隐函数与参量函数微分法

1、隐函数与参量函数微分法隐函数与参量函数微分法一、隐函数的导数一、隐函数的导数定义定义: :.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则: :用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.)(0),(xyyyxF 确定了一元隐函数确定了一元隐函数设设得得代入代入将将0),()( yxFxyy0)(, xyxFu0 dxdu则则两边对两边对 x 求导

2、，当遇到求导，当遇到 y 的函数的函数 f(y)时时)(yfdxd要求的是要求的是)(yfz 记记xyzdxdydydzdxdz dxdyyf )(将求出的这些导数代入将求出的这些导数代入0 dxdu得到关于得到关于dxdy的代数方程，的代数方程，即即为为所所求求解解得得),(yxgdxdy 至于隐函数求二阶导数，与上同理至于隐函数求二阶导数，与上同理求导求导两边再对两边再对在在xyxgdxdy),( ),(22yyxGdxyd 代入代入再将再将),(yxgdxdy 例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求求导导方方程

3、程两两边边对对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2 2.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对 xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.例例3 3.

4、)1 , 0(, 144处的值处的值在点在点求求设设yyxyx 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求导得求导得两边再对两边再对将方程将方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx, 1, 0 yx代入代入得得4110 yxy.16110 yxy补证反函数的求导法则补证反函数的求导法则为其反函数为其反函数为直接函数，为直接函数，设设)()(xfyyx 隐隐函函数数确确定定的的一一个个可可视视为为由由方方程程0)()( yxxfy 由隐函数的微分法则由隐函数的微分法则求导得求导得两边对两边对方程方程xyx)(

5、 dxdyy )(1 )(1ydxdy 例例42222,lnarctandxyddxdyyxxy求求设设 解解求导得求导得方程两边对方程两边对x)(11122222 yxyxxyxy222222222221yxyyxyxxyxyyxx yyxyxy yxyxdxdy yxyxdxddxyd222)()1)()(1(yxyyxyxy 2)(22yxyyx 3)()()(2yxyxyyxx 322)()(2yxyx 例例5 求证抛物线求证抛物线ayx 上任一点的切线上任一点的切线在两坐标轴上的截距之和等于在两坐标轴上的截距之和等于a证证求导得求导得两边对两边对方程方程xayx 02121 dxdy

6、yxxydxdy 故曲线上任一点故曲线上任一点),(00yx处切线的斜率为处切线的斜率为0 xxdxdyk 00 xy 切线方程为切线方程为)(0000 xxxyyy 000000 xyyxxyyx 000000 xyyxxyyx )(0000yxyx 00yxa 100 yayxax故在两坐标轴上的截距之和为故在两坐标轴上的截距之和为)(0000yxayaxa a 二、对数求导法二、对数求导法 有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数有时会遇到这样的情形，即虽然给出的是显函数但直接求导有困难或很麻烦但直接求导有困难或很麻烦观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法

7、方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.目的是利用对数的性质简化目的是利用对数的性质简化求导运算。求导运算。-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形开方和幂指函数开方和幂指函数多个函数相乘、乘方、多个函数相乘、乘方、xvxu例例6 6.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设解解等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx例

8、例7 的导数的导数求求)4)(3()2)(1( xxxxy解解这函数的定义域这函数的定义域 1, 32, 4 xxx4 x若若两边取对数得两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21ln xxxxy两边对两边对 x 求导得求导得41312111211 xxxxyy313121112 xxxxyy1 x若若)4)(3()2)(1(xxxxy 两边取对数得两边取对数得)4ln()3ln()2ln()1ln(21lnxxxxy 两边对两边对 x 求导得求导得41312111211xxxxyy 313121112 xxxxyy同理同理32 x若若313121112 xxxxyy例例8dxd

9、yyxxy求求设设 解解两边取对数得两边取对数得yxxylnln 两边对两边对 x 求导得求导得yyxyxyxy 1ln1ln22lnlnxxxyyyxyy 例例9dxdyaxaxaxynanaa求求设设)()()(2121 解解两边取对数得两边取对数得)ln()ln()ln(ln2211nnaxaaxaaxay 两边对两边对 x 求导得求导得nnaxaaxaaxayy 221112211nnaxaaxaaxayy 例例1010.),0(sinyxxyx 求求设设解解等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1s

10、inln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)(ln)()(lnxuxvxf )()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv 三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 消去参数消去参数22)2(xty 42x xy21 问题问

11、题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?,)()(中中在方程在方程 tytx),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy 参量函数参量函数, 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( 容易漏掉容易漏掉)(1)()()()()(2tttttt .)()()(

12、)()(322tttttdxyd 即即例例1111处的切线处的切线在在求摆线求摆线2)cos1()sin( ttayttax.方方程程解解dtdxdtdydxdy taatacossin ttcos1sin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .),12(,2ayaxt 时时当当 所求切线方程为所求切线方程为)12( axay)22( axy即即例例123222,11ydxydyxdxdytytx 证明证明设设证证dtdxdtdydxdy tt 121121tt 11yx )(22dxdydxddxyd )(yxdxd 2yyxy 2yyxy 322yyx 32y )2(22 yx例例13

13、设曲线设曲线由极坐标方程由极坐标方程r=r()所确定，试求该所确定，试求该曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线上点上点处的切线的直角坐标方程处的切线的直角坐标方程 er )2,(2 e解解由极坐标和直角坐标的变换关系知由极坐标和直角坐标的变换关系知 sin)(cos)(ryrx ddxddydxdy sin)(cos)(cos)(sin)(rrrr 时时当当 er sincoscossin)sin(cos)cos(sin eedxdy时时当当2 切线斜率为切线斜率为12 dxdyk), 0()2,(22 eeer所对应的直角坐标为所对应的直角坐标为上

14、点上点而而 故切线的直角坐标方程为故切线的直角坐标方程为)0(2 xey 2 eyx 即即例例1414.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮弹弹在在时时刻刻的的运运动动方方向向炮炮弹弹在在时时刻刻求求其其运运动动方方程程为为发发射射炮炮弹弹发发射射角角以以初初速速度度不不计计空空气气的的阻阻力力ttgttvytvxv 解解.,)1(00可由切线的斜率来反映可由切线的斜率来反映时刻的切线方向时刻的切线方向轨迹在轨迹在时刻的运动方向即时刻的运动方向即在在ttxyo0vvxvyv)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .co

15、ssin0000 vgtvdxdytt轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 四、相关变化率四、相关变化率.,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设dtd

16、ydtdxyxtyytxx 相关变化率问题相关变化率问题: :已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率已知其中一个变化率时如何求出另一个变化率?例例1515?,20,120,4000,/803水面每小时上升几米水面每小时上升几米米时米时问水深问水深的水槽的水槽顶角为顶角为米米形状是长为形状是长为水库水库秒的体流量流入水库中秒的体流量流入水库中米米河水以河水以解解0604000m则则水水库库内内水水量量为为水水深深为为设设时时刻刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对 tdtdhhdtdV 38000,/288003小时小时米米 dtdV,20米时米时当当 h小时小时米米/104. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率五、小结五、小结隐函数求导法则隐函数求导法则: : 直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法: : 对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求 导法则求导