大学物理A第13章1-机械振动

1、教学重点：教学重点：1、理解谐振动的动力学特征、理解谐振动的动力学特征2、掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建、掌握振幅和初相位的确定及振动方程的建立方法立方法3、旋转矢量法、旋转矢量法4、理解谐振动的能量特征、理解谐振动的能量特征广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近周期性变化。数值附近周期性变化。 对力学系统来讲，振动的形式就是机械振动。对力学系统来讲，振动的形式就是机械振动。机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。)()(Ttxtx 振动分类振动分类非线性振动非线性振动线性

2、振动线性振动受迫振动受迫振动自由振动自由振动复杂振动复杂振动 = 简谐振动简谐振动第一节第一节 简谐振动简谐振动一、简谐振动的动力学特征一、简谐振动的动力学特征简谐振动是最简单最基本的线性振动。简谐振动是最简单最基本的线性振动。从动力学观点看：从动力学观点看：简谐振动简谐振动：质点在线性回复力作用下围绕平：质点在线性回复力作用下围绕平衡位置的运动。衡位置的运动。 平衡位置平衡位置：质点在某位置所受的力（或沿：质点在某位置所受的力（或沿运动方向受的力）等于运动方向受的力）等于0，则此位置称为平，则此位置称为平衡位置。衡位置。 xkf此为从动力学的观点定义的简谐振动。此为从动力学的观点定义的简谐振

3、动。线性回复力线性回复力：若作用于质点的力总与质点相对于平：若作用于质点的力总与质点相对于平衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向衡位置的位移（线位移或角位移）成正比，且指向平衡位置，则称此作用力为线性回复力。平衡位置，则称此作用力为线性回复力。若以平衡位置为原点，以若以平衡位置为原点，以X表示质点相对于平衡表示质点相对于平衡位置的位移，则位置的位移，则一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型弹簧振子弹簧振子：弹簧：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置弹簧处于自然状态的稳定位置轻轻弹簧弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体可看作

4、质点可看作质点 kxOm问：弹簧振子是否问：弹簧振子是否在做简谐振动？在做简谐振动？kxOmmk 2 简谐振动简谐振动微分方程微分方程0222 xdtxd kxF 0222 xdtxd 22dtxdmkx 简谐振动的另一种普遍定义：简谐振动的另一种普遍定义：若质点的运动学方程可以归纳为：若质点的运动学方程可以归纳为：其中其中 为决定于系统本身固为决定于系统本身固有性质，则质点做简谐振动。有性质，则质点做简谐振动。单摆单摆0222 dtd结论结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。角频率角频率, ,振动的周期分别为：振动的周期分别为：glTlg 2200 当当 时时

5、 sin sinmglM 二、微振动的简谐近似二、微振动的简谐近似gmfTCOmgldtdml222摆球对摆球对C点的力矩点的力矩JMmglM l/g 2 复摆复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体0222 dtd结论结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。复摆的小角度摆动振动是简谐振动。 sin当当 时时gmhCO22dtdJmghJmgh2设：复摆对此固定轴的转动惯量为设：复摆对此固定轴的转动惯量为J其通解为：其通解为：一、简谐振动的运动学方程一、简谐振动的运动学方程)tcos(Ax0 0222 xdtxd 二二 简谐振动的运动学特征简谐振动的运动学特征简谐

6、振动的微分方程简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程)2sin()cos(00tt20 sin()xAt二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量)tcos(Ax0 1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位简谐振动物体离开平衡位置的最大位移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。)tsin(Av0 000vv ,xx,t 如何由初始条件求振幅：如何由初始条件求振幅：00 cosAx 00sinvA2020)v(xA 频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。2、周期周期 、频率、圆频率频率、圆频率 21 T角频率角频率 22 T周

7、期周期T ：物体完成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 00 )Tt (cosA)tcos(A 2 T固有周期、固有频率、固有角频率固有周期、固有频率、固有角频率、T、T对弹簧振子对弹簧振子kmT 2 mk 21 mk 单摆单摆glT 2 lg 21 lg 复摆复摆mghJT2Jmgh21Jmgh、T都决定于质量、劲度系数、摆长、转都决定于质量、劲度系数、摆长、转动惯量等反映振动系统本身特征的一动惯量等反映振动系统本身特征的一些物理量。些物理量。)tsin(Av0 0 是是t =0时刻的位相时刻的位相初位相初位相000 cosAxt 时时00 sinAv 000 xvtan 3、

8、相位和初相位相位和初相位)tcos(Ax0 相位，决定谐振动物体的运动状态相位，决定谐振动物体的运动状态0 t三式中任选两式可三式中任选两式可以决定初相位。以决定初相位。000vv ,xx,t 若已知初始条件：若已知初始条件：相位差相位差 两振动相位之差。两振动相位之差。12 当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相当当 = (2k+1) , k=0,1,2.两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滞后于滞后于 2 相位差反映了两个振动不同程度的参差错落相位差反映了两个振动不同程度的参差错落 简谐振动的简谐振动的x,

