奥数：1质数合数分解质因数-题库

1、5-5质数合数分解质因数飞削脆值教学目标本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。日W蚱知识点拨1 .质数与合数一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数（也叫做素数）,一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数要特别记住：0和1不是质数

2、，也不是合数.常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5,其余的质数个位数字只能是1,3,7或9.考点：值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点.除了2和5,其余质数个位数字只能是1,3,7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2 .质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做

3、分解质因数例如：30=2X3X5.其中2、3、5叫做30的质因数.又如12=2父2父3=22父3,2、3者B叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征3 .唯一分解定理任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：n=p：1Mp；2MPa3p；k其中为质数，司（a?cHIIH<ak为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210,求这三个数.分析：210=2X3X5X7,可知这三个数是5、6和7.4

4、.部分特殊数的分解111=3父37；1001=7父11父13；11111=41271；10001=73137；1995=3父5M7M19；1998=2x3x3m3m37；2007=3m3M223；2008=2x2x2x251；10101=3x7x13x37.5 .判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q（均为整数），使得q能够整除p,那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p,我们可以先找一个大于且接近p的平方数K2,再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p,如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近1

5、44=12x12,根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数.日用昨例题精讲模块一、质数合数的基本概念的应用【例1】下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌.请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为156号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话.【解析】按要求编号排序，并画出质数号码：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；1234567891011121314杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多

6、；1516171819202122232425262728九天九霄志凌云，九七共庆手相握；2930313233343536373839404142聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌.4344454647484950515253545556将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山.【巩固】（2008年南京市青少年“科学小博士”思维训练）炎黄骄子菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励40岁以下的数学家.华人数学家丘成桐、陶哲轩分别于1982年、2006年荣获此奖.我们知道正整数中有无穷多个质数（素数），陶哲轩等证明了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数k,存在无穷多

7、组含有k个等间隔质数（素数）的数组.例如，k=3时，3,5,7是间隔为2的3个质数；5,11,17是间隔为6的3个质数：而,是间隔为12的3个质数（由小到大排列，只写一组3个质数即可）.【解析】最小的质数从2开始，现要求每两个质数间隔12,所以2不能在所要求的数组中.而且由于个位是5的质数只有一个5,所以个位是3的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表：第一个质数第二个质数第三个罚数满足要求打/51739Z7193171729411?3143294153374961475971Ti.i.>【巩固】（2003年“祖冲之杯”邀请赛）大约1500年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出支的

8、值在3.1415926和3.1415927之间，成为世界上第一个把式的值精确到7位小数的人.现代人利用计算机已经将支的值计算到了小数点后515亿位以上.这些数排列既无序又无规律.但是细心的同学发现：由左起的第一位3是质数，31也是质数，但314不是质数，那么在3141,31415,314159,3141592,31415926,31415927中,哪些是质数？.【解析】注意到3141,31415,3141592,31415926,31415927依次能被3,5,2,2,31整除，所以，质数是314159.【巩固】（2004年全国小学奥林匹克）自然数N是一个两位数，它是一个质数，而且N的个位数字

9、与十位数字都是质数，这样的自然数有多少个？【解析】这样的自然数有4个：23,37,53,73.【例2】两个质数之和为39,求这两个质数的乘积是多少.【解析】因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是2,另一个是37,乘积为74.我们要善于抓住此类题的突破口。【巩固】如果a,b均为质数，且3a+7b=41,则a+b=.【解析】根据题意a,b中必然有一个偶质数2,当a=2时，b=5,当b=2时不符合题意，所以ab=25=7.【巩固】A,B,C为3个小于20的质数，A+B+C=30,求这三个质数.【解析】因为三个质数之和为偶数，所以这三个质数必为两奇一偶，其中偶数只能是2,另两个奇质数之

10、和为28,又因为这三个数都要小于20,所以只能为11和17,所以这三个质数分别是2,11,17.【巩固】已知3个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这3个质数的乘积是多少？【解析】最小的合数是4,其平方为16.我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有2,那么其余2个的和是14,只能一个是3一个是11,因此这3个质数的乘积是2x3x11=66.【巩固】小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数.同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为abba,其中a#b,而且ab和ba都是质数（a和b是两个数字）.具有这种形式的数共有多少个？【巩固】若两位数而、口均为质数，则a

11、、b均为奇数且不为5,故有1331,3113,1771,7117,7337,3773,9779,7997共8个数.【例3】（“祖冲之杯”小学数学邀请赛）九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘32人的大巴前去参观兵马俑.如果打算每辆车坐22个人，就会有1个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴.那么有多少个老人？原有多少辆大巴？【解析】仍按每车坐22人计算，少开一辆车将有23人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23是质数，所以余下23辆车，原有24辆车，原有老人22父23+23=232=529（个）.【巩固】（俄罗斯数学奥林匹克）万尼亚想了一个三位质数，各位数字都

12、不相同.如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【解析】因为是质数所以个位数不可能为偶数0,2,4,6,8也不可能是奇数5.如果末位数字是3或9,那么数字和就将是3或9的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了.所以个位数只能是7.这个三位质数可以是167,257,347,527或617中间的任一个.【巩固】（第五届“华杯赛”口试第15题）图中圆圈内依次写出了前25个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相邻二质数之积填在下行方格中.甲填和数质数列乙填积数23713535615问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同？为什么？【解析】质数中只有一个偶数2,其余的质数均为奇数

