宏观经济学分析方法系列变分法欧拉方程极值路径与动态经济模型分析

1、附录：宏观经济学分析方法：变分法、极值路径与动态最优化(08、09、10、11硕已讲，精细订正版)一、动态最优化在静态最优化问题中，我们寻找在一个特定的时间点或区间上，使一个给定的函数最大化和最小化的一个点或一些点：给定一个函数y=y(x),最优点x*的一阶条件是y<x")=0.在动态最优化问题中，我们要寻找使一个给定的积分最大化或最小化的曲线X".这个最大化的积分定义为独立变量t、函数x(t)及它的导数dx/dt的函数F下的面积。简言之，假设时间区域从t°=0到ti=T,且用x表示dx/dt,我们寻找最大化或最小化TIFt,x(t),x(t)dt(20.1

2、)这里假定FXtt、x(t)、x(t)是连续的，且具有对x和x的连续偏导数.将形如(20.1)，对每一个函数x(t)对应着一个数值的积分称为“泛函”.一个使泛函达到最大或最小值的曲线称为“极值曲线”.极值可接受的“候选”极值曲线是在定义域上连续可微，且特别地满足一些固定端点条件的函数类x(t).(讲！)例1一家公司当希望获得从时间t=0到t=T的最大利润时发现，产品的需求不仅依赖于产品的价格p,而且也依赖于价格关于时间的变化率如dp/dt。假设成本是固定的，并且每个p和dp/dt是时间的函数,p代表dp/dt,公司的目标可以作如下数学表示T.Maxjt,p(t),p(t)dt另一家公司发现它的

3、总成本依赖于生产水平Mt)和生产的变化率dx/dt=x.假设这个公司希望最小化成本，且x和x是时间t的函数，公司的目标可以写成t1minCt,x(t),x(t)dtt0满足x(to)=x0,且x(ti)=x1这些初始和终值约束称为端点条件.例2Ramse修济：消费最优化问题从家庭终生效用函数的集约形式U=U(c)出发，在消费预算约束的集约形式下求解家庭终生效用最大化问题，就是所谓“Ramsey问题”一找出一条消费路径c(t),使家庭终生效用函数U=U(c)最大化：gBc(t)14maxBfe*口dtc七1一9ko+j侬c(t)e(n省)t*(t)dt=0二、欧拉方程：动态最优化的必要条件(三种

4、形式)定理(泛函极值曲线即最优化)的必要条件)：对于一个泛函t1-Ft,x(t),x(t)dt10连接点(t0,x0)和(t1,x1)的曲线x*=x%)是一个极值曲线(即最优化)的必要条件是(20.2a)讦dFcF)=r笈dt<cxJ称之为欧拉方程.但是由式中稍微尽管该定理等价于静态最优化的一阶必要条件，不同的记号可以容易了解，欧拉方程实际上是一个二阶微分方程.用下标表示偏导数，并列出其自变“量”，它们本身也可能是函数.(20.2a)的欧拉方程表示为(20.2b)Fx(t,x,x)=gFx(t,x,x)dt然后，用链式法则求Fx关于t的导数，并且省略自变“量”，得Fx=5於Fxx(x)F

5、xx(x)(20.2c)这里，x=d2x/dt2下面给出欧拉方程是极值曲线的必要条件的证明。图20-2证明：(重点！09、10、11硕，已讲)设x*=x*(t)是图20-2中连接点(t°,x°)和(ti,xi)的曲线，并且它使F面泛函取得最大值t1Ft,x(t),xdt(20.3)to即X*=x*(t)为极值曲线，欧拉方程(20.2a)是x*=x)为极值曲线的一个必要条件.取火=x*(t)+mh(t)是x*=x*(t)的相邻曲线，这里m是任意常数，h(t)是一个任意函数.为了使曲线力也通过点(t°,x。)和(ti,xi),则*也满足端点条件：h(t°)=

6、0h(tj=0(20.4)一旦取定x*(t)和h(t)之后，因x*(t)和h(t)固定，则积分值t：Ft,x(t),x(t)dt仅为m的函数，不妨改写成tg(m)=Ft,x*(t)+mh(t),x*(t)+mh(t)dt(20.5)10由于x*(t)使(20.3)中的泛函(Ft,x(t),x(t)dt实现最优化，所以t0(20.5)中的函数g(m)仅当m=0时(因为tlt1.、g(m)=Ft,x*(t)+mh(t),x%t)+mh(t)dt才能还原为(Ft,x(t),x(t)dt)实现最优化，即有dgdmm=0=0(20.6)tl对(20.5)即g(m)=fFt,x(t)+mh(t),x+mh

7、(t)dt用链式法则求0印/如.由于F是x和x的函数，依次又是m的函数，代入(20.7)得dgH：(xmh)：:F：:(xmh),x二十一rdtdmt01x:m:x;m由于321mhi=h且反亡mhh,用条件(20.6)即胆略=0,有tmcmdm一曾mq=f声h(t)十"h(t)Lt=0(20.8)dm-t01x；:x方括号中的第一项不动，第二项的积分用分部积分，(注:tqbbt=b分部积分公式即(vdu=vu(udvu=u(t),v=v(t)4与a*为令Fv=Fx,二.,u=h(t)；x所以，dv二包dtn吧dt"(mdtdtdtdttx,du,dudt=h(t)dtdt

