实变函数-重庆师范大学-数学学院

1、4家河法十专课程教学大纲（理论课）课程名称：实变函数适用专业：数学与应用数学课程类别：学科知识深化课程制订时间：2006年8月数学与计算机科学学院实变函数课程教学大纲（2000年制订，2006年修订）一、课程代码：0501142001二、课程类别：学科知识深化课程（必修）三、预修课程：数学分析、解析几何四、学分：4学分五、学时：72学时六、课程概述：实变函数是高等师范院校数学系的一门重要的必修课。实变函数论的重点是建立Lebesque测度及积分理论，它是数学分析课程中微积分理论的进一步深入，同时实变函数论的内容也为进一步学习数学的其他专门理论如：一般测度理论、函数论、泛函分析、概率论、微分方程

2、等提供必要的测度和积分论基础，本课程着重培养学生的思维能力和逻辑推理能力，为进一步钻研现代数学理论打下基础。七、教学目的：使学生系统掌握集合论的初步知识；掌握n维欧几里得空中的点集理论；可测函数的性质；可测函数与连续函数之间的关系；各种收敛之间的关系以及测度与（L）积分的基本理论。使学生进一步加深对数学分析的相关知识的理解与认识。提高学生的数学思维能力，分析问题、论证问题的能力，进一步提高学生的数学修养及其师范生的素质。为有志于深造的学生提供一个雄厚而坚实的理论基础。八、学时分配表教学内容（章）理论学时实验学时习题课其它备注A章集合102第二章点集104第三章可测集102第四章可测函数104第

3、五章积分论104第六章微分与不定积分42九、教学基本内容：第一章集合（12学时）教学要求：熟练掌握集合的各种运算，正确地运用De.Morgan公式，熟悉上下极限集的并交表达式，掌握单调集列的极限集。掌握一一映射、对等和集合势的概念。深刻理解有限集和无限集的特征。能运用Bernstein定理确定某些集合的势（主要指可列集和连续统的势，Bernstein定理的证明不作要求）。教学内容：一、集合概念与运算（1学时）基本内容：集合、子集及包含关系的概念和性质。重点内容：集合的包含关系基本要求：1、能用列举法和分析法表示集合2、掌握集合的子集或包含关系的性质，以及验证方法。二、集合的运算（3学时）基本内

4、容：集合的并、交、差及极限集的概念及其性质。重点内容：集合的并、交、差的概念与性质。难点：极限集的概念及性质基本要求：1、熟练运用集合的并、交、差的概念和性质；2 、掌握集合等式的证明方法；3 、了解极限集的定义，并记住单调集列极限集的结论。处理意见：1、讲清楚一个元素属于或不属于若干集合的并集或交集或差集的表水方法。2.掌握由函数所确定的一些集合等式的证明是很有用的可增加这一方面的例子。三、对等与基数（2学时）基本内容：集合的对等关系及集合的基数概念，伯恩斯坦定理。重点：集合对等的判别方法。难点：基数的概念基本要求：1、理解两个集合对等就是在两个集合之间存在映射。2、能对某些集合对之间利用已

5、知的函数，映射知识建立起一一对应关系，特别是一些数集对，欧氏空间中的点集对建立一一对应关系。3、能熟练地用两列集合An与Bn,（An、Bn中集合两两不交），mmAeR（n=1,2,）贝UUAn-UBn及UAn-UBn,证明集合之间的对等n1n1n1n1关系。4 .在适当的场合利用伯因斯坦定理证明集合间的对等关系。5 .准确理解集合的基数概念。处理意见：1、可举一些数集对等与欧氏空间点集对等的例子。、伯恩斯坦定理应分析其使用方法，了解它在证明两集对等时的好处，可不证明。四、可数集合（4学时）基本内容：可数集合的概念、基数a,可数集合的可排性，可数集合的子集，有限个可数集之并，可数个可数集之并等，

6、以及几个重要的可数集合的例子。重点：可数集合的可排性，有限个可数集之并，及可列个可数集之并。基本要求：1、正确理解可数集的概念。2、牢记有限个可数集之并，可数个可数集之并仍可数的结论。3、掌握集合的元素由有限个指标确定，每一指标可独立取遍一个可数集，这样的集合可数的定理。4、能用可数集的定义、可排性及其他性质验证，集合的可数性。5、记住有理数集或它的无限子集的可数性质，它在许多集合可数性的证明中起关键的作用。处理意见：1、首先分析处理好可数集的定义，可数集就是一个可与自然数集一一对应（对等）的集合。2 、在处理好可数集的定义的基础上，介绍一个证明集合可数的方便适用的办法一一可排性。3 、利用可

