第7讲　一元二次方程

1、数学第7讲一元二次方程第第7讲一元二次方程讲一元二次方程 1定义只含有_一个未知数_，并且未知数的最高次数是_2_，这样的整式方程叫做一元二次方程通常可写成如下的一般形式： _ax2bxc0(a， b， c 是已知数， a0)_，其中 a，b，c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项2解法首先考虑_直接开平方法_，_因式分解法_；其次考虑_配方法_，_公式法_ 3公式一元二次方程 ax2bxc0(a0)的求根公式：_xb b24ac2a(b24ac0)_4一元二次方程的根的判别式对于一元二次方程 ax2bxc0(a0)：(1)b24ac0方程有两个_不相等_的实数根；(2)b24ac0方程有

2、两个_相等_的实数根；(3)b24ac0方程_没有_实数根 3解法(1)解一元一次方程主要有以下步骤：_去分母_；_去括号_；_移项_；_合并同类项_；未知数的系数化为 1.(2)解二元一次方程组的基本思想是_消元_， 有_代入消元法_与_加减消元法_即把多元方程通过_加减_、_代入_、换元等方法转化为一元方程来解 转化思想一元二次方程的解法直接开平方法、 配方法、公式法、因式分解法，都是运用了“转化”的思想，把待解决的问题(一元二次方程)， 通过转化、 归结为已解决的问题(一元一次方程)， 也就是不断地把“未知”转化为“已知” 注意：注意： (1)根的判别式根的判别式“b24ac”只有在确认

3、方程为一只有在确认方程为一元二次方程时才能使用；元二次方程时才能使用； (2)使用时使用时，必须将一元二次方程转化为一般式必须将一元二次方程转化为一般式ax2bxc0，以便确定以便确定a，b，c的值的值 防范防范 正确理解正确理解“方程有实根方程有实根”的含义若有一个的含义若有一个实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数实数根则原方程为一元一次方程；若有两个实数根则原方程为一元二次方程在解题时根则原方程为一元二次方程在解题时，要特别要特别注意注意“方程有实数根方程有实数根”“”“有两个实数根有两个实数根”等关键等关键文字文字，挖掘出它们的隐含条件挖掘出它们的隐含条件，以免陷入关键字以免陷入关

4、键字的的“陷阱陷阱” 1(2014舟山、嘉兴)方程 x23x0 的根为_x3或 x0_2(2013温州)方程 x22x10 的根是_x112，x21 2_ 3(2014衢州、丽水)如图，某小区规划在一个长 30 cm、宽 20 cm 的长方形 ABCD 上修建三条同样宽的通道， 使其中两条与 AB 平行， 其余部分种花草要使每一块花草的面积都为 78m2，那么通道的宽应设计成多少米？设通道的宽为x m，由题意列得方程_x235x660_ 4(2014宁波)已知命题”关于 x 的一元二次方程 x2bx10，当 b0 时必有实数解”， 能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( A )Ab1Bb2C

5、b2Db0 【例 1】解下列方程：(1)x22x0；(2)x24x10；(3)(y3)(13y)12y2；(4)(3x5)25(3x5)40；(5)(1997x)2(x1996)21. 解：(1)x22x0，x(x2)0，x10，x22(2)解：原方程可化为(x24x44)10，即(x2)25，两边开方，得x2 5，解得 x12 5，x22 5(3)(y3)(13y)12y2，y3y239y12y2，5y28y20，y8 104254 265，y14 265，y24 265 (4)(3x5)25(3x5)40，(3x51)(3x54)0，(3x4)(3x1)0，3x40 或 3x10，x143

6、，x213(5)解法一：(1997x)2(x1996)210，(1997x)2(x1997)(x1995)0(x1997)(x1997)(x1995)0，2(x1997)(x1996)0，x11997，x21996解法二：因为(1997x)2(x1996)2(1997x)(x1996)22(1997x)(x1996)，所以原方程可化为 12(1997x)(x1996)1，2(1997x)(x1996)0，x11997，x21996【点评点评】解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题解一元二次方程要根据方程的特点选择合适的方法解题，但一般但一般顺序为：直接开平方法顺序为：直接开平方法、因

7、式分解法因式分解法、公式法公式法 1用指定的方法解下列方程：(1)(2x1)29；(直接开平方法)(2)x23x40；(配方法)(3)x22x80；(因式分解法)(4)x(x1)2(x1)0.(公式法) 解：(1)(2x1)29，2x13，x132，x12，x21(2)x23x40，(x32)2254，x3252，x11，x24(3)x22x80，(x4)(x2)0，x14，x22(4)x(x1)2(x1)0，x23x20，x3 1721，x13 172，x23 172 配方法 【例例2】用配方法把代数式用配方法把代数式3x2x22化为化为a(xm)2n的形的形式式，并说明不论并说明不论x取何

