完整版数列求和及综合应用

1、数列求和及综合应用解答题1.(2014湖北高考文科T19)已知等差数列时满足:ai=2，且以郃成等比数列.(1)求数列an的通项公式.记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n,使得$>60n+800?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由【解题指南】(1)由2,2+d,2+4d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列an的通项.(2)根据an的通项公式表示出an的前n项和公式Sn,令$>60n+800，解此不等式.【解析】(1)设数列an的公差为d,依题意，2,2+d,2+4d成等比数列，故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当

2、d=0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.当an=2时,Sn=2n.显然2n<60n+800,此时不存在正整数n,使得9>60n+800成立.r,n2(4n2)n2当an=4n-2时,$=-=2n.2令2n2>60n+800，即n2-30n-400>0,解得n>40或n<-10(舍去)，此时存在正整数n,使彳#&>60n+800成立,n的最小值为41.综上，当an=2时，不存在满足题意的n.当an=4n-2时，存在满足题意的n,其最小值为41.2. (2014湖北高考理

3、科T18)已知等差数列an满足：a1=2,且a1，a2,a3成等比数列.第1页共15页(1) 求数列an的通项公式.(2) 记Sn为数列an的前n项和，是否存在正整数n,使得Sn60n800?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由.【解题指南】(I)由2,2d,24d成等比数列可求得公差d,从而根据通项公式表示出数列an的通项；(n)根据a。的通项公式表示出a。的前n项和公式&,令Sn60n800,解此不等式。【解析】(1)设数列an的公差为d,依题意，d,2d,24d成等比数列，故有(2d)22(24d)化简得d24d0,解得d0或d4当d0时，an2当d4时，an2(n1)44n

4、2从而得数列an的通项公式为an2或an4n2。当an2时，Sn2n。显然2n60n800此时不存在正整数n,使得Sn60n800成立。当an4n2时，Snn2(4n2)22n2人22令2n60n800,即n30n4000,解得n40或n10(舍去)，此时存在正整数n,使得Sn60n800成立，n的最小值为41。综上，当an2时，不存在满足题意的n；当an4n2时，存在满足题意的n,其最小值为41。3. (2014湖南高考理科T20)(本小题满分13分)n已知数列an满足a1,|an1an|p,nN.(1)若an是递增数列，且a1，2a2,3a3成等差数列，求p的值；1(2)若p，且a2n1是

5、递增数列，a2n是递减数列，求数列An的通项公式.2【解题提示】(1)由an是递增数列，去掉绝对值，求出前三项，再利用an2a2,3a3成等差数列，得到关于p的方程即可；第2页共15页（2）a2n1是递增数列，a2n是递减数列，可以去掉绝对值，再利用叠加法求通项公式。【解析】（1）因为an是递增数列，所以an1anpn,2又a14所以数列an的通项公式为an3,a?p1,a3pp1,因为a1，2a2,3a3成等差数列，所以4a2a1_._2_23a3,4p413p3p3,3p解得1c,_p一,p0,当p0,an1an30,与am是递增数列矛盾,所以（2）因为a2n1是递增数列，所以a2n1a2

6、n1a2na2na2n10由于122na2n1a2na2na2n1由得a2na2n10,所以a2na2n2n11212n22n1因为a2n是递减数列，所以同理可得1a2na2n2n由得an1n12n，所以anala2a1a3a2anan1n312212132n124.（2014湖南高考文科T17）（本小题满分12分）已知数列an的前n项和Sn（1）求数列an的通项公式;设bn2an求数列bn的前2n项和.【解题提示】（1）利用an,Sn的关系求解,（2）分组求和。第3页共15页【解析】(1)当n1时，a1S11;当n2时，anSnSn122nn(n1)(n1)22故数列an的通项公式为annn

