逻辑第五章推理、简化真值表和形式证明

1、推理的构成推理的构成 前提、结论和推出关系前提、结论和推出关系显性部分：前提和结论显性部分：前提和结论 前提与结论之间有个显著的标志前提与结论之间有个显著的标志”所以所以” “所以所以”前面是前提，后面是结论。前面是前提，后面是结论。 “所以所以”与与“因此、因而、可见、因此可见、总之、因此、因而、可见、因此可见、总之、总而言之总而言之”等相同。等相同。 前提与结论倒置，则用前提与结论倒置，则用“因为因为”连接。连接。隐性部分：推出关系隐性部分：推出关系 必然性推出关系必然性推出关系 或然性推出关系或然性推出关系推理的种类推理的种类第一、按思维进程方向第一、按思维进程方向推理推理演绎推理演绎推

2、理归纳推理归纳推理类比推理类比推理第二、按前提的数量第二、按前提的数量推理推理直接推理直接推理间接推理间接推理第三、推出关系第三、推出关系推理推理必然性推理必然性推理或然性推理或然性推理必然性推理必然性推理演绎推理演绎推理完全归纳推理完全归纳推理或然性推理或然性推理不完全归纳推理不完全归纳推理类比推理类比推理有效式是前提蕴涵结论的蕴涵式有效式是前提蕴涵结论的蕴涵式有效式与蕴涵式的共同点表现为：有效式与蕴涵式的共同点表现为：有效式有效式 前提真前提真 推出推出 结论必真结论必真蕴涵式蕴涵式 前件真前件真 蕴涵蕴涵 后件必真后件必真共同点共同点 前真前真 后必真后必真如果前提真，则结论必真的推理形

3、式是有效式。如果前提真，则结论必真的推理形式是有效式。如果要得出一个必然为真的结论，推如果要得出一个必然为真的结论，推理必须具备两个条件：理必须具备两个条件：第一，前提内容真实第一，前提内容真实第二，推理形式有效第二，推理形式有效3 3、前提真实性、形式有效式与结论真实性的、前提真实性、形式有效式与结论真实性的关系关系真或假真或假有效有效假假真或假真或假 无效无效假假真或假真或假无效无效真真真真有效有效真真结论结论推理形式推理形式前提内容前提内容前提真实性、形式有效式与结论真实性的关前提真实性、形式有效式与结论真实性的关系系复合命题推理有效式、无效式复合命题推理有效式、无效式类型类型有效式有效

4、式无效式无效式负命题推理负命题推理双重否定双重否定联言推理联言推理分解式分解式 合成式合成式相容选言推理相容选言推理 否定肯定式否定肯定式肯定否定式肯定否定式不相容选言推理不相容选言推理否定肯定式否定肯定式 肯定否定式肯定否定式充分条件假言推理充分条件假言推理肯定前件式肯定前件式 否定后件式否定后件式否定前件式否定前件式 肯定后件式肯定后件式必要条件假言推理必要条件假言推理否定前件式否定前件式 肯定后件式肯定后件式肯定前件式肯定前件式 否定后件式否定后件式充分必要条件假言推理充分必要条件假言推理肯定前件式肯定前件式 否定后件式否定后件式否定前件式否定前件式 肯定后件式肯定后件式 p 复合命题推

5、理有效性的判定复合命题推理有效性的判定例：写出下列推理的形式，并分析是否有例：写出下列推理的形式，并分析是否有效，简答理由。效，简答理由。如果物体受到摩擦，那么物体生热。物体如果物体受到摩擦，那么物体生热。物体受到摩擦。所以，物体生热。受到摩擦。所以，物体生热。（一）规则判定（一）规则判定 例：写出下列推理的形式，并分析是否例：写出下列推理的形式，并分析是否有效，简答理由。有效，简答理由。 如果我努力用功了，那么只要考试不超如果我努力用功了，那么只要考试不超出大纲范围，我就能过关。因此等于说，出大纲范围，我就能过关。因此等于说，如果我努力用功了并且考试不超出大纲如果我努力用功了并且考试不超出大

6、纲范围，那么我就能过关。范围，那么我就能过关。（二）真值表的判定作用（二）真值表的判定作用判定原则：判定原则：蕴涵式是永真式，当且仅当推理形式有效。蕴涵式是永真式，当且仅当推理形式有效。蕴涵式不是永真式，当且仅当推理形式无效。蕴涵式不是永真式，当且仅当推理形式无效。步骤：步骤：第一步：把蕴涵式放入真值表第一步：把蕴涵式放入真值表第二步：计算出蕴涵式的真值第二步：计算出蕴涵式的真值第三步：判定第三步：判定p pq q (p(pq) q) p p q q 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 10 0 0 1 00 1 00 01 1 0 1 1 0 1 1 0 00 0 0 1 0 0 1

