山东德州高三数学考前50题

1、山东省德州市2014届高三数学考前50题1.如图，我国的海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东北口&.口14,2海里处.（1）求此时该外国船只与D岛的距离；%江诞tJ-（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方'一/向航行.为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值.（参考数据：sin36°52'=0.6,sin53°08'=0.8）解：（1）依题意，在ABD:K/DAB=45

2、76;,由余弦定理得，dB=aD+aW-2AD-AB-cosZDAB=（1472）2+162-2X14X16X2=200，（4分）所以DB=102.即此时该外国船只与D岛的距离为10m海里.（5分）（2）过点B作BCLAD于点C.2-因为在RtABAC3,AC=AB-cosZBAD=16X=82,2BC=AB-sinZBAD=16x%=8M2,/2'-rr所以CDAD-AC14啦一8/=6亚.（7分）以D为圆心，12为半径作圆交BC于点E,连接AE,DE在RtCED,CE=eDCD=6啦，贝UBE=8啦一6啦=2啦.在RtAAEC,AE=IaC+cE=10/，sinZEAC=CE=|,

3、AE5所以ZEAO3652'.（9分）BE222又外国船只到达点E的时间t=丁=一=3"（小时），（10分）一AE102所以海监船速度v>7=q1-=20（海里/小时）.故海监船的航向为北偏东约90-3652'=53°08',速度的最小值为每小时20海里.(13分)2.设角AB,C为ABCW三个内角.A.设f(A)=sinA+2sin2,当A取A时，f(A)取极大值f(A),试求A和f(A)的值;(2)当A取A时，Ab-於一1,求BC边长的最小值.A解：(1)f(A)=cosA+cos22AA=2cos-+cos212cos万1cos+1分)因

4、为0vAvA.Tt,所以cos2+1>0.由f(A)>0,口a1得C0S/>2,7t2兀,即0vAv_z_.(4分)3所以当AC0,工-味f(A)为增函数；当AC-<3y、)2兀兀肘，f(A)为减函数.故A)=3"时,f(A)取极大值f(A)=f|=-2.(6分)(2)设a,b,c是角A,B,C的对边.由ABAC=1知bc=2,(8分)而a=>/b2+c2+bc>。3*=。6,(10分)当且仅当b=c=啦时，BC边长的最小值为6.(12分)3.关于f(x)=3sin'2x+-i,有以下命题:若f(xi)=f(X2)=0,则xiX2=k兀(k

5、CZ)；f(x)图象与g(x)=3cos3x十树象相同;f(x)在区间|-是减函数;f(x)图象关于点'-y,0川称.其中正确的命题是解析：不正确，:X1,X2可关于对称轴对称;-g(x)=3cos,x=3sin兀2x-=3sin3兀=3sinL-(-2x+)4=3sin兀2x+zI,故正确;7127兀是减函数，故正确;,一、7兀f(x)在区间I-兀2x+7=0,4'兀当x=一W时,O，正确.答案：4.已知函数f(x)=-；1).ex-f(0)-x+-x2(e是自然对数的底数).求函数f(x)的解析式和单调区间;12(2)若函数g(x)=/2+2与函数f(x)的图象在区间1,2

6、上恰有两个不同的交点，求实数a的取值范围.f'1)解：(1)由已知得f'(x)=ex-f(0)+x,.-.f1)=f'(1)-f(0)+1,即f(0)e=1.(2分)又f(0)=,.f'(1)=e.x12从而f(x)=ex+/.(4分)显然f'(x)=ex1+x在R上单调递增且f'(0)=0,故当xC(oo,0)时，f'(x)<0；当xe(0,+8)时，f<x)>0.f(x)的单调递减区间是(一8,0),单调递增区间是(0,+8).(7分)(2)由f(x)=g(x)得a=exx.令h(x)=ex-x,则h'(x)

7、=ex1.由h'(x)=0得x=0.(9分)当xC(1,0)时，h'(x)0;当xC(0,2)时，h'(x)>0.h(x)在(1,0)上单调递减，在(0,2)上单调递增，又h(0)=1,h(1)=1+；,h(2)=e22且h(-1)<h(2),e.两个图象恰有两个不同的交点时，实数a的取值范围是1+；1(13分)x5.已知f0(x)=xe,f1(x)=f0(x),f2(x)=f1(x),，.<*fn(x)=fn1(x),nCN.(1)请写出fn(x)的表达式(不需要证明)；(2)求fn(x)的极小值；(3)设gn(x)=x22(n+1)x8n+8,gn