7、由(1)知，bn2n1n,记数列bn的前2n项和为T2n，则T2n(212222n)(12342n)记A212222n,B12342n,2n、则a2(12)22n12,12B(12)(34)(2n1)2nn故数列bn的前2n项和T2nAB22n1n2项和为S,且S5.(2014广东高考文科T19)(14分)设各项均为正数的数列an的前n满足Sn2-(n2+n-3)S1-3(n2+n)=0,nN.(1)求a1的值.(2)求数列an的通项公式.(3)证明:对一切正整数n,有+<-.ag1)a2(a21)an(41)3【解题提示】(1)可直接令n=1.(2)用n表示出S,利用an=S.-Sn-

8、1(n>2).(3)先对每一项进行放缩再裂项相消整理求和【解析】(1)令n=1,则S1=a1,G2-(12+1-3)S1-3(12+1)=0，即q2+a1-6=0,解得a1二2或a=-3(舍去).(2)Sn2-(n2+n-3)$-3(n2+n)=0可以整理为(Sn+3)S-(n2+n)=0,第4页共15页因为数列an中an>0,所以SW-3,只有s=n111+n.当n12时,an=S-Sn-i=n+n-(n-1)-(n-1)=2n,上-.一.一»t*而a1=2，所以数列an的通项公式为an=2n(nCN).(3)因为an(an1)2n(2n1)4n(n111'(n

9、-)(n1-)44-1所以一1a1(a1+1)a2(a2+1)1an(an1)11n-41二41<14n33故对一切正整数n,有+.+ai(a11)a2(a21)<1an(anD341_114分)N.若an为等比数列，且(2)设an1bnnN,记数列cn的前n项和为Sn6 .(2014浙江高考理科T19)(本题满分bn已知数列an和bn满足a1a2an22na12,b36b2.11)求an求Sn;求正整数使得对任意nN,均有SkSn第5页共15页aia2a3an(%2)"【解析】(1)由题总,b3b26知a3(&)b3b2(我)68n*、又由a12,得公比q2(q

10、2舍去)，所以数列an的通项an2(nN)n(n1)所以a1a2a3an22(蜴""所以数列H的通项bnn(n1)(nN)(2)由cn1)知111J1anbn2nnn1N*)S,所以n12n(n因为c10c2>0,c3>0,c4>0cn当5时,1n(n1)n(n1)12nn(n1)(n1)(n2)(n1)(n2)n(n1)二5(51)而2n2n12n1得2n25所以，当n15时，5<0综上，对任意nN*恒有故k4.17 .(如4.考理科-T到已知数列满足3an*gmN*,a,1.(1)若%2ax,%9,求x的取值范围;1一一一一.(2)若an是公比为

11、q等比数列，Sna1a2Lan,-SnSn13Sn,nN*,求q的3取值范围；(3)若a,a2,L,ak成等差数列，且aa?Lak1000,求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1,a2,L,ak的公差.【解题指南】11(11艮据-a2a33a2,-a3a43a4可求得x的氾围.(2)需对q分类讨论，右q1,33易得符合题意，若q1时，再通过放缩法解不等式组即得结论.(3).当k=1000,1一一2d=0是一组解，故kmax1000,根据1anan13an,可得d,然后根据阚32k12a2Lak1000,得到关于d的关系式，而d得到关于k的不等式，2k1解此不等式即得.【解析】第6页共

12、15页，、-12(1跖题息，-a2a33a2,-x6;33(2)由已知得,anqnx27;综上可得;36；当q1时，sn当1<q3时,Sn1n,马s3nqsi13sn,W-n33n,成立.Qqqn+11,3snsn13»,即qn+11q1n.3-q1n1一3,此不等式即31qqn13q1,故3qn1qn2=qn(3q-1)-2>2qn2对于不等式qn13qn+20,又当1q2时，q301得q23q0,解得1n1n.cq3q+21q2当1q1时,3qn(q3)2q(q3)2(q1)(q2)0成立此不等式即sn3qnqqnqn3q1，鼻snsn133、,即1qn+11q3q1

