完整版基于LabVIEW的正弦信号频率与相位测量

1、基于LabVIEW勺正弦信号频率与相位测量1 .前言信号频率与相位的测量具有重要的实际意义。本文调研了频率与相位的多种测量算法，并借助LabVIEW编程实现。在此基础上，对各种算法进行了比较研究，且提出了行之有效的改进措施。2 .采样定理与误差分析2.1 采样定理时域信号f(t)的频谱若只占据有限频率区间(-6m,切m),则信号可以用等间隔的采样值唯一表示，而最低采样频率为23。采样定理表明：信号最大变化速度决定了信号所包含的最高频率分量，要使采样信号能够不失真地反映原信号，必须满足在最高频率分量的一个周期内至少采样两个点。2.2 误差分析对连续周期信号Xa(t)进行采样得离散序列Xd(n),

2、如果满足采样定理，则离散序列Xd(n)的傅里叶级数Xdg(k)是连续信号Xa(t)的傅里叶级数Xag(k6i)的周期延拓，否则会出现两种形式的误差。2.2.1 泄漏误差在连续信号Xa(t)一个周期工内采样Ni个点，如果正好满足NiTs=Ti(Ts为采样间隔)，则是完整周期采样，采样结果xd(n)仍为周期序列，周期为N1O基于xd(n)一个周期2个点计算离散傅里叶级数Xdg(k),由Xdg(k)可以准确得到连续信号Xa(t)的傅里叶级数Xag(k©1)o如果在连续信号Xa(t)的M个周期时间内采样整数Ni个点，即N1s=MTi,也是完整周期采样。在此情况下，采样结果xd(n)仍为周期序

3、列，周期为N1，但xd(n)的一个周期对应于xa(t)的M个周期，由离散序列(n)仍然可以准确得到连续信号xa(t)的频谱。如果以上两种情况都不满足，则为不完整周期抽样,Xd(n)也不再是周期序列。如果取Xd(n)近似周期的Ni个点计算傅立叶级数，则产生误差，此误差称为泄漏误差。图1所示是对连续正弦信号进行非完整周期抽样的两种情况，分别是N1Ts<T1和N1Ts>T1。iVj(ff),/Th/Th-图1正弦信号非完整周期采样序列的周期延拓2.2.2 混叠误差如果信号频率无限，则无论如何提高采样频率，都不能避免频谱混叠；如果频率有限，但采样不满足采样定理，也会出现频谱混叠，采样信号的

4、离散傅里叶级数不再能准确表示原来连续信号的傅里叶级数。混叠误差的本质在于，如果对信号中高频分量的采样不满足采样定理，其采样结果将表现为一低频序列，它和信号中原有低频分量的采样结果混在一起，造成低频分量频谱的误差。在信号频率无限的情况下，混叠不可避免，但通过提高采样频率可以减小误差；在频率有限的情况下，只要满足采样定理，混叠误差可以完全避免。3 .频率与相位测量算法3.1 频率测量算法3.1.1 三点法三点法是一种建立在三角函数变换基础上的数据拟合方法。假设被测函数是正弦函数，在等间隔采样的前提下可以利用相邻3个数据样本，导出求解信号频率的线性方程，进而拟合求解频率1。设信号为u(t)=Umsi

5、n(t+中)，若81+审=口,则(1)u(t)=Umsin二若设日=二=2其中Fs为采样频率，则有FsFsf二2相邻的3个数据样本可表示为U=Umsin;一U1=Umsin(:口)Ui.2"Umsin(：/2口)由三角变换有ui-ui2=2ui1cos所以cosl-U-U22ui1令x(n)=2u+,y(n)=ui+ui.2,则得到y(n)=x(n)cos二f=Earccosi2式*就是所需要的线性方程。用最小二乘法拟合可以得到一个较准确的斜率而求出频率。(2)(3)(4)(5)(6)cosB,进3.1.2多周期平均计数法多周期平均计数方法是通过对多个周期的采样信号进行计数，然后以其

6、平均值作为频率测量值。假定采样频率为Fs,共采集m个周期的信号，用计数的方法找到各个周期的样本数，分别为Ni,N2,一，Nm,那么对应于各个周期的频率值分别为考虑m个周期的频率的均值，有f=&上+,+川+工m<NiN2NmJFsFsFs一,NiN2Nm(7)实际上，在非整周期采样的条件下，式(3-1)中N的取值只有两种情况，即多一个或少一个样本。假定分别是n1和ni+1,与它们对应的周期数分别是门和m2,则式(3-1)可以改写为fFsm,f=m2mgn1+11rr=一(m1flm2f2)m(8)其中f1=Fs和f2=工分别对应于被测信号频率的最大偏差值和最小偏差值。n1ni13.

