大学物理 静电场

1、首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出1首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2一、电荷，带电体间的相互作用一、电荷，带电体间的相互作用1 1、电荷、电荷( (Charge) )、电磁力、电磁力( (Electrical forces) )3 3、电荷有正负性、电荷有正负性 电量：物体荷电多少的量度。电量：物体荷电多少的量度。是使物质之间产生电相互作用的一种属性。是使物质之间产生电相互作用的一种属性。带电体间的相互作用；电磁力是长程力。带电体间的相互作用；电磁力是长程力。电磁力有吸引和排斥，可屏蔽。电磁力有吸引和排斥，可屏蔽。 正电（玻璃

2、带电），负电（树脂带电）正电（玻璃带电），负电（树脂带电）首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出34 4、电荷守恒定律、电荷守恒定律5 5、电荷量子化、电荷量子化( (quantisation) )在一孤立系统内，该系统的正负电量代数和保持不变。在一孤立系统内，该系统的正负电量代数和保持不变。 物体所带电荷不是以连续方式出现，而是电荷的最小单元物体所带电荷不是以连续方式出现，而是电荷的最小单元（e=1.60e=1.6010101919库仑）的整数倍。库仑）的整数倍。 即q=ne n=1.2.3。带电量夸克U quark (上)D quark(下)S quark(奇)C quark(粲)2

3、/3 |e|-1/3 |e|-1/3 |e|2/3|e|强子理论研究中提出所谓夸克模型强子理论研究中提出所谓夸克模型, ,以四味夸克为例以四味夸克为例首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出46 6、电荷运动不变性、电荷运动不变性 电荷的不变性电荷的不变性: :电荷量不因参考系的不同而改变电荷量不因参考系的不同而改变XX+电量为电量为Q电量为电量为Qv即、系统的电量与参考系无关。即、系统的电量与参考系无关。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出5二、库仑二、库仑(Coulomb)(Coulomb)定律定律 1 1、真空中的库仑定律、真空中的库仑定律点电荷点电荷(point charg

4、e)的模型的模型02212112rrqqkFF1212表示表示q1 1对对q2 2的作用力，的作用力，r2121表示表示q2 2对对q1 1的位矢，的位矢，r0表示表示r2121的的单位矢量单位矢量r r1q2qF12两个两个静止静止点电荷之间的相互作用力的大小和它们点电荷之间的相互作用力的大小和它们的电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方的电量的乘积成正比，与它们之间的距离的平方成反比。作用力的方向在两点电荷的连线上，且成反比。作用力的方向在两点电荷的连线上，且“同性相斥，异性相吸同性相斥，异性相吸”。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出6 此定律只适用于：此定律只适用于：真空（空

5、气）真空（空气）或无限大的均匀电介或无限大的均匀电介 质中；质中；静止静止的的( (Electrostatics) )；两个；两个点电荷点电荷( (Point charge) )； 电量同号时电量同号时F1212为正为正( (斥力），异号时斥力），异号时F12 12 为负（引力）。为负（引力）。 比例系数：随单位制而不同，在比例系数：随单位制而不同，在SISI制中，制中， 2291000. 9CmNk041k2121201085. 8mNC ：真空介电常数：真空介电常数0orrqqF2210410r：施力电荷指向受力电荷的单位矢量：施力电荷指向受力电荷的单位矢量首首 页页 上上 页页 下下 页

6、页退退 出出72 2、静电力的叠加原理、静电力的叠加原理ojjjijjjrrqqFF2041受力电荷受力电荷qi，施力电荷施力电荷qj（qj是是n个施力电荷之一）个施力电荷之一）jr0：施力电荷施力电荷qj指向受力电荷指向受力电荷qi的位矢的位矢 的单位矢量的单位矢量首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出8三三 电场强度电场强度1 1、电场、电场 带电体间的相互作用通过什么实现呢？带电体间的相互作用通过什么实现呢？实验证明：电力作用是通过中介物质实验证明：电力作用是通过中介物质电场电场来传递的来传递的（2 2） 场是物质存在的形式场是物质存在的形式（1 1）历史上的两种观点：）历史上的两

7、种观点： 超距作用超距作用无须物质传递，作用速度无穷大，瞬间即达。无须物质传递，作用速度无穷大，瞬间即达。 近距作用近距作用必须由物质传递，以有限速度传递。必须由物质传递，以有限速度传递。电荷电荷 电场电场 电荷电荷 有质量、能量、动量有质量、能量、动量 场物质与实物物质的区别：场物质与实物物质的区别： 实物物质：不可入性，有静止质量实物物质：不可入性，有静止质量 场物质：可叠加性，无静止质量场物质：可叠加性，无静止质量首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出9（3 3）电场的外在表现）电场的外在表现 2 2、电场强度的概念、电场强度的概念 （1 1） 试验电荷试验电荷（2 2）场力的性质