13、0,qn1n3qqn1n.cq3q+22(q1)(q2)02=qn(3q-1)-2<2qn2qn(q3)2q(q3)11 q1时，不等式恒成立3综上，q的取值范围为1q23设公差为d,显然，当k1000,d0时，是一组符合题意的解，故kmax1000则由已知得1+(；2)d1(k1)d3(1(k2)d)(2k1)d2(2k5)d22 2当k1000H,不等式即d-,d22k12k5第7页共15页d的取值范围为d2k1,k(k1)da1a2Lakk10002k1000时，d20002kk(k1)解得1000-999000k1000k1999k的最大值为1999,此时公差22k1.99900

14、0,20002k19981dk(k1)1999199819998 .(2014-江西高考文科T17)已知数列的前n项和Sn=,nN*.(1)求数列的通项公式.(2)证明：对任息的n>1,都有mN,使得a1,an,am成等比数列.【解题指南】利用an=Sn-Sn-1(n>2)解决.a1,an,am成等比数列，转化为二a1am.【解析】(1)当n=1时a1=S1二1;当n12时an=Sn-Sn-1=-=3n-2，对n=1也？两足,所以的通项公式为an=3n-2;(2)证明：由得a1二1,an=3n-2,am=3m-2,要使a1,an,am成等比数列，需要二a1am,所以(3n-2)2=

15、3m-2,整理得m=3n-4n+2N*,所以对任意n>1,都有mNJ使得=a1am成立，即a1,an,am成等比数列.19 (2014上海图考文科T23)已知数列aj满足anan13an,nN*,a11.、nnnnI11'*i3(2)若a22®x,a49,求x的取值范围；1，j(3)若an是等比数列，且am,求正整数m的最小值，以及m取最小值时相应1000an的公比；求数列a1,a2,La©的公差的取值范围.(3)若a1,a2,L,a©成等差数列,【解题指南】第8页共15页3al可把q的范围求出,(1心艮据n1n一,求数列bn的前n项和Tn.anan

16、1a2a33a2,1a3a43a4可求得x的范围.(2)根据1ala2333再根据通项将mfflq表示出来，用放缩法求解.(3).根据anan13an,可得公差d的关系式,3对n分类讨论可得.【解析】2-x6;31(1位题息，-a2a33a23p1又§a3a43a4,3x27;综上可得;3x6;(2)设公比为q,由已知得,an“1qn1,又为3a23七故am=qm1=,1000m110gq1000311logi00°q3lgqm勺最小值为8,故q7-10001,1000'3lg31)77.28设公差为d,由已知可得1+(n2)d其中2n100即(2n1)d(2n5)

17、d3107(n1)d3(1(n2)d),2得,-2d3n100寸,不等式即d22n5220012199综上，公差d的取值范围为2一,2.199已知等差数列(I)求数列an的通项公式;10.(2014山东高考理科T19)an的公差为2,前n项和为Sn,且S,S2,S4成等比数列.(H)令bn【解题指南】(1)先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列an的第9页共15页bn裂成两项之和，然后再分奇通项公式.（2）利用裂项求和法求解，注意本题是将数列数和偶数来求数列bn的前n项和.【解析】（I）d2$a1s2aid,S44ai6d,S,S2,S4成等比S2S1S4解得a11,an2n

18、1(II)bn(1)n1n-anan11)n12n-)1当n为偶数时，Tn（1所以Tn1,2n113)(2n35)(1157)1(2n312n1)1(2n112n1)当n为奇数时，Tn（1所以Tn2n12n111111)()()335572n22n1(12n3(.1所以Tn二n一,n为偶数2n1空二,n为奇数2n111.（2014山东高考文科T在等差数列an中，已知d2,19)a2是a与a4等比中项.（I）求数列an的通项公式;(H)设bnann1,记Tn。-2-b2banr、L1bn,求Tn.【解题指南】（1）先设出等差数列的首项.然后根据已知条件可列方程组求得数列an的通项公式.（2）分奇

19、数项和偶数项来讨论求数列的和【解析】：（I）由题意知：an为等差数列，设ana1n1d,a?为a1与a4的等比中项22a2a124且a10,即a1da1al3d,d2解得：a12an2（n1）22n第10页共15页（H）由（I）知:anbnan(n1)n(n1)当n为偶数时:Tn22211222344当Tn22222n为奇数时:112223442-n2n22343526261口22n22n2n22n1,n为偶数12. （2014江西图考理科T17）已知首项都是1的两个数列anbn（bnW0,nCN）,满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.令Cn=,求数列Cn的通项公式.若bn=3

