程序设计方法学基本理论ppt课件

1、第五课 程序设计方法学根本实际 构造化程序的正确性证明n课件已上载至ftp10/程序设计方法学蔡铭本课的内容n1.反复递归引理n2.正确性定理n3.构造化程序正确性证明的代数方法n4.循环不变式产生的方法构造化程序正确性证明思绪n任何构造化程序都可以用序列、条件和循环3种构造表示，其中循环的正确性最为复杂，假设可以用序列和条件构造来表示循环，那么可以使正确性证明得以简化。反复递归引理1/5n 根本概念：基于程序函数的程序正确性概念。 n 假设知一个程序P和一个预期函数F，假设有n f=Pn 那么称程序P正确地实现了函数f，或说程序P是正确的。反复递归引理2/5n反复递归引理

2、内容n引理1 while-do的正确性定理n引理2 do-until的正确性定理n引理3 do-while-do的正确性定理反复递归引理引理13/5n引理1 知预期函数f和循环程序Pn while p do g n 那么 f=P的充要条件是：对一切XDf， n 程序P终止，且 f=if p then g；f反复递归引理引理1 4/5证明：必要性： f= P=while p do g if p then g;f p=while p do g=if p then g; while p do g =if p then g;f 充分性： if p then g;f while p do g if p

3、then g;f =if p then g;if p then g;f = if p then g;if p then g;(if p then g) = if p then g;if p then g;I = while p do g 反复递归引理引理2/3 5/5引理2 知函数f和循环程序P：do g until p ,那么 f=P的充要条件是：程序P终止，且 f=g;if p then f 引理3 知函数f和循环程序P：do1 g while p do2 h ,那么 f=P的充要条件是：程序P终止，且 f=g;if p then h;f 反复递归引理通知我们，循环程序的验证可以经过将循环

4、化为递归的方法，转化为终止性和由选择以及序列组成的无循环程序进展验证！ 正确性定理1/2知预期函数f和根本程序P，那么f=P的充要条件是： XDf，程序P终止，且对于不同的根本程序，函数f分别满足以下关系情形a：对于序列，p=g;h,有f=(x,y)|y=h*g(x)情形b：对于if-then程序，if p then g fi，有 f=(x,y)|p(x)y=g(x) | p(x) y=x情形c：对于if-then-else，if p then g else h fi，有 f=(x,y)|p(x) y=g(x)|p(x) y=h(x)情形d：对while-do程序,while p do g o

5、d，有 f=(x,y)|p(x) y=f*g(x)|p(x) y=x情形e：对于do-until程序,do g until p od,有 f=(x,y)|p*g(x) y=g(x)|p*g(x)-y=f*g(x)情形f：对于do-while-do程序，do1 g while p do2 h od，有 f=(x,y)|p*g(x) y=g(x)|p*g(x)-y=g(x)正确性定理-证明2/2情形a,b,c由程序函数直接可得情形d,由下式可得根据引理1： 对while-do程序,while p do g ，有 while p do = if p then g;f = (x,y)|p(x) y=f

6、*g(x)|p(x) y=x = f 情形e,f由引理2，3可证构造化程序正确性证明的代数方法n给定一个程序P的预期程序函数f，假设XDf，程序P是终止的，且经过正确性定理求解程序P的程序函数f，假设与预期函数f相等，那么得证。n证明步骤：n 1：程序P是终止的；n 2：f和程序P的定义域一样； n 3：经过正确性定理求解程序P的程序函数f，与预期函数f相等。n对于相对简单直观的程序，可以直接运用代数方法计算程序函数。n对于复杂的序列和条件程序,循环程序的证明，可以采取跟踪表方法求解程序函数。代数方法跟踪表1.知程序P：x:=x+y;y:=x-y;x:=x-y;求它的程序函数 假设变量x,y的