8、）场力的性质 实验发现实验发现; ;若考察场中某一点则有若考察场中某一点则有0qF 带电体在电场中受到带电体在电场中受到力力的作用。的作用。 带电体在电场中移动时，带电体在电场中移动时，电场力做功电场力做功。 处于电场中的处于电场中的 介质介质将被极化，将被极化， 导体导体产生静电感应。产生静电感应。 小电量，点电荷，用小电量，点电荷，用q q0 0表示，为方表示，为方便起见，通常用便起见，通常用正正电荷。电荷。r场源考察点0qF首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出10或对场中某一点有：或对场中某一点有：常矢常矢0qF 比值与场源性质，场点位置，场内介质分布有关而与比值与场源性质，场点

9、位置，场内介质分布有关而与q0无关。无关。（3 3）电场强度）电场强度 静电场静电场中某点的中某点的场强场强在数值上等于在数值上等于单位正电荷单位正电荷受到的受到的电场电场力力，方向与正电荷在该点所受场，方向与正电荷在该点所受场力方向相同力方向相同。 0qFE单位（单位（SISI）：）： 牛牛库（库（N NC C） 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出113 3、场强的叠加原理、场强的叠加原理 场力的叠加场力的叠加niiFF1场的叠加原理场的叠加原理 电场中某点的场强等于形成该场的各个电场中某点的场强等于形成该场的各个场源场源电荷电荷单独存在单独存在时时在该处所产生的场强之在该处所产生

10、的场强之矢量和矢量和。 例如两点电荷在例如两点电荷在P P点电场的叠加点电场的叠加0qFEniiqF10niiE121EEE2E2q1q1Ep首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出12四、场强的计算四、场强的计算 1 1、点电荷在真空中的场强、点电荷在真空中的场强02041rrqE讨论：讨论： r0是由场源点电荷指向考察点矢径的单位矢量；是由场源点电荷指向考察点矢径的单位矢量； q为正，则为正，则E与与r 同向；同向；q为负，则为负，则E与与r反向；反向；0qFE0020041qrrqq 0204rrqr场源考察点0qF首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出13 r，则，则 E =

11、 = 0 r0 0 ，则，则 E ，点电荷模型不成立。，点电荷模型不成立。2 2、 点电荷系的场强点电荷系的场强02014iiinirrqE首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出143 3、 电荷连续分布的带电体的电场中的场强电荷连续分布的带电体的电场中的场强将其分割成点电荷系，求每个点电荷元的电场将其分割成点电荷系，求每个点电荷元的电场0204rrdqEd然后对所有点电荷元求积分：然后对所有点电荷元求积分： 0204rrdqEQ带电体带电体 dq= dV带电面带电面 dq= dS带电线带电线 dq= dlEdVPdq首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出15五、电场力五、电场力（

12、）（） 带电体在带电体在匀强场中：匀强场中： EqF（）（） 带电体在非带电体在非匀强场中：匀强场中： QdqEF首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出16在在P点产生大小为点产生大小为 2041rdxdE解：以解：以点的垂足点的垂足o为为原点，并取直角坐标原点，并取直角坐标oxy如图如图cos4cos20rdxdEdExsin4sin20rdxdEdEy222sinar actgatgx)2(例例9- 1 9- 1 求真空中长为求真空中长为L、均匀带电，线电荷密度为、均匀带电，线电荷密度为的直线的的直线的场强。场点与直线的垂直距离为场强。场点与直线的垂直距离为a、场点与直线两端连线和直

13、线、场点与直线两端连线和直线的夹角分别为的夹角分别为1和和2。 取电荷元取电荷元dxdq2sindadx La12x0yPEddxxrxEdyEd2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出17cos420rdxdExdadEysin40dadEExxcos4210LyyadadEE)cos(cos4sin4210021222sinar actgatgx)2(2sindadx dacos40120sinsin4a首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出180 xE2ayEj则则 即无限长均匀带电直线的场强，即无限长均匀带电直线的场强，具有轴对称性。具有轴对称性。Er120sinsin4a

14、Ex210coscos4aEy讨论：讨论：L210 ,若若首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出19例例9-29-2：带电量为：带电量为q、半径为、半径为R的均匀带电圆环轴线上一点的场强的均匀带电圆环轴线上一点的场强 R0PxdEr/dEdE解：轴上解：轴上P点与环心的距离为点与环心的距离为x。在环上取线元在环上取线元dldq在在P点产生的场强点产生的场强dE的方向如图，大小为的方向如图，大小为dlR2qdldq204rdqdE首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出20 x 轴方向的分量轴方向的分量 y 轴垂直方向的分量轴垂直方向的分量 cos420rdldExsin420rdld

15、EyLxdEELrdlcos420Lrxrdl204Rdlrx20304232204xRqx 根据对称性，根据对称性，dE 的与的与 x 轴垂直的分量互相抵消。轴垂直的分量互相抵消。P点场强点场强E的方向沿的方向沿 x 轴方向，即轴方向，即 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出21考虑方向，即考虑方向，即 iRxqxE2322)(4首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出22例例9-3 9-3 求面电荷密度为求面电荷密度为 的，半径为的，半径为R的薄带电圆盘中心轴线的薄带电圆盘中心轴线x处一点的电场强度。处一点的电场强度。解：建立坐标系解：建立坐标系ox圆盘可分割成许多带电圆盘可分

