双曲线第二定义

1、例例1.求一渐近线为求一渐近线为3x+4y=0,一个焦点为一个焦点为(4,0)的双曲线的标准的双曲线的标准方程方程.解：解：:由已知可设双曲线12222byax) 00(ba，焦点为，双曲线一渐近线为) 04(43xy.443cab，222bac222)43(4aa ，252562 a.251442b.1251442525622yx故双曲线方程为)0( ,)43)(43(yxyx：令解：设双曲线方程为161692591616116922yx即的双曲线标准方程。点过有相同的渐进线，且经：求与双曲线练习)2 , 5(11625122Pyx)0( ,162522yx解：设双曲线方程为：代入双曲线方程

2、得：将)2 , 5(P16425254311275422yx双曲线方程为：1 1、定义：、定义：平面内到一个平面内到一个 定点定点F和一条和一条定直线定直线 l 的距的距离的比为常数离的比为常数e(0e1)的点的点 M的轨迹，叫的轨迹，叫椭圆椭圆。 定点定点F叫叫焦点焦点，定直线，定直线 l 叫叫准线准线。一、椭圆的第二定义一、椭圆的第二定义：（一）知识回顾：（一）知识回顾：椭圆有两个焦点椭圆有两个焦点F1，F2，两条准线，两条准线 l1 , l2F1F2Ml1l2d1d2F2(c,0)Ox F1 oyPNF2F1oxyPMNy=a2/c y=-a2/cMF2焦点在焦点在X轴上时轴上时, 设设

3、 P(x0，y0) 是椭圆上的点，则是椭圆上的点，则:焦半径公式为焦半径公式为:|PF1|=a+ex0, |PF2|=a-ex0焦点在焦点在y轴上时轴上时, 设设 P(x0，y0) 是椭圆上的点，则是椭圆上的点，则:焦半径公式为焦半径公式为: |PF1|=a +ey0， |PF2|=a-ey0椭圆椭圆 + =1上的点上的点P与其两焦点与其两焦点F1、F2的连线段分别叫做椭圆的左的连线段分别叫做椭圆的左焦半径和右焦半径焦半径和右焦半径,统称统称“焦半径焦半径”。ax22by22左加右减，下加上减左加右减，下加上减2 2、定义式：、定义式： edMFedMF2211|3 3、焦半径公式：、焦半径公

4、式：焦点在焦点在X轴上：轴上：MF1| = a + ex , |MF2| = a - ex焦点在焦点在Y轴上轴上：MF1| = a + ey , |MF2| = a - ey左加右减，下加上减左加右减，下加上减例例2、.45516:)05()(的轨迹，求点的距离的比是常数的距离和它到定直线，到定点，点MxlFyxM解：解：xy516xl：.F(5,0)OM（x,y）的距离，则到直线是点设lMd45|dMFd.45|516|)5(22xyx即化简得.14416922yx191622yx即.68的双曲线、分别为的轨迹是实轴、虚轴长点 M.)0(:)0()(2的轨迹，求点距离的比是常数的的距离和它到

5、定直线，与定点，点MacaccaxlcFyxM解：解：xyl l.FF OM的距离，则到直线是点设lMd由题意知acdMF|d.|)(222accaxycx即化简. )()(22222222acayaxac，则设222bac12222byax方程化为)0, 0(ba.22的双曲线、分别为的轨迹是实轴、虚轴长点baM.双曲线的第二定义：双曲线的第二定义：(1).MFlceea动点与一个定点 的距离和它到一条定直线的距离的比是常数，则这个点的轨迹是双曲线2222221:(0);xyabaF cxc双曲线中右焦点， ，对应的右准线方程是.)0(21caxcF对应的左准线方程是，左焦点yl l.FF

6、OMd.x“三定三定”： 定点是焦点；定点是焦点；定直线是准线；定直线是准线；定值是离心率定值是离心率.(定点不在定直线上定点不在定直线上)F1F2xy2axc2axc 22221(0,0)xyababaaac两条准线比双曲两条准线比双曲线的顶点更接近线的顶点更接近中心中心A1A2OF22axc准线方程：2axc，求证：是双曲线右支上任意点）（的焦点已知双曲线),(),0 ,(0 ,)0, 0( 100212222yxPcFcFbabyax例例2、证明：证明：，01|exaPFP说明：说明：|PF1|, |PF2|称为双曲线的焦半径称为双曲线的焦半径.cax2双曲线的左准线为：由双曲线的第二定