7、1.3能量矩平衡法图2是能量矩平衡法2的示意图，用pi表示第i个谱线的幅值，Xi是Pi的横坐标，借助力学概念，设想第i个谱线对原点形成了一个转矩（不妨称之为能量矩），其大小为pixi,N图2能量矩平衡法示意图对全部N个谱线，总的能量矩为£pixi,设想在x轴上存在i1一个重心在Xo处，反方向施加给全部信号的能量P0,在不考虑频率泄漏的情况下，令X轴上的能量矩平衡，即NPoXo=£PiXi(9)NNNN-PiXi由于Po可表示为Po=£Pi，所以有X0ZPi=£PiXi,从而得到Xo=-LJNyyy、Pii1后将横坐标乘以，f=县，得到所求频率:NPiXi

8、凸-N“Pii=1FsN(1。)式中，Fs为采样率，N为样本数。3.1.4比例法图3表示采样信号的频谱，其中显示的是主瓣内的谱线yk和yk书，其谱线序号分别为Xk和xk.，而频率的准确值位于横坐标x0处。可以利用yk和yk卅这两条谱线的幅值对间隔xk书-xk,即Af进行细分。在矩形窗的情况下，可以直观的视x0处为重心，则有图3比例法的示意图于是所以yk_xk1-过yk1x0xk(11)ykyk1_xki-x0x0-xk_xk1-xk1yk1x0-xkx0_xkx0-xk(12)用Hanning窗，可以导出3.2相位测量算法3.2.1过零法过零法的基本原理如图4所示。_yk1x0=xkyyk1=

9、Af，x0=：Yt+xkflyk+yk书Jx。二生qxkyk-yk1f=向由_yk+xkdfVYk+Yk+J判断两信号过零点时刻t1与t2的时间间隔At,将时间差转化为相位差，计算公式为,2二t2二nphase=TT(15)其中，飞为两信号过零点时刻3与12的时间间隔，T为信号周期，七为信号采样周期，n为两信号过零点时刻t1与t2间的采样点数。(13)(14)图4过零法的原理图设A/D转换器的位数为N,最大模拟输入量为UDm,则幅值的采样分辨率为UDm/2N,如图5所示。在过零点附近,电压u满足1UDm2尸Dm(16)图5过零点的取值故采样点Pn的数值大于零，采样点Pn¥的数值小于零

10、,在R与Pn书之间必然有一个真实的过零点P0,一般取为P()=(Pn+Pn中)/2。具体算法过程如下：(1)获取两路数字信号值数组；(2)寻找数组中正、负值变换点，即PNPN*<0；(3)根据正、负值点计算过零点，同时计算周期；(4)根据两过零点计算时间差，并转换为相位；(5)结果与误差显示。3.2.2相关分析法相关法利用两个同频正弦信号的互相关函数零时刻值与其相位差的余弦值成正比的原理获得相位差冏。由于噪声信号与有效信号的相关性很小，因而该方法有很好的抑制噪声能力。假设两个同频信号表达式如下：x=Asin(0:0)Nx(t)y(t)=Bsin(00+中0)+Ny(t)(17)其中，A、

11、B分别为x(t)和y(t)的幅值，Nx(t)、Ny(t)分别为噪声信号。对x(t)和y(t)进行相关运算，有1T1TR<y(T)=-0x(t)y(t+)dt=-i0AsinC%t+?)+Nx(t)Bsin80(t+T)+%)+Ny(t+T)dt(18)当T=0时1TRxy(0)=0Asin(80t+Q)+Nx(t)LBsin(00(t)+Q)+Ny(t)dt(19)由于噪声和信号、噪声和噪声不相关，积分后可得Rxy(0)=ABcos(1-0)Q-%=arccos(2Rxy(0)(20)AB其中，AiJ2Rx(0),B=.2Ry(0)。实际处理的信号为采样后的离散点序列，相应的离散计算公式