8、(x)的最大值为a,fn(x)的最小值为b,证明:a-b>e4.解：fn(x)=(x+n)ex(nCN*).(3分)(2)因为fn(x)=(x+n)-ex,所以fn(x)=(x+n+1)ex.因为x>(n+1)时，fn(x)>0；xv(n+1)时，fn(x)v0,所以当x=(n+1)时，fn(x)取得极小值fn(n+1)=e-(6分)依题意，a=gn(n+1)=(n3)2,又b=fn(n+1)=e所以a-b=(n-3)2+e(n+1)令h(x)=(x-3)2+e(x+1)(x>0),(8分)贝Uh'(x)=2(x3)-e又h'(x)在区间0,+°

9、;°)上单调递增，所以h'(x)>h'(0)=-6-e1.又h'(3)=e4v0,h(4)=2-e5>0,所以存在X0(E(3,4)使得h'(x。)=0.(11分)所以当0wxX0时，h'(x)v0；当x>X0时，h'(x)>0.即h(x)在区间x°,十°°)上单调递增，在区间0,xo)上单调递减，所以h(x)min=h(x0).(12分)4.5.又h(3)=e,h(4)=1+e,h(4)>h(3),4所以当n=3时，ab取得最小值e,即a-b>e4.(14分)6 .给出

10、下面类比推理命题(其中Q为有理数集、R为实数集，C为复数集)：“若a,bCR,则a-b=0?a=b”类比推出“若a,bCC,则a-b=0?a=b"；“若a,b,c,dCR,则复数a+bi=c+di?a=c,b=d"类比推出"若a,b,c,deQ,贝Ua+b/2=c+d/2?a=c,b=d”；“若a,beR则ab>0?a>b"类比推出"若a,beC,则a-b>0?a>b".其中类比得到的正确结论有.(填上所有正确的序号)7 .已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d(b,c,d为常数)，当kC(一8,0)u(4,

11、+8)时，f(x)k=0只有一个实根；当kC(0,4)时，f(x)-k=0有3个相异实根.现给出下列四个命题：f(x)4=0和f'(x)=0有一个相同的实根；f(x)=0和f'(x)=0有一个相同的实根；f(x)3=0的任一实根大于f(x)1=0的任一实根；f(x)+5=0的任一实根小于f(x)-2=0的任一实根.其中正确命题的序号是.解析：令xbx2(x1x2)为函数f(x)的极值点，由已知可得函数f(x)的极大值为f(x。=4,极小值为f(x2)=0,又f'(x1)=0,f(x2)=0,故对；f(x)=0和f'(x)=0有一个相同的实根x2,对；结合函数的图

12、象可知f(x)+5=0的解均小于f(x)-2=0的任一实根，对；f(x)3=0和f(x)1=0均有3个实根，无法比较大小，故正确的有.答案：_._x+1_._8 .设函数f(x)=0.+2014sinxC-彳,-y)的最大值为M最小值为N,2013十12e2x21同理f'(x)=一-2=0?x2/那么MN=.解析：依题意得，f(x)=2013-工+2014sinx,注意至U1+二2013+12013+12013+1=1,且函数f(x)在1工:上是增函数(注：函数y=-L与y=2014sinx：2，2_''2013+1兀兀在一-2，27t7t都是增函数)，故叫Nl=f万|

13、+f-1=4026-1=4025.答案：4025e2x21e2xg(xCf(x2)9 .设函数f(x)=,g(x)=-,对任意x1,xzC(0,+oo),不等式g恒xekk十1成立，则正数k的取值范围是g(xi)f(x2)n(y解析：为正数，对任意Xi,X2C(0,+oo)，不等式一(一值成立？g,)kk+1k1x=-,e'1e，f(x)<0,ex+2(1-x)由g，(x)="2x=0得x=1,exC(0,1),g(x)>0,x(1,+oo),g(x)<0,N(x)I_g(1)e,Ikmax=k=k.f'(x)>0,e-2e答案：1,+oo).

14、qWk>0,.k>1.kk+11f(n+1)+f(n)'y11n+1-yn,10 .已知函数f(x)=xa的图象过点(4,2),令an=若a>0,b>0,a+b=4,则1+1的最小值为1.ab解析：命题中，函数的定义域是(00,3),故命题不正确；命题中，若已知函数是偶函数，则必有a=-5,b=5,即函数f(x)=x45,xC5,5,其最小值为5,命题正确；全称命题的否定是特称命题，命题正确；命题中，g+=7(a+ab4一111c,ba1baa=b=2时，等号成立)，命b).点+y4：+a+b广4+2,br1(当且仅当题正确.答案：*2xy-4W013.已知集合