7、0 (p q) p q p pq q (p(pq) q) p p q q 1 11 1 0 1 0 0 1 0 1 10 0 0 1 10 1 10 01 1 1 0 0 1 0 0 0 00 0 1 1 1 1 1 1 (p q) p q 判定下列推理形式是否有效：判定下列推理形式是否有效：p p q q ， r r s s ， r r t t t t p p简化真值表方法（归谬赋值法）简化真值表方法（归谬赋值法） 简化真值表方法首先假设一个推理形式无效，简化真值表方法首先假设一个推理形式无效，然后对表示这一推理形式的蕴涵式赋值。然后对表示这一推理形式的蕴涵式赋值。 1. 1.若赋值过程中无

8、矛盾，则该推理形式无效。若赋值过程中无矛盾，则该推理形式无效。 2.2.若赋值过程中有矛盾（即若赋值过程中有矛盾（即q q q )q )，则该推，则该推理形式有效。理形式有效。 原理原理归谬推理归谬推理 p p q, p q, p q q p p p p q q q q p p 1. 1.转换：把推理形式转换成蕴涵式。转换：把推理形式转换成蕴涵式。 p p q q， p p q q (p (pq) q) p p q q 2. 2.假设：假设该蕴涵式为假。假设：假设该蕴涵式为假。 (p(pq) q) p p q q 0 03.3.赋值：以蕴涵为假为条件，逐层赋赋值：以蕴涵为假为条件，逐层赋值。值

9、。 注意：赋值过程中，无矛盾无效，注意：赋值过程中，无矛盾无效，有矛盾有效。有矛盾有效。1. (pq) p q 02. (pq) p q 1 0 0 简化真值表方法的检验过程简化真值表方法的检验过程例例1 1：1 (p1 (pq) q) p p q q 0 0 2 (p 2 (pq) q) p p q q 1 0 0 1 0 0 3 3 (p (p q) q) p p q q 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 4 (p 4 (pq) q) p p q q 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 5 (p 5 (pq) q) p p q q 0 1 1 1 1 0

10、0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 判定：无矛盾，假设成立，该推理无效。判定：无矛盾，假设成立，该推理无效。即：当即：当p p赋值为假，赋值为假，q q赋值为真时，蕴涵式为假。赋值为真时，蕴涵式为假。 例例2 2：1 (p1 (pq) q) p p q q 0 0 2 (p 2 (pq) q) p p q q 1 0 0 1 0 0 3 (p 3 (pq) q) p p q q 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 4 (p 4 (pq) q) p p q q 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 5 (p 5 (p q) q) p p q q 1 1 1 1 0 1

11、1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 6 (p 6 (pq) q) p p q q 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 判定：产生矛盾，该推理有效。判定：产生矛盾，该推理有效。 判定判定“( p p q) p q”是否有效。是否有效。 赋值技巧赋值技巧1 1 变项赋值一般从结论（后件）开始。理由：变项赋值一般从结论（后件）开始。理由：结论为假，容易赋值；结论比较简单。结论为假，容易赋值；结论比较简单。 2 2 如果结论为假的变项组合不止一种：如果结论为假的变项组合不止一种： 如果一种组合在赋值过程中无矛盾，余下的如果一种组合在赋值过程中无矛盾，余下的组合不必再赋值，即可判

12、定该推理形式无效。组合不必再赋值，即可判定该推理形式无效。 如果所有组合在赋值过程中有矛盾，则该推如果所有组合在赋值过程中有矛盾，则该推理形式有效。理形式有效。判定判定“（p qp q）（r sr s）( ( q q s s) ) p p r”r”是否有效。是否有效。判定判定“（ p qp q） （ p p q q ） （ p p q q）”是否有效。是否有效。形式证明形式证明1. 1.根据复合命题的逻辑特性，可产生基本根据复合命题的逻辑特性，可产生基本的推理有效式和等值式。的推理有效式和等值式。2.2.形式证明是一个推导序列，推理的有效形式证明是一个推导序列，推理的有效性可以在一个推导序列中

13、得到证明。性可以在一个推导序列中得到证明。3.3.形式证明的结构分为三部分：序列号、形式证明的结构分为三部分：序列号、真值形式和理由。真值形式和理由。形式证明就是运用真值形式（人工符号）形式证明就是运用真值形式（人工符号）之间的之间的“逻辑变形逻辑变形”表示必然性推理的表示必然性推理的全过程。全过程。例例1： p q ，q r, r, r p 序列号序列号 真值形式真值形式 理由理由 1. p q 前提前提 2. q r r 前提前提 3. r 前提前提 4. q 2、3否后式否后式 5. p 1、4否肯式否肯式例例2： p q , p r, r, q r r p 逆向思维逆向思维例例3 3：