9、 v, a三者之间的相位关系三者之间的相位关系)cos()2cos()cos(2tAdtdvatAdtdxvtAx总结：总结：1、简谐振动是周期性运动、简谐振动是周期性运动2、简谐振动各瞬时的运动状态由、简谐振动各瞬时的运动状态由 决定。决定。3、简谐振动的频率由振动系统本身固有的性质、简谐振动的频率由振动系统本身固有的性质决定。而决定。而 不仅决定于系统本身的性质，还不仅决定于系统本身的性质，还决定于初始条件。决定于初始条件。总结：、A、A)tcos(a)tcos(Aam 002)tcos(Ax0 )tcos(v)tsin(Avm200 谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、

10、速度、加速度之间的位相关系toTa vx. avxT/4T/4三、简谐振动的表示法三、简谐振动的表示法 1、解析表示法解析表示法 利用余弦函数或正弦函数表示简谐振动。利用余弦函数或正弦函数表示简谐振动。 优缺点。优缺点。 2、复数表示法复数表示法 利用欧拉公式，取实部利用欧拉公式，取实部)tcos(Ax0 sin()xAt()jtxAeva 3、简谐振动的、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法)cos(0tAxx 0t = 0A t+ 0t = tAoX矢量矢量 为一长度为一长度不变的矢量，以不变的矢量，以恒定的角速度恒定的角速度 逆时针转动。逆时针转动。Ax 0t= 0A t+ 0t =

11、tAoX分析：匀速旋转的矢量分析：匀速旋转的矢量 在坐标轴上的投影？在坐标轴上的投影？ 1、表示一特定的简谐振动的位移。、表示一特定的简谐振动的位移。 2、此简谐振动的振幅为、此简谐振动的振幅为A，固有圆频率为，固有圆频率为 初相位为初相位为 0Ax 0t= 0A t+ 0t = tAoX分析：匀速旋转的矢量分析：匀速旋转的矢量 的矢端速度在坐标轴上的投影？的矢端速度在坐标轴上的投影？ 1、表示一特定的简谐振动的速度。、表示一特定的简谐振动的速度。 2、振动质点位于上半圆时：、振动质点位于上半圆时： 位于下半圆时：位于下半圆时： A0,v 0v x 0t= 0A t+ 0t = tAoX分析：

12、匀速旋转的矢量分析：匀速旋转的矢量 的矢端法向加速度在坐标的矢端法向加速度在坐标轴上的投影？轴上的投影？ 1、表示一特定的简谐振动的加速度。、表示一特定的简谐振动的加速度。 2、振动质点位于右半圆时：、振动质点位于右半圆时： 位于左半圆时：位于左半圆时： A0a 0a 进一步理解：进一步理解： 将旋转矢量用于弹簧振子，具体说明将旋转矢量用于弹簧振子，具体说明4个特个特殊点在弹簧振子上的对应位置。殊点在弹簧振子上的对应位置。 t+ 0t = tAoXkxOmABCD 0t = 0Ax t+ 0t = tAoX记住四个特殊位置的点记住四个特殊位置的点简谐振动的质点处简谐振动的质点处于正向最大位移并

13、于正向最大位移并向平衡位置运动向平衡位置运动（速度为（速度为0，加速，加速度为负最大）度为负最大）简谐振动的质简谐振动的质点处于负向最点处于负向最大位移并向平大位移并向平衡位置运动衡位置运动（速度为（速度为0，加速度为正最加速度为正最大）大）简谐振动的质点处简谐振动的质点处于平衡位置并向正于平衡位置并向正向最大位移运动向最大位移运动（速度为正向最大，（速度为正向最大，加速度为加速度为0）简谐振动的质点简谐振动的质点处于平衡位置并处于平衡位置并向负向最大位移向负向最大位移运动（速度为负运动（速度为负向最大，加速度向最大，加速度为为0（因在（因在x轴投轴投影为影为0）Av Aan2 Aan2 以弹

14、簧振子为例以弹簧振子为例谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的系统的动能动能Ek+系统的系统的势能势能Ep某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x0sin()vAt )tcos(Ax0 221mvEk )t(sinkA02221 221kxEp )t(coskA02221 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 四四 . .简谐振动的能量简谐振动的能量动动能能221mvEk )t(sinkA02221 势势能能221kxEp )t(coskA02221 情况同动能。情况同动能。pppEEE,minmax0min kE2411kAdtET

15、ETttkk 2max21kAEk 机械能机械能221kAEEEpk 简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒xtTEEpokpEE EtEk(1/2)kA2由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE 弹簧振子的总能量弹簧振子的总能量决定于刚度系数和决定于刚度系数和振幅振幅一、同方向、同频率谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成: :同方向、同频率谐振动的同方向、同频率谐振动的合振动仍然是简谐振动合振动仍然是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 , ,与分振动相同与分振动相同. .)cos(AAAAA10202122212 221122110 cosAcosAsin