7、初值是x0,y0，执行第一个赋值语句后变量值为x1,y1，那么可以建立赋值表如下：语句xy1x:=x+yx1=x0+y0y1=y02y:=x-yx2=x1y2=x1-y13x:=x-yx3=x2-y2y3=y2分析跟踪表可知：X3=x2-y2=x1-(x1-y1)=y1=y0 Y3=y2=x1=y1=x0+y0-y0=x0经过跟踪表法，可知程序P的程序函数为(x,y),(y,x)代数方法例子跟踪表例：知预期函数f是x,y,a是整数，且x0 (x,y,a),(0,a*x+y,a) 程序P如下，其中x 0： while x0 do x,y=x-1,y+a 证明程序P是正确的，即f=P 证明1：程序

8、是终止的 证明2：定义域一样 证明3：f=(x,y)|p(x)-y=f*g(x) | p(x)-y=x，其中 p(x)=(x0),p(x)=(x=0) 利用f*g(x)的跟踪表证明3代数方法例子n于是有：n x2=0 y2=a0*(x0-1)+y0+a0=a0*x0+y0n即当x0时 x,y,a :=0,a*x+y,an 当x=0时 x,y,a := 0,y,a = 0,a*0+y,an因此可知，f (x,y,a)(0,a*x+y,a)，与预期函数相等，因此得证。语句xyx,y:=x-1,y+ax1=x0-1y1=y0+a0 x,y,a:=0,a*x+y,ax2=0y2:=a0*x1+y1循环

9、不变式产生的方法 对于程序部分正确性证明的不变式断言法，这一方法的关键是建立一个正确的不变式断言，对普通程序来说，不变式断言的建立主要依托程序员对程序的了解，尚无系统的方法。 但对构造化程序来说，假设知它的程序函数，那么可以根据不变式形状定理，来确定它的一个循环不变式。循环不变式产生的方法不变式形状定理：不变式形状定理：假设假设f=while p(x) do g(x) ，x0是初始值，那么是初始值，那么 循环不变式循环不变式q(x)为：为： f(x) = f(x0)证明：证明：1.在第一次进入循环时，在第一次进入循环时， f(x0) = f(x0)，因此，因此q(x)成成立。立。2.试证假设在

10、每一次进入循环前试证假设在每一次进入循环前q(x) 成立，即成立，即f(x0)=f(x)，那么执行循环后，那么执行循环后q(x)也成立，即证明也成立，即证明 p(x) q(x) = q(g(x)=(f(g(x)=f(x0)由由p(x)为真，以及正确性定理为真，以及正确性定理 f=(x,y)|p(x) y=f*g(x)|p(x) y=x可可知知 即即 f(x0)=f(x)y=f*g(x)=f(g(x)循环不变式产生的方法同理可知如下定理：2 假设 f(x)=do g(x) until p(x) ，那么该循环不变式q(x)为 f(x)=(f(x)=f*g(x0)3假设 f(x)=do1 g(x)

11、while p(x) do2 h(x) ,那么该循环不变式q(x)为 f(x)=f*h*g(x)循环不变式产生的方法例1对于循环程序P：while v0 do u,v=u+1,v-1 其程序函数为(u,v),(u+v,0)，求其循环不变式对循环中一切变量，分别计算f(x)和f(x0)，列表如下：那么循环不变式为f(x)=f(x0) = u+v=u0+v0 xf(x)f(x0)Uu+vu0+v0v00循环不变式产生的方法例2求程序P： while ab do a,q:=a-b,q+1 的循环不变式该程序的程序函数为(a,b,q),(a-a/b*b),b,a/b+qa-a/b*b=a0-(a0/b

12、0)*b0 1b=b0 2(a/b)+q=(a0/b0)+q0 3由(1)、(2)得：a0-a=b*(a0/b0-a/b) 4由(3)得：a0/b0-a/b=q-q0 5综合(4)、(5)得 a0-a=b*(q-q0)xf(x)f(x0)aa-a/b*ba0-a0/b0*b0BbB0q(a/b)+q(a0/b0)+q程序正确性证明练习nP174页习题1和2nP190页习题1和6s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D

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