16、割成许多带电细圆环细圆环rdrdsdq2232204xrxdqdE积分，得积分，得RxrdrrxE02322042Rxrxrdx023222202222012xRxR+OdrrpExxp首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出23例例9 94 4 如图，一均匀带电的无限长直线段，电荷线密度如图，一均匀带电的无限长直线段，电荷线密度1，另有一均匀带电直线段，长度为另有一均匀带电直线段，长度为l, ,电荷密度为电荷密度为2 ，两线互相垂，两线互相垂直且共面，若带电线段近端距长直导线为直且共面，若带电线段近端距长直导线为a .求它们之间的相互求它们之间的相互作用力。作用力。则则dq受到的力受到的

17、力 EdqdF 各电荷元所受力的方向相同，故各电荷元所受力的方向相同，故aladrrFlaaln22021201l1ABa解：在解：在l上取上取 drdq2dldq2rrE012所在处的所在处的首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出24一、电力线一、电力线( (电场线）电场线）、电力线的切线方向表示场强方向、电力线的切线方向表示场强方向 、静电场电力线的性质：、静电场电力线的性质： （1 1）起自正电荷（或）起自正电荷（或 处）、终止于负电荷（或处）、终止于负电荷（或 处），处），不形成闭合回线、也不中断不形成闭合回线、也不中断 。电力线Q0qQERREPpE（2 2）任意两条电力线不相

18、交。（）任意两条电力线不相交。（E是唯一的）。是唯一的）。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出253.3.电力线形状电力线形状首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出26 即：即： 在电场中任一点处，通过垂直于在电场中任一点处，通过垂直于E E的单位面积上的的单位面积上的电力线的数目等于该点处电力线的数目等于该点处E的量值。的量值。4 4、 电力线的密度则表示场强的大小电力线的密度则表示场强的大小取极限，则有：取极限，则有：dsdEe1EA2EBSNESeN为通过为通过S的电力线数，的电力线数，S是与是与E E垂直的截面垂直的截面, ,首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出2

19、7二、电通量二、电通量(The flux of E)、电通量的计算、电通量的计算SEecosSESEeSEe、定义：、定义：通过电场中任一给定截面的电力线的总数称为通通过电场中任一给定截面的电力线的总数称为通 过该截面的电通量，记为过该截面的电通量，记为e 在匀强场中在匀强场中( (平面）平面）( (E与与S平行平行 S= =Sn0）在匀强场中在匀强场中( (E与与S成成 角角 ）SESEe0cosSE/SEn0SESn0首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出28在非匀强场中（曲面）在非匀强场中（曲面） SdEdeSeSdESEdsnE首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出29 电

20、场中的任意闭合曲面电场中的任意闭合曲面S、电场强度、电场强度E 的通量的通量SeSdE 以曲面的外法线方向为正方向，因此：以曲面的外法线方向为正方向，因此：SdSdEde与曲面相切或未穿过曲面的电力线，对通量无贡献。与曲面相切或未穿过曲面的电力线，对通量无贡献。从曲面穿出的电力线，电通量为正值；从曲面穿出的电力线，电通量为正值；穿入曲面的电力线，电通量为负值；穿入曲面的电力线，电通量为负值；nEnnnnnS首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出30三、高斯定理三、高斯定理(Gauss law)(Gauss law) 1 1、真空中的高斯定理、真空中的高斯定理e 穿过任一闭合曲面的电通量穿

21、过任一闭合曲面的电通量 等于该等于该曲面内所包围的所有电荷的代数和除以曲面内所包围的所有电荷的代数和除以 ，而与闭合面外的电荷无关。，而与闭合面外的电荷无关。00qSdEis qi 是曲面是曲面S 内的电荷的代数和，这里的内的电荷的代数和，这里的E是总电场是总电场( (电电力线穿过曲面处的电场）力线穿过曲面处的电场）、是、是S面内外所有电荷共同产生的面内外所有电荷共同产生的电场。电场。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出31 如图所示。在如图所示。在S上取面元上取面元dS ，其法线，其法线n0与面元处的场强与面元处的场强E的的方向相同。所以通过方向相同。所以通过dS的电通的电通量量 d

22、SEde0cos通过整个闭合球面通过整个闭合球面S的电通量的电通量 2 2、高斯定理的简单证明：（以点电荷电场为例。）、高斯定理的简单证明：（以点电荷电场为例。） 1 1）闭合球面）闭合球面S：以点电荷为中心，取任意长度以点电荷为中心，取任意长度r为半径作闭合为半径作闭合 球面球面S包围点电荷包围点电荷dSrq2041sseerqdsd204sdsrq2040q 从从 q 发出的电力线穿出球面发出的电力线穿出球面E0nSd首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出32 因为只有与因为只有与S 相切的锥体内的电力线才通过相切的锥体内的电力线才通过S，但每一条，但每一条电力线一进一出闭合曲面、正

23、负通量相互抵消，如下图。电力线一进一出闭合曲面、正负通量相互抵消，如下图。2 2）任意闭合曲面）任意闭合曲面S： 在该曲面外作一个以点电荷在该曲面外作一个以点电荷q为中心的球面为中心的球面S SeqsdE03 3）曲面）曲面S不包围不包围q由于电力线的连续性、同前例由于电力线的连续性、同前例0sesdE从从q q发出的电力线发出的电力线穿出任意闭合曲面穿出任意闭合曲面 0nESdSSqEnn首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出334 4）任意带电系统：）任意带电系统：n1iiEE通过任意闭合曲面通过任意闭合曲面S的电通量为的电通量为SeSdE在闭合曲面在闭合曲面S取定情况下取定情况下