14、(qs),rs ,pq, (tu)r ,pu t(qs),rs ,pq, (tu)r ,pu t1. (t u) r 1. (t u) r t u r t u r2. p u u 2. p u u 3. p u p 3. p u p 4. p q ,p q4. p q ,p q5. (q s) 5. (q s) q s q s6. q s ,q s6. q s ,q s7. r s, s r7. r s, s r8. t u r, u r t8. t u r, u r t(qs) ,rs ,pq, (tu) r ,pu t1. (qs) 前提前提2. r s 前提前提3. p q 前提前提4.

15、 (tu) r 前提前提5. pu 前提前提6. p 5分解式分解式7. u 5分解式分解式8. q 3、6肯前式肯前式9. q s 1德摩根律德摩根律10. s 8、9否肯式否肯式11. r 2、10否后式否后式12. (tu) 4、11否肯式否肯式13. tu 12德摩根律德摩根律14. t 7、13否肯式否肯式 例例4 4：p pq, q s, r s, u (t r p) tx 1. p p q 前提前提 2. q s 前提前提 3. r s 前提前提 4. u (t r p) 前提前提 5. t r p 4分解式分解式 6. r s 3蕴涵定义律蕴涵定义律 7. s r 6假言易位律

16、假言易位律 8 . p r 1、2、7假言连锁假言连锁 9 . p r 8蕴涵定义律蕴涵定义律 10 . r p 9交换律交换律 11 . (r p) 10德摩根律德摩根律 12 . t 5、11否肯式否肯式 13 . t x 12附加律附加律 14 . t x 13蕴涵定义律蕴涵定义律注意：注意：如果前提中有如果前提中有联言命题联言命题，那么联言命题就做为，那么联言命题就做为形式证明的出发点。形式证明的出发点。形式证明的方法，不但能证明推理的有效性，形式证明的方法，不但能证明推理的有效性，而且还可以在已知的前提下推导出相应的结而且还可以在已知的前提下推导出相应的结论。论。例例5 一天夜里，某

17、百货商店被窃，经侦查了解到并确认以下情况：一天夜里，某百货商店被窃，经侦查了解到并确认以下情况： 盗窃者或者是甲盗窃者或者是甲(p)，或者是乙，或者是乙(q)。 如果甲是盗窃者，那么作案时间不在零点之前如果甲是盗窃者，那么作案时间不在零点之前(r)。 零点时该商店的灯灭了零点时该商店的灯灭了(s)，而甲此时尚未回家，而甲此时尚未回家(t)。 若乙的陈述是真的若乙的陈述是真的(u)，则作案时间在零点之前。，则作案时间在零点之前。 只有零点时刻该商店灯未灭，乙的陈述才是撒谎。只有零点时刻该商店灯未灭，乙的陈述才是撒谎。问：谁是盗窃者？问：谁是盗窃者？将前提符号化为：将前提符号化为：p q, p r

18、, s t, ur, su运用形式证明推导如下：运用形式证明推导如下： 1. p q 前提前提 2. p r 前提前提 3. s t 前提前提 4. u r 前提前提 5. s u 前提前提 6. s 3分解式分解式 7. u 5、 6肯前式肯前式 8. r 4、7肯前式肯前式 9. p 2 、8否后式否后式 10. q 1、9否肯式否肯式例例6 下面是一起杀人案的审讯记录：下面是一起杀人案的审讯记录：侦查员：你刚才说的都是实话吗？侦查员：你刚才说的都是实话吗？受审者：是的，全是实话。受审者：是的，全是实话。侦查员：你再重复一遍。侦查员：你再重复一遍。受审者：因为那天只有张三受审者：因为那天只

19、有张三(p)和李四和李四(q)到过死者到过死者的房间，杀人的肯定在他们之中。要是张三杀了的房间，杀人的肯定在他们之中。要是张三杀了人，他就会伪造现场人，他就会伪造现场(r)。要是当时我在现场。要是当时我在现场(s)，我也会被杀死我也会被杀死(t)。除非我在现场，张三不会伪造。除非我在现场，张三不会伪造现场。我知道的就这些，杀人犯是张三。现场。我知道的就这些，杀人犯是张三。问：受审者说的是否都是真话？问：受审者说的是否都是真话？将前提符号化为将前提符号化为：p q, p r, s t, s r, t根据上述前提作形式证明：根据上述前提作形式证明： 1. p q 前提前提 2. p r 前提前提