7、义得accaxPF201|01|:|exaPF整理得：由双曲线的第一定义得0122|exaaPFPF)|(|min2acPFe其中 为双曲线的离心率.yl l.F2F1O.02|exaPFx)|(|min1caPF| |,|),(),0 ,(0 ,)0, 0( 12100212222PFPFyxPcFcFbabyax，求是双曲线左支上任意点）（的焦点已知双曲线练习练习证明：证明：Pcax2双曲线的左准线为：由双曲线的第二定义得acxcaPF021|01|:|exaPF整理得：由双曲线的第一定义得0122|exaaPFPFyl l.F2F1O.xF1F2xy（二）（二）M2位于双曲线左支位于双曲

8、线左支),(111yxM1 11|M Fexa121|M Fexa222(,)Mx y（一）（一）M1位于双曲线右支位于双曲线右支212|M Fexa222|M Fexa 焦半径公式：焦半径公式：O思考：焦点在思考：焦点在y轴上呢？轴上呢？(x, y 互换互换).两准线间的距离：两准线间的距离：.准线方程：准线方程：c ca ac ca ax x2 22 2y或c c2 2a ad d2 2.焦准距：焦点到对应准线的距离焦准距：焦点到对应准线的距离c cb bd d2 24.双曲线的焦半径公式：双曲线的焦半径公式：点点M(x,y)在左支上时：在左支上时： |MF1|aex， |MF2|=aex

9、点点M(x,y)在右支上时：在右支上时： |MF1|aex， |MF2|=aex常用结论常用结论:).0,(),0,(21cFcF 设双曲线设双曲线 的焦点为：的焦点为：0 0) )b b1 1( (a ab by ya ax x2 22 22 22 2 ,05、通经：过焦点垂直与实轴的弦、通经：过焦点垂直与实轴的弦课堂练习课堂练习的两准线间的距离等于的两准线间的距离等于( )( )2 2、双曲线、双曲线13422xy的焦点坐标、的焦点坐标、准线方程准线方程1 1、求双曲线、求双曲线191622yx和离心率，并用第二定义描述该双曲线。和离心率，并用第二定义描述该双曲线。516x准线方程)0 ,

10、 5(F焦点坐标45e离心率（A） （B） （C） （D）77677858516B3、若改为求若改为求P到左准线的距离，答案如何？有几种解法？到左准线的距离，答案如何？有几种解法？ F1F2xycax2cax2OPPD5328108dd用椭圆的第二定义求解的一个问题，请仿照用椭圆的第二定义求解的一个问题，请仿照此题，设计一个用双曲线的第二定义求解的此题，设计一个用双曲线的第二定义求解的问题，并给出解答。问题，并给出解答。)2 , 1 (A1121622yx一个问题：已知点一个问题：已知点 在椭圆在椭圆4在学习椭圆的知识时，曾解决过这样在学习椭圆的知识时，曾解决过这样)0 , 2(F内部，内部，

11、 是椭圆的一个焦点，在椭圆上是椭圆的一个焦点，在椭圆上|2|PFPA 求一点求一点P，求，求 的最小值，这是的最小值，这是21dPF|2 PFd AFPdPd:2122结合图形得即，则比值定义得：的距离为到右准线，设点解：由题意得dPAPFPAdPFdPFdPe值。的值最小，并求出最小，使得上求一点在双曲线），（）、，（例如：已知点PFPAPyxFA2113,021322d转化。中的二定义将用双曲线的第分析：本题的关键是利PFPFPA2121Pp），为：（这时最小值为：1332,2532Pcaxyo.F.A.的最小值呢？若改为求PFPA 2)21(22PFPAPFPA的最小值求右支上一点，定点

12、是双曲线的右焦点为：已知双曲线方程为练|53|),2 , 9(,116912222MFMAAMFyxMy.F2F1O.xA得：解：由双曲线第二定义)( ,|2到右准线的距离为MdedMFdMF35|2即dMAMFMA|53|2536599)|(|2mincaxdMAA的最小值。求曲线右支上一点，定点是双的右焦点为：已知双曲线方程为练习|),2 , 9(,116922222MFMAAMFyxMy.F2F1O.xA得：解：由双曲线第一定义62|21aMFMF6|12 MFMF即6|12MFMAMFMA621062146|)6|(|221min1AFMFMAxyo22221xyabMe1ca（一）双曲线第二定义：当点到一定点的距离和它到一定直线的距离之比是常数，这个点的轨迹是双曲线。2,()axa cc（二）准线方程：（三）焦半