24、SsniieSd)E(dSE1当某点电荷当某点电荷qi位于闭合曲面位于闭合曲面S内时内时 0qSdEisi当某点电荷当某点电荷qi位于闭合曲面位于闭合曲面S外时外时 0siSdE任意带电系统的电场可看成是点电荷电场的叠加，由场强任意带电系统的电场可看成是点电荷电场的叠加，由场强叠加原理叠加原理 sdEsnii 1niSiSdE1首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出34011qSdESd)E(SdEiniSiSsniie 高斯定理说明高斯定理说明电电力力线线尾尾闾闾负负电电荷荷电电力力线线源源头头正正电电荷荷证毕。所以有：首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出353 3、正确理解高

25、斯定理、正确理解高斯定理 2 2）高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的高斯面内的电量为零，只能说明通过高斯面的e为零，但为零，但 不能说明高斯面上各点的不能说明高斯面上各点的E一定为零。一定为零。1 1）高斯面上各点的场强高斯面上各点的场强E，例如，例如P点的点的 EP 是所有在场的电荷是所有在场的电荷 共同产生。高斯定理中的共同产生。高斯定理中的e只与高斯面内的电荷有关。只与高斯面内的电荷有关。 PDqCqAqBqDqCqqqE首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出36四、高斯定理的应用：四、高斯定理的应用： 对于某些对于某些具有特殊对称性具有特殊对称性的带电体，利用高斯定理可以方

26、的带电体，利用高斯定理可以方便地求出电场分布。便地求出电场分布。 1 1、均匀带电球面的电场：、均匀带电球面的电场：( (设总电量为设总电量为q、球面的半径为、球面的半径为R) ) （1 1）球面内场强：）球面内场强： 电荷均匀分布的球面，其球电荷均匀分布的球面，其球面内任一点的场强一定为零。面内任一点的场强一定为零。 注意：不能简单地说，因为注意：不能简单地说，因为球面内没有电荷，所以球面内球面内没有电荷，所以球面内任一点的场强为零。任一点的场强为零。对称性分析对称性分析/dqEd Ed/dqdqdqdqdq首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出37（）球面外场强（）球面外场强 Ed

27、dq P /dq O R R P 均匀带电球面在球面外的电场分布具有球对称性（或说点对均匀带电球面在球面外的电场分布具有球对称性（或说点对 称性）称性） 为求为求P点的场强，过点的场强，过P点作一与带电球面同心的高斯球面，则作一与带电球面同心的高斯球面，则由对称性可知，球面上各点的由对称性可知，球面上各点的E值相同，于是有值相同，于是有204rQEssdE24 rE0QsEds00cossdsE首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出38、 均匀带电球体内、外的场分布均匀带电球体内、外的场分布RQorE EssdsEsdE030134rq013ErRQrE2 2）球外场分布）球外场分布 r

28、QEEorR2014QR 1 1）球内的场分布）球内的场分布24 rE303431RQror首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出39可见，均匀带电球面或球体外一点的电场强度，等可见，均匀带电球面或球体外一点的电场强度，等同于将全部电荷集中于球心时的点电荷的场强，即同于将全部电荷集中于球心时的点电荷的场强，即0204rrQE首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出403 3、无限大均匀带电平面的电场：、无限大均匀带电平面的电场：（设其电荷面密度为（设其电荷面密度为） 由分析可知无限大均匀带电平面由分析可知无限大均匀带电平面的电场分布具面对称性，即电力线的电场分布具面对称性，即电力线是

29、一组垂直于平面的平行线是一组垂直于平面的平行线; ;且与且与平面等距离的点场强大小相等。平面等距离的点场强大小相等。 设设P为平面外之一点，过为平面外之一点，过P点作一点作一与无限大平面垂直且对称的小柱形与无限大平面垂直且对称的小柱形高斯面，如下图：高斯面，如下图：2s0n0n0ns3sEE则通过该高斯面的电通量为：则通过该高斯面的电通量为：E1s首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出41说明无限大带电平面的电场中，各点的场强相等，与距说明无限大带电平面的电场中，各点的场强相等，与距离无关。离无关。00SqSEsEs32123ssses dEs dEs dEEs2而而02E所以电场大小为

30、所以电场大小为方向垂直于平面，带正电时向外、带负电时指向平面；方向垂直于平面，带正电时向外、带负电时指向平面；首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出42* * 带等量异号电荷的两块无限大均匀带电平面的电场分布：带等量异号电荷的两块无限大均匀带电平面的电场分布：0外E0EEE内由图可知：由图可知：0外E0外EE内EE首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出434 4、无限长均匀带电圆柱面的电场、无限长均匀带电圆柱面的电场（设电荷线密度为设电荷线密度为） 同前分析可知，柱面内各点同前分析可知，柱面内各点E内内= =0，电场以中心轴线，电场以中心轴线为对称。为对称。+)( rR横截面上的电

