高等数学第七章第六节

1、第六节第六节一、旋转曲面一、旋转曲面二、二次曲面二、二次曲面旋转曲面和二次曲面研究空间曲面有研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题：（2 2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1 1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程一、旋转曲面一、旋转曲面定义定义 以一条平面曲线绕其以一条平面曲线绕其平面上平面上的一条的一条直线直线旋旋转一周所成的曲面称为旋转曲面转一周所成的曲面称为旋转曲面. .这条定直线叫旋转曲面的这条定直线叫旋转曲面的轴轴xozy0),( z

2、yf), 0(111zyM M),(zyxM设设1)1(zz 22yxd旋转过程中的特征：旋转过程中的特征：如图如图将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd0),(11zyf|1y将将 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxf得方程得方程同同理理：yoz坐坐标标面面上上的的已已知知曲曲线线0),( zyf绕绕y轴轴旋旋转转一一周周的的旋旋转转曲曲面面方方程程为为 . 0,22 zxyfxozy解解 yoz面面上上直直线线方方程程为为 cotyz 圆锥面方程圆锥面方程 cot22yxz 或或tana2222ayxz例例2. 求坐标面求坐标面 x

3、oz 上的双曲线上的双曲线12222czax分别绕分别绕 x轴和轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程轴旋转一周所生成的旋转曲面方程. 解解: :绕绕 x 轴旋转轴旋转122222czyax绕绕 z 轴旋转轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面. .所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为所成曲面方程为xy绕绕 x 轴旋转轴旋转122222czyax绕绕 z 轴旋转轴旋转122222czayx这两种曲面都叫做这两种曲面都叫做旋转双曲面旋转双曲面. .z单叶单叶双叶双叶二、二次曲面二、二次曲面高中高中二元一次方程二元一次方程直线直线二元二次方程二元二

4、次方程二次曲线二次曲线椭圆，圆椭圆，圆双曲线双曲线抛物线抛物线高数高数三元一次方程三元一次方程平面平面三元二次方程三元二次方程二次曲面：二次曲面： 9种种三元二次方程三元二次方程 其基本类型有其基本类型有: 的图形通常为的图形通常为二次曲面二次曲面. FzxEyDxyCzByAxz2220JIzHyGx(二次项系数不全为二次项系数不全为 0 )二、二次曲面二、二次曲面适当选取直角坐标系可得它们的标准方程适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍就几种常见标准型的特点进行介绍 .研究二次曲面特性的基本方法研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法，伸缩变形

5、法伸缩变形法 椭球面、抛物面、双曲面、锥面椭球面、抛物面、双曲面、锥面、柱面柱面1. 椭圆锥面椭圆锥面 ),(22222为正数bazbyax上的截痕为在平面tz 椭圆椭圆zxyo1)()(2222t byt ax0t xyz0t 000 ，点椭圆长短轴比例不变，椭圆长短轴比例不变，当当|t|从大到小变化，椭圆从大到小缩为一点从大到小变化，椭圆从大到小缩为一点截痕法截痕法伸缩变形法伸缩变形法对对xoy平面上的图形，如果把平面上的图形，如果把y轴方向的长度伸缩轴方向的长度伸缩b/a倍，那么倍，那么 xyxyab1222ayx1b2222yaxybay 在空间，把在空间，把y轴方向的长度伸缩轴方向的

6、长度伸缩b/a倍，那么圆锥面倍，那么圆锥面2222zayx22222zbyax椭圆锥面椭圆锥面zyx2 2. 椭球面椭球面),(1222222为正数cbaczbyax范围：范围：czbyax,12222 czax由椭圆由椭圆 绕绕 轴旋转轴旋转z1222222 czayax旋转椭球面旋转椭球面把旋转椭球面沿把旋转椭球面沿y y轴方向伸缩轴方向伸缩b/ab/a倍，得椭球面。倍，得椭球面。,)2(cba 1222222 azayax球面球面.2222azyx 方程可写为方程可写为由此看出，球面是特殊的旋转椭球面，旋转椭球面是由此看出，球面是特殊的旋转椭球面，旋转椭球面是特殊的椭球面特殊的椭球面.2

7、222azyx acz方向伸缩1222222 czayaxy y方向伸缩方向伸缩b/ab/a倍倍1222222czbyax2. 双曲面双曲面(3)(3)单叶双曲面单叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax1-2222czax由双曲线由双曲线 绕绕z轴旋转轴旋转1222222czayax旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面沿沿y y轴方向伸缩轴方向伸缩b/ab/a倍，得倍，得单叶双曲面单叶双曲面。2. 双曲面双曲面(4)(4)双叶双曲面双叶双曲面),(1222222为正数cbaczbyax1-2222czax由双曲线由双曲线 绕绕x轴旋转轴旋转122222czyax旋转双叶双曲面旋转双叶双曲

