定积分的应用61778

1、定积分及其在物理中的应用摘要：不定积分是微分法逆运算的一个侧面，本文要介绍的定积分则是它的另一个侧面.定积分起源于求图形的面积和体积等实际问题.古希腊的阿基米德川用“穷竭法”，我国的刘徽用“割圆术”，都曾计算过一些几何体的面积和体积，这些均为定积分的雏形.直到17世纪中叶，牛顿和莱布尼茨先后提出了定积分的概念，并发现了积分与微分之间的内在联系，给出了计算定积分的一般方法，从而使定积分成为解决有关实际问题的有力工具，并使各自独立的微分学与积分学联系在一起，构成完整的理论体系一一微积分学.本文先从几何问题与力学问题引入定积分的定义，然后讨论定积分的性质、计算方法以及定积分在几何与经济学中的应用.关

2、键字：定积分、概念、性质、定积分应用1 .定积分的概念设了在m用上有界，在何冽中任意插入若干个分点把区间仪分割成n个小区问孙仙瓜，,，|如mJ各小区间的长度依次为=一。4一如.在每个小区间上任取一点薪(初序日),作函数值fCi)与小区间长度M的乘积，C)A%(i=12，并作和式i-i记"-mas(AX,A勒,如果不论对【以用怎样的分法,也不论在小区问【4上点自怎样取法，只要当70时，和4总趋于确定的极限I,我们就称这个极限I为函数/W在区间I力上的定积分，记为f/以二/二骑看T2，1其中/(工)叫做被积函数，工叫做被积表达式，x叫做积分变量，凡叫做积分区问.2 .定积分的性质2.1

3、假设以下各函数都是可积的，且a<b.(1-4对ab也成立)bbbf(x)_g(x)dx=f(x)dx_g(x)dx.aaaaaabn证明：f(x).g(x)dx=lip：f(i).g(i).：xiaII.11-0iinnbb7m；f(i)：xi一111mLg(i)：Xi=af(x)dx-ag(x)dx.bb2.2 Jkf(x)dx=kJf(x)dx,(k为常数).a-a证明:akf(x)dx寸0kf(i)x=k/im01f(i).xb=kaf(x)dx.bcb2.3 f(x)dx=f(x)dxf(x)dx.aac证明：(1)先假设a<”上设4与&2是2。与的6均分割,那么4

4、与2联合起来构成了a,b的分割区.bn于是f(x)dx=lim'f(i)：xinin2二加：f(1八.iiM：/(2i)x2icb=f(x)dxf(x)dxaccbc(2)若a<b<c，有jf(x)dx=f(x)dx+f(x)dx-a-a-bbcccb于是f(x)dx=f(x)dx-f(x)dx=f(x)dxf(x)dx.a-a-b-a-c若c<a<b,同(2)可证.bL-b2.4 dx=idx=b_a.a-ab.n一.n.证明：adx=|m£f代i)AXi="魁£AXi=|mo(ba)=bb2.5 若f(x)20,xwa,b,贝1

5、Jff(x)dx之0.ab注：若f(x)在a,b连续非负且不包为零，则f(x)dx>0.-an证明：因f(x)至0,xwa,b,而>0,于是£f(O)Ax10,i4所以af(x)dx=|mzf代i)Axi之0.2.5.1 推论：bb(1)若f(x)Wg(x),xwa,b,贝jf(x)dx<fg(x)dx.a-a证明：因F(x)=g(x)f(x)之0,xwa,b,于是bbbJg(x)dxJf(x)dx=JF(x)dx之0,a-a-abb所以af(x)dx<ag(x)dx.bb2.5.2ff(x)dx<f|f(x)|dx.La-a''证明：因

6、|f(x)悍f(x)0f(x)|,xEa,b,于是bbb-|f(x)|dx-f(x)dx一|f(x)|dx,aaa.b.b所以ff(x)dx£|f(x)|dx.'aTa''、1c1c例比较积分值x2dx和Ix3dx的大小.解：因x2ax3,xw(0,1),二x2dx>xx3dx.2.6 设M与m为f(x)在a,b上的最大值与最小值，则bm(b-a)<f(x)dx<M(b-a).a证明：因mef(x)wM,xwa,b,所以bbbbm(b-a)=mmdx=mdx<f(x)dx<Mdx=M(b-a).a-a-a-a例估计积分1二一dx的

7、值.03sinx解:f(x)=13sin3x11二43sinx3.-x0,二,0三sinx<1,二1二1二1-dx-3dx-dx,0403sin3x03二二1二一_3_dx_.403sinx32.7 积分中值定理b(1)定理:设f(x)Ca,b,则韭wa,b,s.t.f(x)dx=f©)(ba).a证明：因f(x)wCa,b,f(x)在a,b上存在最大值M与最小值m,b于是m(b-a)Ef(x)dx£M(b-a)a31b-或mf(x)dx<Mb-aaf()=1b-a由连续函数介值定理知：a,b,s.t.bbff(x)dx,即f(x)dx=f(-)(b-a)a-a