7、数集可排，展开可数性集合性质的讨论。五.不可数集（2学时）基本内容：不可数集的存在性，基数c,0,1,RR等基数为c的集合，不存在最大基数。重点：基数c及基数为c的集合。难点：不存在最大基数的证明。基本要求：1、了解数集0,1不可数2 、记住0,1,R,R等集合具有基数c,并能利用基数为c的集合结合对等关系的知识证明其他与之对等的集合仍具有基数c。3 、知道不存在最大基数的结论。处理意见：1、从0,1不可数中引出确实存在比可数集的元素要多得多的集合。2、应得到如下的结论，虽然0,1中的元素比任何一个可数集的元素要多得多，但它不是具有最多元素的集合，即c不是最大的基数，没有最大的基数。第二章点集

8、（14学时）教学要求：一、熟练掌握距离、收敛、极限、内点、聚点、边界点、孤立点、外点、区间、有界集、导集、闭包、开集、闭集、F型集、G型集、Borel型集等概念。二、深刻理解并能熟练运用开集和闭集的基本性质，它们是本章的重点内容三、掌握康托集的构造四、掌握康托集的性质，了解稠密和疏朗的概念。教学内容：一、度量空间，n维欧氏空间（3学时）基本内容：度量空间的概念；度量空间的例子一一n维欧几里得空间R1,n维欧几里得空间中的一些基本概念一一邻域，点列的极限，点集的直径，点集间的距离、有界集、区间重点与难点：度量空间的概念、度量空间的例子。基本要求：1.牢固掌握度量空间，n维欧几里得空间，邻域，点集

9、的直径，点列的极限，点间的距离等基本概念。2.熟练掌握n维欧几里得空间R,连续函数空间Ca,b,l2空间及其距离的引进方式。二、聚点、内点、界点（3学时）基本内容：内点、内域、界点、边界、接触点、孤立点、聚点、导集、闭包；聚点、导集、内域、闭包的性质；聚点的存性定理。重点：点集理论中的基本概念；聚点、导集、内域、闭包的基本性质。难点：聚点存在性定理的证明。处理意见：讲清内点、界点、孤立点、接触点、聚点之间的关系；详细分析聚点存在性定理的证明思路及方法。基本要求：1 .牢固掌握内点、聚点、界点、内域、导集、闭包这些基本概念。2 .能准确求出所给点集的内域、导集、闭包、边界。3 .熟练掌握聚点、导

10、集、内域、闭包的基本性质及聚点的存在性定理。三、开集、闭集、完备集（3学时）基本内容：开集与闭集的概念；开集与闭集的性质；Borel有限覆盖定理重点：开集与闭集的概念及其性质。难点：Borel有限覆盖定理的证明。处理意见：1.注意总结开集与闭集的证明方法。2 .详细分析Borel有限覆盖定理的证明思路及步骤。3 .注意强调Borel有限覆盖定理中条件的重要性并举例予以说明以加深学生对Borel有限覆盖定理的理解与掌握，从而达到能熟练而正确地应用Borel有限覆盖定理。基本要求：1、牢固掌握开、闭集的性质及开、闭集之间的关系。2 、熟练掌握开、闭集的证明方法。3 、掌握Bolzano-Weier

11、strass定理及Borel有限覆盖定理及其应用。四、直线上开集、闭集及完备集的构造（5学时）基本内容：直线上开集、闭集的结构；完备集的概念；直线上完备集的结构；Cantor完备集及Cantor完备集的性质；稠密集与疏朗集的概念；n维欧几里得空间（门42）中开集的结构。重点：直线上开集、闭集及完备集的结构，Cantor完备集，Rn（nA2）中开集的结构。难点：直线上开集的结构，R（nA2）中开集的结构。基本要求：1、牢记直线上开集、闭集及完备集的结构。2 、掌握Cantor完备集的构造方法及性质。3 、掌握完备集、稠密集与疏朗集的概念。第三章测度论（12学时）教学要求：一、牢固掌握Lebesg

12、ue外测度，Lebesgue测度，Lebesgue可测集的概o二、熟练掌握Lebesgue测度的性质，和常见的Lebesgue可测集，它们是本章的重点内容三、掌握Lebesgue可测集与Borel集的关系四、了解Lebesgue内、外测度相等与Carathodory条件是等价的，了解Lebesgue不可测集的存在性。教学内容：一、外测度（2学时）基本内容：点集的勒贝格外测度的概念，基本性质及区间的外测度为其体积。基本要求：1、记住勒贝格外测度的定义。4 、记住勒贝格外测度的三条性质。5 、记住区间I的外测度为其体积|I|。处理意见：判别：=m*E的方法，由定义转化为如下形式：对>0,区间