8、面沿沿y y轴方向伸缩轴方向伸缩b/cb/c倍，得倍，得双叶双曲面双叶双曲面。xy3. 抛物面抛物面zyx2222ba(5) 椭圆抛物面椭圆抛物面zyxz22ax由抛物线由抛物线 绕绕z轴旋转轴旋转z222ayx旋转抛物面旋转抛物面沿沿y y轴方向伸缩轴方向伸缩b/ab/a倍，得倍，得椭圆抛物面椭圆抛物面。zyx2222b-a用截痕法讨论：用截痕法讨论：(6) 双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）上的截痕为在平面txzyttxl2222ba:负方向的抛物线轴上开口朝平面zxt22, 0 ,att顶点坐标2222ab-tyz位置平移变化时，截痕形状不变当t顶点轨迹为22a0y:xzL抛物线以

9、以l为母线，为母线，L为准线，为准线，母线母线l的顶点在准线的顶点在准线L上上滑动，且母线平行移滑动，且母线平行移动，这样得到的曲面动，这样得到的曲面便是便是双曲抛物面双曲抛物面.zyttxl2222ba:22a0y:xzL（马鞍面）（马鞍面）引例引例. . 分析方程分析方程表示怎样的曲面表示怎样的曲面 .222Ryx解解: :在在 xoy 面上面上，表示圆表示圆C, 222Ryx过此点作过此点作oC在圆在圆C上任取一点上任取一点 , )0 ,(1yxMlM1M三、柱面三、柱面的坐标也满足方程的坐标也满足方程222Ryx对任意对任意 z ,平行平行 z 轴的直线轴的直线 l ,),(zyxM点

10、沿曲线沿曲线C平行于平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面轴的一切直线所形成的曲面称为称为圆柱面圆柱面故在空间故在空间222Ryx表示表示圆柱面圆柱面定义定义观察柱面的形成过程观察柱面的形成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 L 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 C 叫柱面叫柱面的的母线母线.l12222byax母线：母线：(7) 椭圆柱面椭圆柱面可看作：平行于可看作：平行于z轴的直线沿轴的直线沿XOY面上的椭圆平行移动面上的椭圆平行移动而形成的。而形成的。平行于平行于z轴轴准线

11、：准线： xoy上的椭圆上的椭圆xyzo1-2222byax母线：母线：(8) 双曲柱面双曲柱面可看作：平行于可看作：平行于z轴的直线沿轴的直线沿XOY面上的双曲线平行移面上的双曲线平行移动而形成的。动而形成的。平行于平行于z轴轴准线：准线： xoy上的双曲线上的双曲线ay2x母线：母线：(8) 抛物柱面抛物柱面可看作：平行于可看作：平行于z轴的直线沿轴的直线沿XOY面上的抛物线平行移面上的抛物线平行移动而形成的。动而形成的。平行于平行于z轴轴准线：准线： xoy上的抛物线上的抛物线xzy2l一般地一般地, ,在三维空间在三维空间柱面柱面, ,柱面柱面, ,平行于平行于 x 轴轴; ;平行于平

12、行于 y 轴轴;平行于平行于 z 轴轴; ;准线准线 xoz 面上的曲线面上的曲线 l3.母线母线柱面柱面, ,准线准线 xoy 面上的曲线面上的曲线 l1.母线母线准线准线 yoz 面上的曲线面上的曲线 l2. 母线母线表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3lxyz1l二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕

13、其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义

14、定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫

15、旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为

16、旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴二、旋转曲面二、旋转曲面定义定义 以一条平面以一条平面曲线绕其平面上的曲线绕其平面上的一条直线旋转一周一条直线旋转一周所成的曲面称为旋所成的曲面称为旋转曲面转曲面. .这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿

17、定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所

18、形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫

19、柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线 移动的直线移动的直线 所形成的曲面称为柱面所形成的曲面称为柱面. .CL这条定曲线这条定曲线 叫柱面的叫柱面的准线准线，动直线，动直线 叫叫柱面的柱面的母线母线.CL定义定义三、柱面三、柱面观察柱面的形观察柱面的形成过程成过程:平行于定直线并沿定曲线平行于定