16、AsinAtg )tcos(A)t(x1011 )tcos(A)t(x2022 )tcos(Axxxx021 质点同时参与同方向同频率质点同时参与同方向同频率的谐振动的谐振动 : :合振动合振动 : :五五 简谐振动的合成简谐振动的合成 2A1AA10 20 0 1x2xx如如 A1=A2 , , 则则 A=0,kk21021020 两分振动相互加强两分振动相互加强21AAA ,k)k(210121020 两分振动相互减弱两分振动相互减弱21AAA 分析分析若两分振动同相：若两分振动同相：若两分振动反相若两分振动反相: :)cos(AAAAA10202122212 合振动不是简谐振动合振动不是

17、简谐振动式中式中tAtA)2cos(2)(12 tt)2cos(cos12 随随t 缓变缓变随随t 快变快变合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动二二. . 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成分振动分振动)tcos(Ax 11)tcos(Ax 22合振动合振动)tcos(t )cos(Ax 222121221xxx 当当 2 1时时, ,ttAx cos)( 则则：1212 拍拍: : 指振动方向相同指振动方向相同, , 的两个简谐振动的两个简谐振动合成时合振幅周期变化合成时合振幅周期变化( (忽强忽弱忽强忽弱) )的现象的现象拍频拍频 : : 单位

18、时间内振幅强弱变化的次数单位时间内振幅强弱变化的次数 =| 2- 1| xt tx2t tx1t t12 拍122 T或：或：调调平平 调调平平 调调平平 *三、振动的频谱分析三、振动的频谱分析振动的分解振动的分解：把一个振动分解为若干个简谐振动。：把一个振动分解为若干个简谐振动。 谐振分析谐振分析：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。：将任一周期性振动分解为各个谐振动之和。若周期振动的频率为若周期振动的频率为 : : 0则各分振动的频率为则各分振动的频率为: : 0、2 0、3 0( (基频基频 , , 二次谐频二次谐频 , , 三次谐频三次谐频 , , ) )按傅里叶级数展开按傅里叶级数

19、展开)t(x)Tt(x 102nnn)tnsinbtncosa(a)t (x T 22 * *四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成四、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成合振动合振动)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 分振动分振动)tcos(Ax101 )tcos(Ay202 0(1)1020 0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线12AA斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移讨论讨论)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222

20、122 yx)tcos(AAyxS 222122 1020(2)0221 )AyAx(xAAy12 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线12AA 斜斜率率质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 yx)tcos(AAyxS 2221222(3)1020 12212 AyAx合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆)tcos(Ax101 质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。)(sin)cos(AyAxA

21、yAx102021020212222122 yx)tcos(Ay2101 yx2(4)1020 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴为轴线的椭圆为轴线的椭圆)tcos(Ax101 质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。)(sin)cos(AyAxAyAx102021020212222122 )tcos(Ay2101 = 5 /4 = 3 /2 = 7 /4 = 0 = = /2 = 3 /4Q = /4P .0 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。 0时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。*五、五、垂直方向不同频率垂直方向不同频率可看作两频率相等而可

22、看作两频率相等而 2- 1随随t 缓慢变化合运动缓慢变化合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。轨迹将按上页图依次缓慢变化。 轨迹称为轨迹称为李萨如图形李萨如图形yxA1A2o o- -A2- -A1简谐振动的合成简谐振动的合成)()(xyxyt 4023 xyyx,:两分振动频率相差很小两分振动频率相差很小两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比李萨如图形李萨如图形21:31:32:最简单最基本的线性振动。最简单最基本的线性振动。简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移平衡位置的位移x（或角位移或角位移 ）随时间）随时间t按余弦按余弦（或正

23、弦）规律变化的振动。（或正弦）规律变化的振动。)tcos(Ax0 用旋转矢量表示相位关系用旋转矢量表示相位关系x1A2A x1A2A x1A2A 同相同相反相反相)2cos( tvvmx)2cos( tA)cos( taamx)cos(2 tA由图可见：由图可见：2 va超超前前2 xv超超前前x t+ o Amv ma 090090例例1:如图如图m=210-2kg, 弹簧的静止形变为弹簧的静止形变为 l=9.8cm t=0时时 x0=-9.8cm, v0=0 取开始振动时为计时零点，取开始振动时为计时零点， 写出振动方程；写出振动方程；（2）若取）若取x0=0，v00为计时零点，为计时零点， 写出振动方程写出振动方程,并计算振动频率。并计算振动频率。XOmx解：解： 确定平衡位置确定平衡位置 mg=k l 取为原点取为原点 k=mg/ l 令向下有位移令向下有位移 x, 则