8、3.定积分在物理中的应用3.1 变力做功在功的问题中，恒力做功是最简单的，公式为W=FS.“以常代变”，功的微元应该通过包力做功公式得到的.例1一压簧，原长1m,把它每压缩1cm时所用的力为0.05N.问在弹性范围内把它由1m(如图3.1.1)压缩到60cm(如图3.1.2)所做的功.令起点为原点，压缩的方向为X轴的正方向当把弹簧自原点压缩至0,0.4之间的任意点X处时(如图3.1.3)由胡克定律知所承受的弹簧的压力为匚0.05;Fx=x=5x0.01在此力的作用下，再继续压缩一点点dx,即压缩至x+dx处由于dx很小，这个压缩过程可认为力F(x)不变，即包力做功则由恒力做功公式得功的微元dW

9、=Fxdx0.4积分得W=0Fxdx0.40.40=5xdx052=-x2=0.4(J).例2在原点处有一带电量为十q的点电荷，在它的周围形成了一个电场.现在x=a处有一单位正电荷沿x轴正方向移至x=b处，求电场力所做的功.又问若把该电荷继续移动，移动至无穷远处，电场力要做多少功.解：点电荷在任意点x处时所受的电场力为F(x)=k*(k为常数)x电场力做功的微元dW为点电荷由任意点x处移动至x+dx处时电场力F(x)所做的功即dW=Fxdx=k3dxx则移至x=b处电场力做的功bqW=k4dxax,1b=-kq=kq3ab移至无穷远处电场力做的功qkdxax2kq（物理学中称此值为电场在x=a

10、处的电位）.a例3圆台形水池，深15m,上下口半径分别为20m和10m,如果把其中盛满的水全部抽干，需要做多少功？解:水是被“一层层”地抽出去的，在这个过程中，不但每层水的重力在变，提升的高度也在连续地变化已尸=20尹%3图3.1.420其中抽出任意一层水（x处厚为dx的扁圆柱体，如图8.3.4阴影部分）所做的功为抽水做功的微元dW即dW=dmgx=dVgx=gx120-2x二dx152则W=°gxj20-x二dx152x120-xdx0.32=g二200x2803x91415x90=20625g二=20212500m(J>3.2 物体质量对于密度均匀的物体的质量m=*l或m=

11、"'A、m=¥V,这时密度是常量;但对于密度不均匀（密度是变量）的物体的质量就不能直接用上述公式了，而应该用微元法.例1一半圆形金属丝，其上任意点处的线密度与该点到连接金属丝端点的直径的距离成正比，求金属丝的质量.解：建立如图3.2.1坐标系MIx=ky=k.R2-X2k0-xy=-R2=x222ds='dxdy=1y2dx-R=dx,R2-x2dm=lxds=k一R2-x2_R_,R2-x2dx=kRdxRm=kRdx-R=2kR2.例2设有一心脏线r=1+cosO形的物质薄片，具面密度%S)=2+cose,试求此物质薄片的质量.解:12-dA=rdi2d

12、m=a二dA八.1,.2=2cos11cos二d二13.=545cos12cos21cos二d二12二3o45cos12cos21cosddi1(八八八13J2立=一4日十5sin日+sin29+sin6sin日213>0例3设一立体为曲线y=L关于X轴的旋转体，其上任一点X的体密度等于其横1X2坐标的绝对值即“X)=X,试求该立体的质量.解:12X十dvxXvxmddndx(图3.2.2中小圆柱体体积)IXd-2.I-henx-1xdx2dx11x2=H.3.3液体压力液面下h深处水平放置的面积为A的薄板承受的液体压力P可以由压强乘以面积得到，即P=Ygh.A,其中¥为液体密

13、度，压强¥gh是个常量（匀压强）.现在如若把薄板垂直放置呢？薄板上的压强还是常量吗？还能用上边那个简单的公式吗？例1三峡大坝有一上底、下底、高分别为40、20、15米的等腰梯形闸门，闸门垂直放置且上边与水面齐，试计算闸门一侧所承受的水压力.解：我们知道抽水做功微元dW为把x处一层水抽出所做的功；类似地，侧压力微元dP为x处一层水对应的闸门的一个小窄条（如图阴影部分）所承受的水压力，即dP=gxdA=gx2ydx2=2gx120-x,31522gx120x0.31542=gl40x-x03二980020x243一一x915J0=29400000(N).列举结论：定积分在经济、医学等领域还有其他应用，在此就不参考文献华东师范大学数学系数学积分上册高等教育出版社2003.6李公园（翻译）微积分及其应用徐氏基金会出版社2002.6程守洙江之水普通物理1高等教育出版社2001.3程守洙江之