31、场分布横截面上的电场分布首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出44 设设P为柱面外之一点，过为柱面外之一点，过P作与带电柱面同轴的柱形作与带电柱面同轴的柱形高斯面，则高斯面的侧面高斯面，则高斯面的侧面S上的各点上的各点E值相同，而值相同，而上、下两底上、下两底E的方向与的方向与S1、 S3的法线方向垂直，所以的法线方向垂直，所以通过该高斯面的电通量为：通过该高斯面的电通量为：EE123ssssdEsdEsdEsesdE2sE p2nlr1s2s3s2n首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出45 可见，无限长均匀带电圆柱面外各点的电场，等同于将可见，无限长均匀带电圆柱面外各点的电场，

32、等同于将全部电荷集中在轴线上的无限长直带电线的电场。全部电荷集中在轴线上的无限长直带电线的电场。 lrS22rE02即00lqS02lrlE首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出46由上可总结出应用高斯定理求由上可总结出应用高斯定理求E E的步骤的步骤首先分析首先分析场源的对称性场源的对称性（常见的是中心、面、轴对称性）（常见的是中心、面、轴对称性）选取一个选取一个合适的高斯面合适的高斯面，使得或者在该高斯面的某一部分曲，使得或者在该高斯面的某一部分曲面上的面上的E值为常数，或者使某一部分曲面上的值为常数，或者使某一部分曲面上的E与它们的法线方向与它们的法线方向处处垂直。处处垂直。* *

33、：如果场分布：如果场分布不具备对称性不具备对称性，则由高斯定理求，则由高斯定理求并不方便，并不方便， 但高斯定理依然成立。但高斯定理依然成立。然后由高斯定理然后由高斯定理求求E0iisqsdE首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出47例例9 96 6 一质量为一质量为m 的带电小球带电量为的带电小球带电量为q，悬于一丝线下端，悬于一丝线下端，线与一块很大的带电平面成线与一块很大的带电平面成角，求此带电平面的电荷面密度角，求此带电平面的电荷面密度解：以解：以带电球为对象，则其受力带电球为对象，则其受力如图。如图。mgtgqE mgtgq02tgqmg02TmgqE根据三力平衡的性质，有根据

34、三力平衡的性质，有将将E = 20 代入上式代入上式首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出48一、电场力的功一、电场力的功rdFdWl dEqdW0l dEqWbaab0、静电力是保守力、静电力是保守力1)1)在点电荷的电场中在点电荷的电场中电场力的功为电场力的功为l dEqdW01 1 、电场力的功、电场力的功 功的定义如力学中一样功的定义如力学中一样drl dcos 由图知由图知 cos0l dEqq0q0qr/rdrarbrl dEqF0点电荷的电场中点电荷的电场中电场力的功电场力的功首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出49barrabrdrqqW20042 2）对于一般带

35、电体所激发的静电场）对于一般带电体所激发的静电场 l dFdWnii)(1l drrqqdWiniii012004dWWEdrqdW0drrqq2004)11(400abrrqq)(10l dEqnii)11(4001biaiinirrqqbarriniirdrqq21004首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出50 电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关，电电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关，电场力为保守力，场力为保守力，静电场为保守场静电场为保守场。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出51二、二、E的环流（的环流（circulation）定理）定理根据保守力的性质有根

36、据保守力的性质有0rdFl保00l dEql0ldEl静电场的环流定理静电场的环流定理静电场中电场强度沿闭合路径的线积分等于零。静电场中电场强度沿闭合路径的线积分等于零。静电场是静电场是保守场保守场。 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出52三、电势能的概念三、电势能的概念 、电势能、电势能21pErdF保选选q0在电场中在电场中a点的电势能为点的电势能为Wa ；b处的电势能为处的电势能为Wb baabl dEqW0baabapbpl dEqWEE0)(babpapEldEqE0选选b处的电势能为零处的电势能为零 baapl dEqE0静电场是保守场，可引进电势能的概念。静电场是保守场

37、，可引进电势能的概念。00aapl dEqEpE首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出532 2、电势能的性质、电势能的性质 1 1）电势能是系统所共有，故又称相互作用能。）电势能是系统所共有，故又称相互作用能。 2 2） 电势能是一个电势能是一个相对量相对量。 对于有限大小带电体，通常定义对于有限大小带电体，通常定义W0 0，这时电场中，这时电场中某点电势能为某点电势能为aaprdEqE00pbpEE 即即电荷在电场中某点所具有的电势能等于将电荷从该处电荷在电场中某点所具有的电势能等于将电荷从该处移至无穷远处的过程中，电场力做的功。移至无穷远处的过程中，电场力做的功。 电荷在电场中某点

38、所具有的电势能等于将电荷从该电荷在电场中某点所具有的电势能等于将电荷从该( (a) )处移至电势能为零的参考点处移至电势能为零的参考点( (b) )的过程中电场力做的功。的过程中电场力做的功。 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出54四、电势四、电势（Electric potential） 电场力的性质用电场强度电场力的性质用电场强度E描述，电场中能量的性质描描述，电场中能量的性质描述，引入电势的概念述，引入电势的概念Epaq0常常数数0qEap比值与试探电荷的电量无关，因而引入电势比值与试探电荷的电量无关，因而引入电势0qEUapa若考察电场中某点的电势能性质，实验表明：若考察电场中