15、(x,y)|x+y>0表示的平面区域为若在y>0区域Q内任取一点Rx,y),则点P的坐标满足不等式x2+y2w2的概率为()3兀A.-323兀B16兀C.32兀D.16271337tpxP一竺一21632.3px+y-4<0解析：选A.作出不等式组x+y>0表示的平面区域，如图三角形ABO且有x-y>0Aj1,3iR4,4),所以S户2*£¥><4/=¥，点P的坐标满足不等式x2+y271W2的面积S扇形=4*兀(啦)2=2,所以所求概率14.已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是()B

16、.411d.tA.39C.2解析：选Bx+2y=8x-(2y)>8-22y1,整理得(x+2y)2+4(x+2y)-32>0,即(x+2y4)(x+2y+8)>0,又x+2y>0,，x+2y>4.15 .随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化.某机构随机调查了n个人，其中男性占调查人数的刍已知男性中有一半的人的休闲5、一一，一1,方式是运动，而女性只有鼻的人的休闲方式是运动.3(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动?参考公式:K2=(a+b)2n(adbc)一一；：,其中n=a+b+c+d.(c+d)(a+c)(b+d)参考

17、数据:RK2小0.0500.0100.001k。3.8416.63510.8282nn解：(1)依题意，被倜查的男性人数为-T,其中有1人的休闲方式是运动；被调查的女性553nn人数为其中有Z人的休闲方式是运动，则2X2列联表如下：55运动非运动总计男性n5n52n万女性n52nT3n-5总计2n至3n了n（4分）n2nnn22n5万二5n(2)由表中数据，得/=2n3n2n3n=而，要使在犯错误的概率不超过0.05的前提石石,亍1下，认为“性别与休闲方式有关则K>3.841,所以7nA3.841,解得n>138.276.36*一n*，又nCN且gCN,所以n>140,即本次

18、被调查的人数至少是140.(9分)(3)由(2)可知：140X2=56,即本次被调查的人中，至少有56人的休闲方式是运动.(125分)16 .定义差集AB=x|xCA,且x?B,现有三个集合A,B,C分别用圆表示，则集合C-(AB)可表示下列图中阴影部分的为()B)所含元素属于C,但不属于图中阴影部分，故选A.解析：选A.如图所示，A-B表示图中阴影部分，故C(A17 .已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为V,直径为4的球的体积为V,则Vi：V2=()州视图B.2：1D.1：4A.1：2C.1：18兀解析：选A.由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的

19、圆锥，因此V=8兀一-316AV=,X23=亭,V1：M=1：2.33318 .点P是底边长为2y3,高为2的正三棱柱表面上的动点，渥该棱柱内切球的一条直径，则疝-PN勺取值范围是（）A.0,2B.0,3C.0,4D.-2,2解析：选c.由题意知内切球的半径为1,设球心为o,则PMPN=（pO+oM）（PO+ON）PMPNC0,4.7277f7f72L=PO+PO(OM+ON)+OMON=|PO|1,且1W|OP|wV5,2219.已知椭圆E：，+，=1（a>b>0）的右焦点为F,过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A,B两点，且|AF+|BF|=2艰，|AB的最小值为2.（1）

20、求椭圆E的方程；（2）若圆x2+y2=2的切线L与椭圆E相交于P,Q两点，当P,Q两点横坐标不相等时，3OPO为坐标原点）与OM否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由.解：（1）设A（x。，y。），则B（x。，一y。），F（c,0）（c2=a2-b2）,|AF|+|BF1=2a=22,.匕=啦.（2分）又|AB=4(2x0)2，一、+(2y69Cx099b+-r,0<x°wa,a，.|ABmin=2b=2,，b=1,X22八.椭圆E的方程为+y=1.（5分）（2）由题设条件可知直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+m直线L与圆x2+y2=2相切，3.m=|(k2

21、+i).(7分)3公、X22,将y=kx+m代入万+y=1中得,(1+2k2)x2+4km奸22=0,A=8(2k2+1-n2)>0.令P(x1,y1),Qx2,y2),x1*x2,4km则x1+x2=2,d1+2k22m2x1x2=1+2k2'22,22m2ky1y2=kx1x2+kmx1+x2)+m=十？/.(10分)一一2m2m22k23n22k22.OPOQ=x1x2+y1y2=2+2=2-=0,”1+2k21+2k21+2k2OplOq即OP与OQB直.(12分)20.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15。的看台上，同一列上的第一排测得旗杆顶部的仰角分别为60。

22、和30。，第一排和最后一排的距离为排和最后10J6m（如图所示），则旗杆的高度为（）A. 10mC.103mB. 30mD.106m解析：选B.如图，在ABC,/ABG=105°,所以/ACB=30°.由正弦定理得106sin30BCsin452一一所以BC=20y6X上=20yj3(m),在RtCBD,CD=BGin60°=20m><勺=30（m）.9221.右（x+2+m）=ao+ai（x+1）+a2（x+1）+a9（x+1）9,且（a0+a2+a8）2（a1+a3+a9）2=39,则实数m的值为（）A.1或3B.1或3C.1D.-3解析：选A令x