20、n+1,求数列an的前n项和S.【解题指南】（1）将等式两端同时除以bnbn+1即可求解.（2）由（1）及bn=3n+1可得数列an的通项公式，分析通项公式的特征利用错位相减法求&【解析】（1）因为6*0,所以由anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,得-+2=0，即-=2,所以Cn+1-Cn=2,所以Cn是以C1=1为首项,2为公差的等差数列，第11页共15页所以cn=1+(n-1)X2=2n-1.(2)因为bn=3n+1,cn=2n-1.所以an=Cnbn=(2n-1)3.所以S=1X32+3X33+5X34+(2n-1)3n+1,3s=1X33+3X34+(2n-3)3n

21、+1+(2n-1)3n+2,作差得:-2Sn=32+2(33+34+3n+1)-(2n-1)3n+2=9+2X-(2n-1)3n+2=-18+2(n-1)3n+2,所以S=9+(n-1)3n+2.13. (2014安徽高考文科T18)数列an满足a11,nan1(n1闻n(n1),nN(1)证明：数列%是等差数列；n(2)设bn3n向，求数列bn的前n项和Sn【解题提示】利用等差数列的定义、错位相消法分别求解。【解析】(1)由已知可得"二冬+1?且生包=1,所以邑是以1为首项，1为公差n+1nn+1nn的等差数列。(2)由(1)得冬=1+(n-1)=n,所以an=n2,从而bn=n.

22、3n,nSn=1.31+2.32+3.33+.+n.3n3Sn=1.32+2.33+3.34+.+(n-1)3n+n.3n+11o2o3oncn+13.(1-3)nn+1(1-2n).3n+1-3将以上两式联乂可行-2Sn=3+3+3+.+3-n.3=-n.3=1-32c(2n-1).3n+1+3所以Sn=414. (2014新课标全国卷II高考理科数学T17)(本小题满分12分)已知数列an满足a1=1,an+1=3an+1.第12页共15页1(1)证明an一一=1,当n>1时,a1是等比数列，并求an的通项公式2(2)证明：1+±+-+±<3aia2an2【

23、解题提示】1,(1)将an+1=3an+1进仃配凑，得an+l+-与1an+2的关系图",然后求得an的通项公式(2)求得的通项公式，然后证得不等式.an【解析】(1)因为a1=1,an+1=3an+1,nCN*.所以an+1+=3an+1+=3an222所以an1是首项为a1+1=g,公比为3的等比数列222一13n-3n1所以an+1=3，所以an=3yJ1_2<1an3n1<3n1-1所以-+a1工+工a?an<1+1+132+13<一.3n2所以，-+,+-<.N.aa2an215.2014四川高考理科T19)设等差数列an的公差为d,点(an,

24、bn)在函数f(x)2x的图象上(nN*)(1)若a12,点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，求数列an的前n项和1(2)右a11,函数f(x)的图象在点(azb)处的切线在x轴上的截距为2，求数列的前nIn2项和Tn.【解题提示】本题主要考查等差数列与等比数列的概念，等差数列与等比数列的通项公第13页共15页式和前n项和、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力【解析】(1)点(an,bn)在函数f(x)2x的图象上,为d,所以bn2an,又等差数列an的公差所以也bn2an10an1a/a-22n因为点(a8,4b7)在函数f(x)的图象上，所以4b72a8b8,所以2db84b7又a1na13d2nn22(2)函数由f(x)2xf(x)2xln2f(x)的图象在点(a2,b2)处的切线方程为所以切线在x轴上的截距为从而anTn1-Tn212122所以Tn2故Tn22-3L222323一一L2211122223n22n.anbnn2n212416.(2014四川高考文科.a2,从而ln2n2n1n2n2门1T19)设等差数列a2b21ln2(2aln2)(xa?)1转，故a2In212nn2n112n1an的公差为d,点(an,bn)