8、值取何值，这个代数式的值总是负数并求出这个代数式的值总是负数并求出当当x取何值时取何值时，这个代数式的值最大这个代数式的值最大解：3x2x222(x232x)22(x232x916916)22(x232x916)9822(x34)278，2(x34)20，2(x34)2780，当 x34时，代数式最大值为78 【点评点评】(1)代数式的配方是一种重要的数学方法代数式的配方是一种重要的数学方法，它既是恒等变形的重要手段它既是恒等变形的重要手段，又是研究相等关系又是研究相等关系，讨论不等关系的常用方法在配方前讨论不等关系的常用方法在配方前，先将二次项先将二次项系数系数2提出来提出来，使括号中的二次

9、项系数化为使括号中的二次项系数化为1，然然后通过配方分离出一个完全平方式后通过配方分离出一个完全平方式 (2)注意与方程的配方的区别注意与方程的配方的区别 2(1)(2014聊城)用配方法解一元二次方程 ax2bxc0(a0)，此方程可变形为( A )A(xb2a)2b24ac4a2B(xb2a)24acb24a2C(xb2a)2b24a4a2D(xb2a)24acb24a2 (2)对于二次三项式对于二次三项式x210 x36，小聪同学作出如小聪同学作出如下结论：无论下结论：无论x取什么实数取什么实数，它的值都不可能等于它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法？说明你的理由你是否同意他的说法

10、？说明你的理由解：不同意小聪的说法理由如下：解：不同意小聪的说法理由如下：x210 x36x210 x2511(x5)21111，当当x5时时，x210 x36有最小值有最小值11 一元二次方程根的判别式【例3】(2014深圳)下列方程没有实数根的是( C )Ax24x10 B3x28x30Cx22x30 D(x2)(x3)12【点评】对于一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的情况的描述，必须借助根的判别式，0方程有两个实数根，0方程有两个不相等的实数根，0方程有两个相等的实数根，0方程没有实数根，反之亦然 (2)(2014十堰)已知关于x的一元二次方程x22(m1)xm210.若方程有实数

11、根，求实数m的取值范围；若方程两实数根分别为x1，x2，且满足(x1x2)216x1x2，求实数m的值解：由题意有2(m1)24(m21)0，整理得8m80，解得m1，实数m的取值范围是m1由两根关系，得x1x22(m1)，x1x2m21，(x1x2)216x1x2，(x1x2)23x1x2160，2(m1)23(m21)160，m28m90，解得m9或m1.m1，m1 与几何问题的综合【例4】(1)已知等腰三角形底边长为8，腰长是方程x29x200的一个根，求这个等腰三角形的腰长解：解方程x29x200，x14，x25，当腰长x4时，448，不合题意，舍去，腰长x5 (2)(2013绵阳)已

12、知整数k5，若ABC的边长均满足关于x的方程x23x80，则ABC的周长是_6或12或10_解析：根据题意得k0且(3)2480，解得k，整数k5，k4，方程变形为x26x80，解得x12，x24，ABC的边长均满足关于x的方程x26x80，ABC的边长为2，2，2或4，4，4或4，4，2.ABC的周长为6或12或10 【点评】(1)将构成三角形的条件“三角形任意两边之和大于第三边”与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想(2)根据题意得k0且(3)2480，而整数k5，则k4，方程变形为x26x80，解得x12，x24，由于ABC的边长均满足关于x的方程x26x80，所以ABC的

13、边长可以为2，2，2或4，4，4或4，4，2，然后分别计算三角形周长 4(2013铁岭)如果三角形的两边长分别是方程x28x150的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是( A )A5.5B5C4.5D4解析：解方程x28x150，x13，x25，第三边x的范围为2x8，原三角形周长l的范围为10l16，由三角形中位线定理可知，三边中点连线构成的三角形周长为原三角形周长的一半，周长在58之间 试题(1)解方程：3x(x2)5(x2)；(2)解方程：9x26x19；(3)解方程：x22x10.错解(1)解：3x(x2)5(x2)，两边同时除以(x2)，得3x5，x.(2)解：9x26x19，左边因式分解，得(3x1)29，两边开平方，得3x13，x.(3)解：x22x10，配方，得(x1)20，两边开平方，得x10，x1. 剖析(1)解方程3x(x2)5(x2)时，方程两边同时除以含x的代数式破坏了方程的同解性，遗失了一个根x2