13、列In,使EuG1na<£|ln|,且印n|wa+名，以便深入讨论外测n=1nz1n=1度的性质。二、可测集（4学时）基本内容：可测集的并、交、差的可测性；可测集列的并、交的可测性；单调可测集列的极限集的可测性。重点：可测集的运算性质。难点：可测集的定义及两个可测集之并可测的性质。基本要求：1、了解勒贝格可测集定义，特别是卡拉泰渥独利的定义。6 、记住可测集的并、交、差集仍可测的结论。7 、记住可测集的可列并，可列交仍可测的结论。8 、牢记可测集的有限可加性和可列可加性。9 、记住单调可测集列极限集的测度与集列的测度之间的关系，特别注意单减可测集列交的测度等于集列测度的极限，要

14、求集列中至少有一个测度有限。处理意见：利用勒贝格可测集应具有可加性的要求理解点集的勒贝格可测的概念，由此引出卡拉泰渥利的可测集定义。三、可测集类（4学时）基本内容：零测度集、开集、闭集、F仃型集，G挥集、Borel集的可测性；勒贝格可测集的结构。重点：各种特殊可测集难点：可测集的结构基本要求：1、记住零测度集（零集）的定义及基本性质，并能利用定义和性质验证零集。10 、记住开集、闭集、F再集，G理集以及Borel集的可测性。11 、了解勒贝格可测集的结构及表示法。12 、知道任一外测度为正的点集均存在不可测子集的结论。第四章可测函数（14学时）教学要求：一、牢固掌握Lebesgue可测函数的定

15、义及其等价描述，熟悉可测函数的性质。这是本章的重点内容二、正确掌握可测函数列几中不同的收敛概念，搞清它们的相互关系，这是本章的难点内容三、掌握运用Lebesgue定理与Riesz定理四、了解叶果洛夫定理和鲁金定理。教学内容：一、可测函数及其性质（5学时）基本内容：通过集合的可测性定义函数的可测性，以及利用此定义及集合等式建立起函数可测的若干等价条件；可测函数的四则运算性质；可测函数作为可测函数列的极限等性质。重点：可测函数的定义及等价条件。难点：可测函数是简单函数列的极限函数。基本要求：1、准确理解可测函数的概念。2 、牢记函数可测的几个充要条件，并能熟练地应用这些充要条件。3 、熟记可测函数

16、的运算性质。4 、掌握可测函数与简单函数之间的关系。处理意见：在本节教学中，特别注意由函数表示的一些集合等式的重要作用，它们在函数可测等价命题的证明，可测函数列极限函数可测的证明等方面起到了主要作用。二.叶果洛夫定理（3学时）基本内容：叶果洛夫定理重点：叶果洛夫定理难点：叶果洛夫定理基本要求：1、记住叶果洛夫定理成立的条件和结论，特别是集合测度有限的条件。2、利用叶果洛夫定理，弄清可测函数列a.e收敛与一致收敛的关系。3 .可测函数的构造（3学时）基本内容：可测函数与连续函数的关系，鲁金定理的两种表述形式。重点：鲁金定理难点：鲁金定理的证明。基本要求：1、正确理解一般点集上函数连续的概念。2、

17、清楚地表述鲁金定理的两种形式。处理意见：分析函数在一般集合上连续的概念，对鲁金定理的理解有很大帮助。一个函数在一个集合上可以处处不连续，但限制在一个子集上却可以处处连续，如狄立克莱函数D（x）。4 .依测度收敛（3学时）基本内容：函数列依测度收敛的定义；依测度收敛而非a.e收敛的例;黎斯定理，勒贝格定理。重点：依测度收敛的概念和黎斯定理。难点：黎斯定理的证明。基本要求：1、理解并记住函数列依测度收敛的定义。2、记住存在依测度收敛而处处不收敛的例子。3、准确把握依测度收敛的表述方法，并熟练地运用这些表述方法。4、牢记黎斯定理的条件和结论。5、牢记勒贝格定理的条件和结论。6、弄清a.e收敛与依测度

18、收敛的关系。处理意见：利用叶果洛夫定理，黎斯定理，勒贝格定理，整理出一致收敛，处处收敛，a.e收敛和依测度收敛之间的关系。第五章积分论（14学时）教学要求：一、熟练掌握Lebesgue积分的定义和基本性质，这是本章的重点内容二、掌握Lebesgue积分的三个极限定理，注意分析这些定理的条件，并理解证明思路，这是本章的难点内容教学内容：一、Riemann积分（2学时）基本内容：（R）积分的确界式定义，Darboux定理，振幅的概念，函数在一点连续的一个充要条件，函数的不连续点所成之集的结构，函数（R）可积的充要条件。重点：函数（R）可积的充要条件难点：函数（R）可积的第三个充要条件。基本要求：1