39、某点的电势能性质，实验表明： 且发现且发现 常数只与常数只与 有关有关布布电介质及其他导体的分电介质及其他导体的分考察点的位置考察点的位置场源性质场源性质pE首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出55参参考考零零点点aapal dEqEU02 2）电势是相对量）电势是相对量1 1）电场中某点的电势，等于将电场中某点的电势，等于将单位正电荷单位正电荷从该点移至电势为从该点移至电势为零的参考点的过程中，电场力做的功。零的参考点的过程中，电场力做的功。选择电势零点的原则是：选择电势零点的原则是：当零点选好之后，场中各点必须有确定值。当零点选好之后，场中各点必须有确定值。 一个系统只能取一个零电

40、势点。一个系统只能取一个零电势点。 当带电导体接地时，也可以当带电导体接地时，也可以地球为零电势点地球为零电势点。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出56五、电势的计算五、电势的计算1 1）点电荷的电势）点电荷的电势 aal dEU2 2） 点电荷系的电势点电荷系的电势0201141iininiirrqEE是矢量和是矢量和 1 1、叠加法：、叠加法： iiniarqU014是标量和是标量和rrdrq204rq04al drrq0204设设0U设设0U首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出573 3）有限大小连续带电体的电势）有限大小连续带电体的电势 rdqdU04QrdqU04d

41、Vdsdldq2 2、定义法、定义法 直接用直接用 求电势求电势 UE dlaaU0当场强函数已知或能用高斯定律很方便求出时，当场强函数已知或能用高斯定律很方便求出时，取 时0U首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出58解：取电荷元解：取电荷元dq，则，则)(40 xaLdqdU)(40 xaLdqdUUpLxaL00| )ln(4例例9 9 均匀带电细棒长均匀带电细棒长L，电荷线密度为，电荷线密度为。求棒延长线上。求棒延长线上离棒距离为离棒距离为 a 的的 p 点的电势。点的电势。axLxdxxaL0dqLxaLdx00)(4aaL ln40P首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出

42、出59例例9-8 9-8 有均匀带电有均匀带电Q的细圆环，环半径为的细圆环，环半径为a，试求通过环心且与，试求通过环心且与环面垂直轴线上距环心为环面垂直轴线上距环心为x的一点的电势的一点的电势。220044xaQrQUpLprdlU04解：在环上取一线元，电荷为解：在环上取一线元，电荷为dldq它在它在p点产生的电势为点产生的电势为rdlrdqdUp0044Qdqr041+QyzxOpxdl22xar+a+首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出60例例9 99 9 求无限大带电平面的电场中任一点的电势。求无限大带电平面的电场中任一点的电势。解：若取带电平面为坐标原点，则场中任一点解：若取

43、带电平面为坐标原点，则场中任一点002rE因带电体是无限大平面，因带电体是无限大平面，故不能选取故不能选取无穷远处为零电势点。为此可选无穷远处为零电势点。为此可选r = 0处处电势为零电势为零，于是有，于是有0002rprdrUPEr002rr0r为为 的单位矢量。的单位矢量。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出61 例例9 910 10 求无限长带电直线电场中任一点的电势。求无限长带电直线电场中任一点的电势。 因其场强函数因其场强函数 002rrEcrdrrcrdEUa002（i i）若取若取r0时，时，U0 0ln20crUaln20Ercrcrdrln2200首首 页页 上上 页

44、页 下下 页页退退 出出62（iiii）若取）若取r00 时，时，U00rUa0ln20 在上述两种情况下，场中电势均无确定值，故在上述两种情况下，场中电势均无确定值，故不能这样不能这样选取零电势点，因此只能选取中场中某点选取零电势点，因此只能选取中场中某点r r0 0为零电势点为零电势点，则，则002rrardrUrr00ln2首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出63例例9 91 1 计算均匀带电球面电场中的电势分布。球半径为计算均匀带电球面电场中的电势分布。球半径为R、总电量为、总电量为q。解：根据高斯定理求出电场的分布解：根据高斯定理求出电场的分布r R2024rqEaprdEU

45、设设处的处的U0时时rdEUrp2rR时时RRrprdErdEU21rR时时RqUprR时时r1PR2Poqrrqdrr44q2Rq04首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出64六、电势差六、电势差 baabUUU2 2、 用电势差表示电场力的功用电势差表示电场力的功baabl dEqW0ababUqW0dUqdW0 即电场力的功等于电势能增量的负值。即电场力的功等于电势能增量的负值。1 1、电势差、电势差 00UaUbl dEl dEbal dE)(0baUUq0()baq UU )(apbpEE 将电荷将电荷q0由由a移至移至b点的过程中，电场力的功等于点的过程中，电场力的功等于q0