12、为1kRxy(0)x(n)y(n)knq1k1Rx(0)=-Hx(n)2(21)kn1"2Ry(0)=丁'y(n)kn=0式中k为采样点。通过信号x(t)和y(t)的自相关与互相关函数的计算，可求得它们的相位差。3.2.3互功率谱法该方法首先对两路正弦信号进行采样得到两组离散数据，然后利用互相关原理求出两组数据互相关函数的幅度谱和相位谱。因为两信号为同频信号，它们具有最大的相关性。故在幅度谱中存在最大幅度值，在相位谱中与幅度谱最大值对应的相位信息即为两信号的相位差4。互功率谱的计算是通过先求两待测信号的互相关函数再进行离散傅里叶变换来实现的。设x(t)、y(t)分别为两待测同

13、频正弦信号，中为x(t)和y(t)的相位差，T为采样时间，七为互相关函数的变量，则互相关函数计算公式为1TRxy(T)=Tim7f0x(t)y(t+T)dt(22)一T采样获得的离散时间序列信号的互相关函数表达式为_1?，一Rxy(i)=-Zx(k)y(k+i)(23)Nk4当两路信号为时不变信号时，它们的互功率谱密度同互相关函数是Z变换关系，即qQSxy(Z)=fRxy(k)Z”(24)k*3对求得的互功率谱密度函数进行极坐标变换，即可得到两正弦信号的幅度谱与相位谱，进而求出相位差5。4. LabVIEW程序4.1 信号的产生与采集双路正弦信号产生程序的前面板如图6、7所示。其中，信号1与信

14、号2的频率、幅值、相位可以单独设置，并且两个正弦信号均可叠加任意大小的谐波与白噪声。波形生产程序中，缓冲区内的波形数据被循环输出只模拟输出端0、1;波形采集程序中，模拟输出信号接至模拟输入端子并被采集，其中采样率与采样数可调。输出正弦波参数袖也女段帝友做mn.卢博凌?采集信号波形采样数血口采样率图6波形输出程序前面板图7波形采集程序前面板4.2 频率测量程序按照前述频率测量算法编制的LabVIEW程序见图811。各程序首先采集数据并得到频率计算值，然后与实际频率值进行比较计算相对误差。图8三点法测频程序图9多周期平均计数法测频程序图10能量矩平衡法测频程序图11比例法测频程序4.3相位测量程序

15、按照前述相位测量算法编制的LabVIEW程序见图1214。各程序首先采集数据并得到两路正弦信号相位差计算值，然后与实际相位差值进行比较得到相对误差。图12过零法测量相位程序14尚号»7叫二.'图13相关分析法测量相位程序图14互功率谱法测量相位程序5.实验结果分析5.1各种算法的误差比较5.1.1频率测量实验1采用仿真信号，无谐波、噪声，信号幅值为1V,信号频率设定为53.31Hz,采样频率Fs=1000,样本个数#s=1000o实验结果如表1所示。实验2在实验1的基础上，增加白噪声0.1V,实验结果如表2所示。帽相网洋车哥依2'引.表1四种方法测量频率的相对误差测频

16、方法相对误差/%多周期的平均计数法0.0069三点法0能量矩平衡（Hanning）0.0043比例法（Hanning）0.0730表2叠加白噪声后的相对误差测频方法相对误差/%多周期的平均计数法0.0830三点法5.3808能量矩平衡（Hanning）0.0212比例法（Hanning）0.0679实验3在实验1的基础上，增加3次谐波0.1V,实验结果如表3所示。实验4采用实际采集信号，无谐波、噪声，信号幅值为1V,信号频率设定为53.31Hz,采样频率Fs=l000,样本个数#s=1000。实验结果如表4所示。实验5在实验1的基础上，提高样本个数#s=2000,实验结果如表5所示。表3叠加3