23、=0,得到a0+ada2+a9=（2+m）9,令x=2,得到a。一ada2a3+一a9=n?,所以有（2+m）9nf=39,即n2+2m=3,解得m=1或一3.22.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2013是“六合数”），则“六合数”中首位为2的“六合数”共有（）A,18个B,15个C.12个D.9个解析：选B依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004;由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031,由2、2、0组成3个数分别为220、202、022;由2、1、1组成3个数分别为211、12

24、1、112.共计3+6+3+3=15个.23 .如图，M是正方体ABCD-ABCD的棱DD的中点，给出下列四个命题:过M点有且只有一条直线与直线ABBG都垂直;ABBG都平行.过M点有且只有一条直线与直线ABBG都相交;过M点有且只有一个平面与直线过M点有且只有一个平面与直线ABBC都相交;其中真命题是（）A.B.C.D.解析：选C.对于，取CG的中点N连接AMBN并延长分另J交底面ABCD于P,Q两点，则QC30,MQfAB交于一点，因此正确；对于结合图形知，DD符合要求,且只有DD,故正确；同理正确；过点M可有无数个平面与直线ABBG都相交,故不正确，因此选C.24 .如图，在直角梯形AB

25、CM,BC!DCAEE!DCMN分别是ADBE的中点，将三角形ADE沿AE折起.下列说法正确的是（填上所有正确的序号）.不论D折至何位置（不在平面ABG）都有MN/平面DEC不论D折至何位置都有MNLAE;者B有MN/AB;使ECLADNP/AR不论D折至何位置（不在平面ABCJ）在折起过程中，一定存在某个位置，解析：连接MNAE于点P,则MBDE.AB/CD.NP/CD对于，由题意可得平面MNB平面DECMM/平面DEC故正确；对于，AE!MPAE!NP.AE1平面MNP.AE±MN故正确；对于，.NP/AB不论D折至何位置（不在平面ABC为）都不可能有MN/AB,故不正确；对于，

26、由题意知EC!AE,故在折起的过程中，当ECLDE时，ECL平面ADEEC!AD故正确.答案：25 .如图是多面体ABC-A1B1C和它的三视图.（1）线段CG上是否存在一点E,使BE1平面ACG,若不存在，请说明理由，若存在,请找出并证明；（2）求平面GAC与平面AiCA夹角的余弦值.僻视图1解：（1）由题意知AA,ABAC两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则收0,0,0),A(0,0,2),B(-2,0,0),C(0,2,0),C(-1,1,2),则CC=(-1,1,2),Ab=(-1,1,0),AC=(0,-2,2).(1分)设E(x,y,z),贝UCE=(x,y+2,z),EC=

27、(-1-x,-1-y,2-z).(3分)设CE=入EC,广x=-入一入x则y+2=一入一入y,Lz=2入一入z2入1+入(4分)一2一入2入-2+入,BE=1+入1+入，入1+入2+入+=01+入,解得入=2,2入+=01+入所以线段CC上存在一点E,CE=2EC,使B已平面ACC.（6分）m-AC=0(2)设平面GAC的法向量为m(x,y,z),则由彳，m-A1C=0x-y=0得1,-2y-2z=0取x=1,则y=1,z=1.故m=(1,1,1),(8分)而平面ACA的一个法向量为n=（1,0,0）,则nn13cos色n>=m|n|=7=3，(11分）故平面GAC与平面ACA夹角的余弦

28、值为乎.（123分）26 .如图，ABC等腰直角三角形，/ACB=90°,AC=2a,D,E分别为ACAB的中点，沿DE将AD斯起，得到如图所示的四棱锥A-BCDE在A'B上找一点F,使EF/平面A'CD（2）当四棱锥A'BCDE勺体积取最大值时，求平面A'CD与平面A'BE夹角的余弦值.解：（1）点F为棱A'B的中点.证明如下:取A'C的中点G,连接DGEF,GF则由中位线定理得1_1_一DE/BCDE=,BC且GF/BCGF=/BC（3分）所以DBGF,DE=GF从而四边形DEFGI平行四边形，EF/DG又EF?平面A'CDDG平面A'CD故点F为棱A'B的中点时，EF/平面A'CD（5分）（2）在平面A'CDHA'hl±CD于点H,DELADDELCD?DEL平面A'CDyDELAHA'DACD=D又DEHCD=D,故A'H，底面BCDE即