧长的在闭曲线在闭曲线函数函数4.性质性质 .),(),(),(),()1( LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数为常数kdsyxfkdsyxkfLL .),(),(),()3(21 LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL 三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线

7、积分的计算)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且且上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数在在其中其中的参数方程为的参数方程为上有定义且连续上有定义且连续在曲线弧在曲线弧设设定理定理注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定积分的下限定积分的下限.,),(. 2而是相互有关的而是相互有关的不彼此独立不彼此独立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyL .)(1)(,),(2dxxxxfdsyxfbaL .)(:)2(dycyxL .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcL 推广推广

8、:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf一代、二换、三定限一代、二换、三定限代代：将积分曲线的参数方程代入被积函数，：将积分曲线的参数方程代入被积函数，换换：换弧微元：换弧微元dtyxds22 定限定限：定积分限，下限：定积分限，下限小参数，上限小参数，上限大参数大参数例例1。计算。计算 Lxyds其中其中L为为222ayx 在第二象限的部分在第二象限的部分解一解一将将L表示为表示为0,22 xaxaydxyds21 dxxaa22 dxxaaxaxxydsLa22022 23a 解二解二将将L表示为表示为ayyax

9、 0,22dyxds21 dyyaa22 dyyaayyaxydsLa22022)( 23a 解三解三将将L表示为参数方程表示为参数方程 taytaxsincos)2( tadtdttatads 22)cos()sin( Ladttataxyds 2sincos23a 例例2).(,sin,cos:,象象限限第第椭椭圆圆求求 tbytaxLxydsIL解解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincos dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)( 3)(22bababaab 例例3.) 2, 1

10、 () 2 , 1 (,4:,2一一段段到到从从其其中中求求 xyLydsILxy42 解解dyyyI222)2(1 . 0 例例4)20(.,sin,cos:, 的一段的一段其中其中求求kzayaxxyzdsI解解 dkaka222sincos 20I.21222kaka 例例5 . 0,22222zyxazyxdsxI为圆周为圆周其中其中求求解解由对称性由对称性, 知知.222 dszdsydsx dszyxI)(31222故故 dsa32.323a ),2(球球面面大大圆圆周周长长 dsa注注 关于对弧长的曲线积分的对称性关于对弧长的曲线积分的对称性若若 L 关于关于 y 轴对称轴对称

11、Ldsyxf),(对对 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),() 1 (时时当当 LLdsyxfdsyxfyxfyxf1),(2),(),(),()2(时时当当其中其中L1 是是L 的关于的关于 y 轴对称的部分弧段轴对称的部分弧段若若L关于关于 x 轴对称轴对称 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时时当当 LLdsyxfdsyxfyxfyxf2),(2),(),(),()2(时时当当其中其中L2 是是L 的关于的关于x 轴对称的部分弧段轴对称的部分弧段 0,),( | ),(1 xLyxyxL 0,),( | ),(2 yLyxyxL若若 L 关于关于 原点原点 对称对

12、称 Ldsyxfyxfyxf0),(),(),()1(时时当当 LLdsyxfdsyxfyxfyxf3),(2),(),(),()2(时时当当其中其中 L3 是是 L 的对称的部分弧段的对称的部分弧段 00,),( | ),(3 yxLyxyxL若若 L 关于直线关于直线 y = x 对称对称 LLdsxyfdsyxf),(),(与重积分的对称性十分类似与重积分的对称性十分类似四、几何与物理意义四、几何与物理意义,),()1(的线密度时的线密度时表示表示当当Lyx ;),( LdsyxM ;,1),()2( LdsLyxf弧弧长长时时当当,),(),()3(处的高时处的高时柱面在点柱面在点上的

13、上的表示立于表示立于当当yxLyxfsL),(yxfz .),( LdsyxfS柱柱面面面面积积,)4(轴的转动惯量轴的转动惯量轴及轴及曲线弧对曲线弧对yx.,22 LyLxdsyIdsxI 曲线弧的重心坐标曲线弧的重心坐标)5(., LLLLdsdsyydsdsxx 五、小结五、小结1 1、对弧长曲线积分的概念、对弧长曲线积分的概念2 2、对弧长曲线积分的计算、对弧长曲线积分的计算3 3、对弧长曲线积分的应用、对弧长曲线积分的应用思考题思考题对弧长的曲线积分的定义中对弧长的曲线积分的定义中 的符号的符号可能为负吗？可能为负吗？iS 思考题解答思考题解答iS 的符号永远为正，它表示弧段的长度的

14、符号永远为正，它表示弧段的长度.练习题练习题一、一、 填空题填空题: :1 1、 已知曲线形构件已知曲线形构件L的线密度为的线密度为),(yx , ,则则L的质量的质量M= =_；2 2、 Lds= =_；3 3、 对对_的曲线积分与曲线的方向无关；的曲线积分与曲线的方向无关；4 4、 Ldsyxf),(= = dtttttf)()()(),(22中要中要求求 _ . .二、二、 计算下列求弧长的曲线积分计算下列求弧长的曲线积分: : 1 1、 Lyxdse22, ,其中其中L为圆周为圆周222ayx , ,直线直线xy 及及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；轴在第一象限内所围成的扇形的

15、整个边界； 2 2、 yzdsx2, ,其中其中L为折线为折线ABCD, ,这里这里DCBA, 依次为点依次为点(0,0,0)(0,0,0), ,(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3 3、 Ldsyx)(22, ,其中其中L为曲线为曲线 )cos(sin)sin(costttaytttax )20( t； 4 4、计算、计算 Ldsy, ,其中其中L为双纽线为双纽线 )0()()(222222 ayxayx . .三、设螺旋形弹簧一圈的方程为三、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos , ,taysin , ,ktz , ,其中其中 20t, ,它的线密度它的线密度222),(zyxzyx , ,求求: : 1 1、它关