17、次谐波后的相对误差测频方法相对误差/%多周期的平均计数法0.2560三点法3.8240能量矩平衡（Hanning）0.0037比例法（Hanning）0.0716表4采用实际采集信号后的相对误差测频方法相对误差/%多周期的平均计数法0.0986三点法1.3957能量矩平衡（Hanning）0.0401比例法（Hanning窗）0.0437表5提高样本个数后的相对误差测频方法相对误差/%多周期的平均计数法0.0855三点法1.3957能量矩平衡（Hanning）0.0546比例法（Hanning）0.0438由以上实验数据可以得到如下结论：（1） 由实验1和4知，各种方法对各种实际采集信号频率的

18、测量误差均大于仿真信号的测量误差；（2） 由实验1和2、3知，多周期平均计数法和能量矩平衡法没有比例法抗干扰能力强;（3） 三点法由于理论固有原因，在信号非标准正弦时误差很大；（4） 多周期法在偶数次谐波的作用下过零点发生变化，误差增大；（5） 由实验1和5知，提高样本个数对时域测量方法而言可以明显提高测量精度，而对频域方法效果不明显。5.1.2相位测量实验1采用仿真信号，无谐波、噪声，信号幅值为1V,信号频率设定为53.31Hz,相位差90°,采样频率Fs=1000,样本个数#s=1000。实验结果如表6所示。实验2在实验1的基础上，增加白噪声0.1V,实验结果如表7所示。表6四种

19、方法测量仿真信号相位的相对误差测相位方法相对误差/%过零法0.5780相关分析法（Hanning）0.5147互功率谱法（Hanning）0.3779表7叠加白噪声后的相对误差测相位方法相对误差/%过零法1.1541相关分析法（Hanning）1.7476互功率谱法（Hanning）0.5349实验3在实验1的基础上，增加3次谐波0.1V,实验结果如表8所示。表8叠加3次谐波后的相对误差测相位方法相对误差/%过零法0.5780相关分析法（Hanning）0.2427互功率谱法（Hanning）0.3882实验4采用实际采集信号，无谐波、噪声，信号幅值为1V,信号频率设定为53.31Hz,相位差

20、90°,采样频率Fs=1000,样本个数#s=1000o实验结果如表9所示：表9采用实际采集信号后的相对误差测相位方法相对误差/%过零法1.2945相关分析法（Hanning）1.1457互功率谱法（Hanning）0.6438实验5在实验1的基础上，提高样本个数#s=20000,实验结果如表10所示:表10提高样本个数后的相对误差测相位方法相对误差/%过零法0.2446相关分析法（Hanning）0.0001互功率谱法（Hanning）0.3476由以上实验数据可以得到如下结论：(6) 由实验1和4知，各种方法对各种实际采集信号频率的测量误差均大于仿真信号的测量误差；(7) 由实验

21、1和2、3知，噪声给结果带来较大误差，但高次谐波几乎无影响；(8) 互功率谱法比过零法与相关分析法抗干扰能力强；(9) 由实验1和5知，提高样本个数对时域测量方法而言可以明显提高测量精度，而对频域方法效果不明显。5.2算法的研究与改进5.2.1 频率测量算法的改进频率测量的准确度会进一步影响相位的测量，因而具有重要的意义。考虑之前的各种频率测量算法，均测量一次结果即输出。现对所有算法做如下循环迭代的改进6:(1)设定频率初值f0和两次测量允许误差值Af；(2)对信号采样；(3)计算得到频率f1；(4)如果f1-fo>Af,则返回步骤(2),以力为初值，调整采样频率为力的10倍，进行重新采样，计算f2，余类推;(5)如果f1-fo<&f,循环结束，输出频率测量结果和迭代次数。对多周期平均计数法按以上步骤进行循环迭代，程序框图如下。号时网;该并“-f周明11|二碗ml遇I图15多周期平均计数法迭代测量频率的程序框图取正弦信号幅值1V,频率53.31Hz,采样频率Fs=1000,样本个数#s=1000时，迭代前频率测量误差为0.0069%。迭代后，取允许测量误差为0.001%,程序迭代执行两次即可