46、与与这两点的电势差的乘积。这两点的电势差的乘积。 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出65例例9 92 2 如图所示，如图所示，AB2 l ，OCD是以是以B为圆心、为圆心、l为半为半径的半圆，径的半圆，A、B两点处分别有点电荷两点处分别有点电荷q和和 q。求把电量。求把电量q0的电荷从的电荷从O点沿点沿OCD移到移到D点电场力所作的功。点电场力所作的功。)(00DoDUUqW解：解：00UlqlqUD004)3(4lqqWoD006 A l o 2l D C B q +q lq06首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出66一、等势面一、等势面1 1、等势面的定义、等势面的定义2

47、 2、 等势面性质等势面性质00dUqdW电场强度方向与等势面正交，即电力线与等势面正交电场强度方向与等势面正交，即电力线与等势面正交, ,电场电场强度的方向为电势降落的方向。强度的方向为电势降落的方向。 电场中电势相同的各点组成的曲面。电场中电势相同的各点组成的曲面。电荷在等势面上移动，电场力不做功电荷在等势面上移动，电场力不做功1U2U3UEq0qldl dEqdW00cos0l dEq0cos090首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出67 等势面的疏密度可直观地描述电场中场的强弱，（规定使等势面的疏密度可直观地描述电场中场的强弱，（规定使任意相邻的两等势面之间的电势差相等）。任意

48、相邻的两等势面之间的电势差相等）。 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出68二、电势梯度二、电势梯度1 1）数学中梯度的概念）数学中梯度的概念kzfjyfixfzyxgradf),(引入算符引入算符 （直角坐标系）（直角坐标系）kzjyix则上式可简化中则上式可简化中 1 1、电势梯度的概念、电势梯度的概念比如在直角坐标系中，函数比如在直角坐标系中，函数 f（x、y、z）的梯度为的梯度为 在空间某点，函数在空间某点，函数 的的梯度是一个矢量，梯度的方向沿着梯度是一个矢量，梯度的方向沿着通过该点的等值面的法线方向、而且指向通过该点的等值面的法线方向、而且指向 值增加的一方；值增加的一方；

49、梯梯度的量值反映了度的量值反映了 值沿其值沿其梯度方向的增加率。梯度方向的增加率。fzyxfgrad,首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出692 2）电势梯度）电势梯度 电势沿任一方向的变化率电势沿任一方向的变化率 lU电势沿等势面切线方向的变化率电势沿等势面切线方向的变化率 0U电势沿等势面的法线方向的变化率电势沿等势面的法线方向的变化率nU0nnUgradU由图可看出，这个方向的变化率最大（最快）由图可看出，这个方向的变化率最大（最快）UUUEqndldd0n0n为法线方向单位矢量，指向电势升高方向。法线方向单位矢量，指向电势升高方向。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出7

50、02 2、场强与电势梯度的关系、场强与电势梯度的关系 dUqUUqdWba00)(l dEqdW0cosEEl设设E 在在 l 方向上的分量方向上的分量 dUqdlEqlcos0EdlqUUUEqndldd0nab0q 在两等势面之间从在两等势面之间从 运动到运动到时电场力所做的功为时电场力所做的功为0qab另一方面另一方面所以所以dldUEl得得即：电场强度任一方向的分量等于电势沿该方向的微商的负值。即：电场强度任一方向的分量等于电势沿该方向的微商的负值。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出71电场强度电场强度E的方向垂直于等势面，的方向垂直于等势面，对于等势面的法线方向，有对于等势

51、面的法线方向，有0nnUEnnEE0nnUEEn即有即有UgradUE或或说明说明 1) 1) 电场中任一点的场强等于该点电势梯度的负值；电场中任一点的场强等于该点电势梯度的负值；2) “2) “”号说明场强方向总是指向电势减少的方向。号说明场强方向总是指向电势减少的方向。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出72)(kzUjyUixUExUExyUEyzUEz4)4)在匀强电场中在匀强电场中 dUE场强的另一单位为：场强的另一单位为： 米伏dUE3) 3) 在直角坐标系中在直角坐标系中首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出73222yxAxxUEx222yxAyEy0zE例例9

52、9 一无限长均匀带电直线沿一无限长均匀带电直线沿z轴放置，线外某轴放置，线外某区域的电势表达式为区域的电势表达式为UAln（x2+y2），式中，式中A为常量，为常量，则该区域中场强的三个分量则该区域中场强的三个分量Ex _Ey_ _ Ez_解解同理同理首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出74例例9-13 9-13 电量电量q均匀分布在长为均匀分布在长为2l 的细杆上的细杆上, ,求杆的中垂线上求杆的中垂线上与杆中心距离为与杆中心距离为a的的P点电势点电势 ( (设无穷远处为电势零点设无穷远处为电势零点) )。解：如图示。杆的电荷线密度解：如图示。杆的电荷线密度 lq2在在x处取电荷元处

53、取电荷元 lqdxdxdq2/它在它在P点的电势点的电势 2204xadqdU2208xaldxq22xaryal 2Pxdqx0首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出75整个杆上电荷产生的电势整个杆上电荷产生的电势 llpdxxalqU2208llpxaxlqU| )ln(alallqUp220ln4首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出76一、导体的静电平衡一、导体的静电平衡 晶晶格格的的离离子子实实形形成成金金属属骨骨架架的的带带正正电电由由电电子子游游移移在在整整个个金金属属中中的的自自 无外场时，整个金属的电量代数和为零，呈电中性，这无外场时，整个金属的电量代数和为零，呈