20、3. s t 前提前提 4. s r 前提前提 5. t 前提前提 6. s 3、5否后式否后式 7. r 4、6否前式否前式 8. p 2、7否后式否后式 9. q 1、8否肯式否肯式从已知前提中导出结论：杀人者不是张三而是李四，从已知前提中导出结论：杀人者不是张三而是李四，所以受审者讲的不全是真话。所以受审者讲的不全是真话。注意：注意：1、充分利用已知条件。、充分利用已知条件。2、正确理解自然语言，熟练转换符号语言。、正确理解自然语言，熟练转换符号语言。由自然语言翻译成人工语言应注意的问题：由自然语言翻译成人工语言应注意的问题：1. “只要只要p就就q”不同于不同于“只有只有p才才q”2.

21、 “或者或者p或者或者q”不同于不同于“要么要么p要么要么q”3. “甲、乙两人必须一个上场，一个不上场甲、乙两人必须一个上场，一个不上场”不同于不同于“甲、乙甲、乙不同时不同时上场上场”4. “甲、乙两人甲、乙两人都不懂都不懂法律法律”不同于不同于“甲、乙甲、乙不都懂不都懂法律法律”5. “并非如果并非如果买了股票买了股票就就能发财能发财”不同于不同于“如果不如果不买股票买股票就不就不能发财能发财”6. “除非除非p才才q”， “除非除非p不不q”不同于不同于“只有只有p才不才不q”7. “甲、乙、丙三人去两人甲、乙、丙三人去两人”8. “甲、乙都去或者甲、乙都不去甲、乙都去或者甲、乙都不去

22、”9. “即使即使甲去乙甲去乙也也不去不去”10. “你听从地你听从地不是不是苏格拉底，苏格拉底，而是而是更多地在听从真理更多地在听从真理”不同不同于于“你你不是不是在图书馆，在图书馆，就是就是在去图书馆的路上在去图书馆的路上”条件证明条件证明 p(qr) p(qr) pq r pq r p q r p （前提集合（前提集合） q 假设前提假设前提 . . . r q r 若前提集合若前提集合p加上假设前提加上假设前提q能推出能推出r，则前提集，则前提集合合p必然能推出必然能推出q r。 例例7 p q, rp qr1.pq 前提前提2. rp 前提前提3. q 假设前提假设前提4. p 1、

23、3否肯式否肯式5. r 2、4否后式否后式6. qr 3-5条件证明条件证明 例例8 8 请用形式证明的方法，证明下列推理的请用形式证明的方法，证明下列推理的形式有效（不可使用简化真值表方法）形式有效（不可使用简化真值表方法） p p q, q, r r s, s, t t r, r, ( ( t t p p) ) q q s s证一证一： 1. p q 前提前提 2. r s 前提前提 3. t r 前提前提 4. ( t p) 前提前提 5. t p 4德摩根律德摩根律 6. t p 5蕴涵定义律蕴涵定义律 7. r t 3蕴涵逆蕴涵交换律蕴涵逆蕴涵交换律 8. p q 1蕴涵定义律蕴涵定

24、义律 9. r q 6、7、8假言连锁假言连锁 10. q r 9假言易位假言易位 11. r s 2蕴涵定义律蕴涵定义律 12. q s 10、11假言连锁假言连锁 注意注意:如果给定的前提中没有联言命题如果给定的前提中没有联言命题,那么把析取式那么把析取式转换成蕴涵式转换成蕴涵式,再利用假言连锁进行推理。再利用假言连锁进行推理。证二：证二： 1. p q 前提前提 2. r s 前提前提 3. t r 前提前提 4. ( t p) 前提前提 5. q 假设前提假设前提 6. p 1、5否肯式否肯式 7. t p 4德摩根律德摩根律 8. t 6、7否肯式否肯式 9. r 3、8否前式否前式 10. s 2、9否肯式否肯式 11. q s 510条件证明条件证明 间接证明（归谬证明）间接证明（归谬证明） p （前提集合）（前提集合） q 假设前提假设前提 . . . r r q 若前提集合若前提集合p加上假设前提加上假设前提q能推出能推出r r，那么，那么就必然证明假设前提就必然证明假设前提q为假，从而间接证明了推理为假，从而间接证明了推理的结论的结论q。 例例9 p q , q r s , r pt t t1. p q 前提前提2. q r s 前提前提3. r p t t 前提前提4. t 假设前提假设前提5. (r p) 3、4否后式否后式6. r p 5德摩根律德摩