8、)詈Im3=f孚h(t)dt+怜h(t)-W卜(t)dt=0dm%二x二xtot。dt二x由(20.4)知，h(t0)=h(ti)=0,从而h(t0)=h(t”0,于是上式中第二项去掉，合并其余两项，有dg白干d汗黄岛=丁1|h(t)dt=0(20.9)dmt0|L:;xdt二x由于h(t)是不必为零的任意函数，因此推出，对于极值曲线的必要条件为方括号中式子为零，即王二g王：:xdt.：:x这就是欧拉方程.定理证毕三、求候选极值曲线在动态最优化问题中，求满足固定端点条件的、使一个给定积分最大化或最小化的候选极值曲线，由如下五步来完成：1、设被积函数为F,即F=F(t,x,x).2、求F对x和x

9、的偏导数，记cF/cX=Fx,dF/6x=Fx.3、代入欧拉方程(20.2a)或(20.2b).4、求Fx关于t的导数.由于Fx是t,x和x的函数，且价及又是t的函数,因此，需要用链式法则.5、如果没有导数项(x和x),立即解出x；如果有x和x项，直到作出所有导数的积分，然后求出x。AL3e2X6在例3,例4中，给出了这个方法的例子.+4tx)dt,试用(20.4)中所列程序及(20.2a)的记号,最优化这个泛函如下:1、设F=6x2e3t4tx2、则更=l2xe3t,±=4t：:x：:x3、代入欧拉方程(20.2a),有12xe3t=(4t)dt4、但d(4t)/dt=4,代入上式

10、，12xe3t=45、由于没有x'和x项，所以可直接求出x,将这个解表成x(t),13x(t)=萨3这个解满足动态最优化的必要条件，只能说明它是一个候选极值曲线.所以有必要使用充分条件检验。见下一节.2-2(4x12xt-5t)dt例4泛函满足x(0)=1x(2)=4求上述泛函的候选极值曲线，现在用(20.2b)的记号.1、设F=4x212xt-5t2、则Fx=12t且Fx=8x3、代入欧拉方程(20.2b),d12t-d8xdtA>-r-dx口d'dxd4、记x=一，且尸一dt出<dt)出12t=8x5、由于有x,对这个方程两边进行两次积分，积分的每一步仅有一个常

11、数.12tdt=8xdt2一.6tc1=8x再积分，(6t2Ci)dt=8xdt32tGtc2=8x解出x,x(t)t23c24 88代入边值条件，x(0)=C2C2=8121x(2)=-(2)2-(2)q1=4g=4代入式中，得解：131x(t)t3-t142四、变分法的充分条件假设对于极值曲线，必要条件是满足的.1、如果泛函Ft,x(t),x(t)在x(t),x是联合凹的，则对于最大值情况，必要条件是充分的。2、如果泛函Ft,x(t),x(t)在x(t),x是联合凸的，则对于最小值情况，必要条件是充分的.联合凹性和联合凸性，由泛函的二阶导数的二次型的符号很容易确定.给定判别式：FxxFxx

12、，FxxF41、(a)如果，D=FxxC0,且D2=|D>0,|D是负定的，F是严格凹的，得到一个全局最大的极值曲线.(b)如果，Di|=FxxE0,且Dz|=D至0,检验变量所有可能的次序，1D是半负定的，F是简单凹的，则得到局部最大的极值曲线.2、如果Di=Fxx>0,且屹=DA0,|D|是正定的，F是严格凸的，从而得到一个全局最小的极值曲线.(b)如果Di=Fxx至0,且|D2=D殳0,检验变量所有可能的次序，1D是半正定的，F是简单凸的，则得到局部最小的极值曲线.例5下面是例3的充分条件的例子，这里泛函是F=6x2e3t+4tx,Fx=12xe3t,Fx-=4tD1FxxF

13、xxFxxF&12e3t000D11=12e3t>0d2=0Di不符合对于全局最优的正定准则,但可以证明，如果这个判别式对于变量的倒序也是半正定时，则对于局部最小，它是半正定的.D2FF-1xx1xxF-F1xx1xx00012e3tDi2=0D：=0对每个变量的两种可能的顺序,D1之0,D2>0,D是半正定的，泛函达到局部最小的，是充分条件.用完全的相似的方式，可检验出例4的充分条件.五、泛函约束的动态优化(已讲)求一个极值曲线使最大或最小化一个给定积分T0Ft,x(t),xdt(20.10)满足积分约束T.oGt,x(t),xdt-k(20.11)这里，k是一个常数，利

14、用拉格朗日乘子方法，将约束(20.11)乘以九，然后与目标函数相加，形成拉格朗日函数:T(200(FG)dt而非充分对于动态最优化，下面欧拉方程是有极值曲线的必要条件,条件,:H_d；:H；:xdt；:x这里H-FG(20例6泛函约束优化通常用于确定一条曲线，使之满足给定的周长且所围的面积最大.这样的问题称为等周问题，且通常将泛函记为y(t),而不是x(t).调整这个记号，求包含最大区域A的给定长度k的曲线Y,这里1A=万(xy-y)dx曲线的长度是11，1+y2dx=kx0像20.6节解释的，建立拉格朗日函数年(xy-y)Ty2(20设H等于(20.14)的被积函数，则欧拉方程是:H-ydpHdx&