19、、正确理解（R）积分的确界式定义。2、正确理解（R）积分的Darboux定理3、牢固掌握函数(R)可积的第三个充要条件及其应用二.Lebesgue积分的定义(4学时)基本内容：可测集的分划及其性质，大和小和及其性质，Lebesgue上积分与下积分及其性质，Lebesgue积分，有界函数f(x)在E(mE<+)上(L)可积的充要条件，则度有限的集合上有界可积函数的性质，(R)积分与(L)积分的关系。重点：(L)积分的概念、有界函数f(x)在E(mE<+)上(L)可积的充要条件，则度有限的集合上有界可积函数的性质。难点：有界函数f(x)在E(mE<+)上(L)可积之f(x)在E上

20、可测。处理意见：定理：有界函数f(x)在E(mE<+)上(L)可积=f(x)在E上可测，其必要性的证明较难，要着重分析清楚证明的思路及步骤。要特别提醒学生在理解(R)积分与(L)积分之间的关系时所应注意的事项。基本要求：1、正确理解与掌握测度有限的集合上有界函数的(L)积分的定义。2、牢固掌握有界函数f(x)在E(mE<+)上(L)可积的充要条件及其应用。3、熟练掌握测度有限的集合上有界可积函数的性质。4、掌握(R)积分与(L)积分之间的关系。三、Lebesgue积分的性质(2学时)基本内容：测度有限的集合上有界函数的(L)积分的性质。一共两个定理，共给出了(L)积分的七条常用性质

21、。重点：(L)积分的性质。难点：(L)积分部分性质的证明。处理意见：在介绍(L)积分的性质时要注意同(R)积分的类似性质作比较以加深学生的理解与认识。对于(L)积分的性质，只须证明其中的一部分，另一部分性质的证明可作为课外练习留给学生。基本要求：熟练掌握（L）积分的性质。四、一般可积函数（2学时）基本内容：本节主要讨论一般可测集上一般函数的（L）积分，其主要内容有：1. 一般可测集上非负函数的（L）积分的定义。2. 一般可测集上一般函数的（L）积分的定义。3. 一般可测集上一般函数的（L）积分的性质。重点：一般可测集上非负函数与一般函数的（L）积分的定义，一般可测集上一般函数的（L）积分的性质

22、。难点：一般可测集非负函数与一般函数的（L）积分的概念及部分性质。处理意见：讲授（L）积分的性质时特别注意（L）积分与（R）积分在其性质上的相似处与不同处。基本要求：1、掌握一般可测集上非负函数的（L）积分的定义。2、掌握一般可测集上一般函数的（L）积分的定义。3、在理解一般可测集上一般函数的（L）积分的定义时必须注意：1） f（x）在E上可测，f（x）在E上不一定有积分值。2） f（x）在E上有积分值？f（x）在E上可积。3） f（x）在E上可积Uf+（x）与f（x）在E上可积。4、牢固掌握一般可测集上一般函数的（L）积分的性质。5、熟练掌握以下性质的应用：1）若f（x）在E上可积，则mE&

23、#171;|f（x）|=+叼=02） （L）积分的绝对连续性。3）若f（x）在E上可积，且£|f（x）|dx=0,贝Uf（x）=0pp于E。五、积分的极限定理（4学时）基本内容：Lebesgue控制收敛定理：Levi定理、Lebesgue逐项积分定理，Fatou引理，积分的可列可加性（完全可加性）。重点与难点：Lebesgue控制收敛定理。处理意见：1、Lebesgue控制收敛定理的证明较为艰难，所用的知识也较多，一般情况下学生不易掌握该定理的证明，因此讲授该定理的证明时，应注意分析清楚该定理的证明思路及具体方法。2、在讲授该节内容时应注意与（R）理论相联系，使之明白（R）积分理论的缺陷与（L）积分理论的优越性。基本要求：1、掌握Lebesgue控制收敛定理，Lebesgue逐项积分定理，Levi定理,Fat引理的证明。2、熟练掌握Lebesgue控制收敛定理与有界收敛定理、Levi定理，Fatou引理以及积分的完全可加性的应用。第六章微分与不定积分（6学时）教学要求：一、掌握单调函数性质，了解单调函数可微性的证明。二、掌握有界变差函数概念和性质，三、掌握绝对连续函数概念和性质，教学内容：一、单调函数的可微性二、有界变差函数基本内容：有界变差函数的概念，有界变差函数类，有界变差函数的性质，单调函数几乎处处存在有限导数，Vitali