54、电中性，这时电子只是作无规则的热运动。时电子只是作无规则的热运动。、金属导体的电结构金属导体的电结构首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出770E0E/E2 2、静电感应、静电感应 当把导体引入场强为当把导体引入场强为E0 0的外场后，导体中的自由电子就在的外场后，导体中的自由电子就在外电场的作用下，沿着与场强方向相反的方向运动，从而引起外电场的作用下，沿着与场强方向相反的方向运动，从而引起导体内部电荷的重新分布现象，这就是导体内部电荷的重新分布现象，这就是静电感应静电感应。因静电感应而出现的电荷称因静电感应而出现的电荷称感应电荷感应电荷。 EEE0式中式中E/ /是感应电荷所产生的附加

55、场。是感应电荷所产生的附加场。3 3、导体内部的场、导体内部的场首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出78（i i） 导体内部任一点的场强为零：导体内部任一点的场强为零：00/EEE内(ii) (ii) 导体表面上任一点的场强方导体表面上任一点的场强方向与该处表面垂直。向与该处表面垂直。（）导体静电平衡的条件：（）导体静电平衡的条件：+ +表E 处于外电场中的导体，其电子同时受到外场和附加场的作用力，开始时外场力大于附加场的力，电子作定向移动。当这两种作用力达到平衡时，电子的定向移动就停止了、即达到静电平衡。对于良好导体，这一过程大约只需10-14秒。4 4、导体静电平衡及其条件、导体静

56、电平衡及其条件（1 1）静电平衡：）静电平衡：在导体内部及表面各处都没有电荷作宏观定向在导体内部及表面各处都没有电荷作宏观定向运动的状态（这一定义对荷电导体亦成立）。运动的状态（这一定义对荷电导体亦成立）。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出79 5 5、导体在静电平衡时的性质、导体在静电平衡时的性质 0QppQrdEU0内E导体内部导体内部任意任意P，Q 两点电势差为零两点电势差为零在在导体表面导体表面0E 严格说来，严格说来， U内内 U表表 ，二值之差构成了金属电子逸出，二值之差构成了金属电子逸出金属表面需要逸出功的原因。金属表面需要逸出功的原因。 PQ即即：U内内= = 常数常

57、数0dldUEl即即故故 U表表= = 常数常数0内内内UgradUE或或（1 1）导体是等势体，导体表面是等势面）导体是等势体，导体表面是等势面 首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出80 2 2）导体内部无净电荷，电荷只分布在导体的外表面）导体内部无净电荷，电荷只分布在导体的外表面 在导体内部任取一闭合高斯面在导体内部任取一闭合高斯面当当S0时，导体内任一点时，导体内任一点净电荷密度为零。净电荷密度为零。 若导体内部有不带电的空腔，则若导体内部有不带电的空腔，则取如左图的高斯面，因高斯面上任取如左图的高斯面，因高斯面上任一点的场强为零，则可证明：在空一点的场强为零，则可证明：在空腔内

58、表面无净电荷。腔内表面无净电荷。S-+-+-+0qSdES0VdV0首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出81qqq导体内部有空腔、空腔内有导体内部有空腔、空腔内有带电体带电体q时，空腔内表面感应电时，空腔内表面感应电荷为荷为- -q，导体外表面感应电荷，导体外表面感应电荷为为q。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出82例例9 94 4 如图所示，一带正电如图所示，一带正电Q的点电荷离半径为的点电荷离半径为R R的金属球壳的金属球壳外的距离为外的距离为d，求金属球壳上的感应电荷在球心，求金属球壳上的感应电荷在球心O处的场强。处的场强。0/EE020)(4rdRq0200)(4rd

59、RQE点电荷在球心处的场强点电荷在球心处的场强 解解 以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则以球心为坐标原点，球心指向点电荷的方向为矢径方向，则Q/qdrE000/EEE内又又E/0R首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出83、 静电屏蔽（利用导体空腔的静电特性）静电屏蔽（利用导体空腔的静电特性） 可用导体空腔来保护内部不受外场影响，如所有电气仪表的可用导体空腔来保护内部不受外场影响，如所有电气仪表的表头外部均有一金属外壳。表头外部均有一金属外壳。 导体空腔也可使空腔内部的场对外界的影响为一恒定值，在导体空腔也可使空腔内部的场对外界的影响为一恒定值，在外壳接地的情况下，可使

60、金属壳内的场对外界不产生影响。外壳接地的情况下，可使金属壳内的场对外界不产生影响。 总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使总之，导体壳内部电场不受壳外电荷的影响，接地导体使得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为得外部电场不受壳内电荷的影响。这种现象称为静电屏蔽静电屏蔽。 二、导体壳和静电屏蔽二、导体壳和静电屏蔽 +首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出84如：高压带电作业人员穿的导电纤维编织的工作服。如：高压带电作业人员穿的导电纤维编织的工作服。首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出85、尖端放电尖端放电 尖端效应在大多数情况下是有害的：如高压电线上的电晕，尖端效应