13、.所以甲填的“和数”中除第一个是奇数5外，其余的均为不小于8的偶数.乙填的“积数”中除第一个是偶数6外，其余所填的全是不小于15的奇数.所以甲填的数与乙填的数都不相同.【巩固】（全国小学数学奥林匹克）从19中选出8个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数.排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【解析】由于质数除了2以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列.切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选9,第二位选8,第三位最大可以选7,但7与8之和不是质数，再改选5

14、,8与5之和是质数，符合要求.第四位可选剩余的最大数字6,如此类推十位可选3,个位选2.所以，可以读到的最大数是98567432.数字排列如下图.【巩固】（保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）用L表示所有被3除余1的全体正整数.如果L中的数（1不算）除1及它本身以外，不能被L的任何数整除，称此数为“L质数”.问：第8个“L质数”是什么？【解析】“L数”为1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,."L质数”应为上列数中去掉1,16,28,，即为4,7,10,13,19,22,25,31,34,.所以，第8个“L质数”是31.【例4】9个连续的自然数，每个数都大于8

15、0,那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组【解析】我们知道任意连续9个自然数中最多有4个质数，本题考察对100以外的质数的熟练情况，有101,103,107,109是4个质数。【巩固】（我爱数学少年数学夏令营）用0,1,2,，9这10个数字组成6个质数，每个数字至多用1次，每个质数都不大于500,那么共有多少种不同的组成6个质数的方法.请将所有方法都列出来.【解析】除了2以外，质数都是奇数，因为09中只有5个奇数，所以如果想组成6个质数，则其中一定有2.又尾数为5的数中只有5是质数，所以5只能单独作为6个质数中的一个数.另4个质数分另1J以1,3,7,9为个位数，从而列举如下：2,3,5

16、,7,41,89,2,3,5,7,61,89,2,3,5,7,89,401,2,3,5,7,89,461,2,3,5,7,61,409,2,3,5,47,61,89,2,3,5,41,67,89,2,3,5,67,89,401,2,5,7,43,61,89,2,5,7,61,83,409.即共有10种不同的方法.【巩固】从小到大写出5个质数，使后面数都比前面的数大12.这样的数有几组？【解析】考虑到质数中除了2以外其余都是奇数，因此这5个质数中不可能有2;又质数中除了2和5,其余质数的个位数字只能是1、3、7、9.若这5个质数中最小的数其个位数字为1,则比它大24的数个位即为5,不可能是质数；

17、若最小的数其个位数字为3,则比它大12的数个位即为5,也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是7和9,因此最小的数只能是5,这5个数依次是5,17,29,41,53.这样的数只有一组.【例5】用1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次,那么这9个数字最多能组成多少个质数.【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9这5个不是质数的数字未用.有1、4、8、9可以组成质数41、89,而6可以与7组合成质数67.所以这9个数字最多可以组成6个质数。【巩固】有三张卡片，它们上面各

18、写着数字1,2,3,从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来【解析】抽一张卡片，可写出一位数1,2,3;抽两张卡片，可写出两位数12,13,21,23,31,32;抽三张卡片，可写出三位数123,132,213,231,312,321,其中三位数的数字和均为6,都能被3整除，所以都是合数.这些数中，是质数的有：2,3,13,23,31.【巩固】某质数加6或减6得到的数仍是质数，在50以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来.【解析】有六个这样的数，分别是11,13,17,23,37,47.【例6】7个连续质数从大到小排列是a、

19、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？【解析】因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2,因此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的，所以g=2.其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样d=7.【巩固】从20以内的质数中选出6个，然后把这6个数分别写在正方体木块的6个面上，并且使得相对两个面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的值？【解析】小于20的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,其中5+19=7+17=11+13.每

20、个木块掷在地上后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是5+5+5=15,最大是19<9+19=57，经试验，三个数的和可以是从15到57的所有奇数，所有可能的不同值共有22个。【巩固】将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？A=()+()=()+()=()+()=()+()【解析】首先列出前几个合数4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想A尽量小，这两个数也不能都同时为奇数，因为奇合数比较少，找出8个来必然很大。所以应该是一奇一偶，经试

21、验得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29,即A的最小值为29。大部分的题考的都是质数，此题考合数，重在强化合数以及互质的概念。【巩固】4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油.每瓶和其他各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8,9,10,11,12,13.已知4只空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，求最重的两瓶内有多少油？【解析】由于每只瓶都称了三次，因此记录数据之和是4瓶油(连瓶)重量之和的3倍，即4瓶油(连瓶)共重(8+9+10+11+12+13)为=21(千克)而油重之和及瓶重之和均为质数，所以它们必为一奇一偶，由于2是唯一的偶质数，只有两种可能：油重之和为19千克，瓶重之和为

22、2千克，每只11瓶重一千克，最重的两瓶内的油为13-父2=12(千克).油重之和为2千克，瓶重之和为19千2219197克，每只瓶重19千克，最重的两瓶内的油为13-生父2=(千克)，这与油重之和2千克矛盾.因442此最重的两瓶内共有12千克油。【例7】将60拆成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是多少【解析】最大的质数必大于5,否则10个质数之和将不大于50,又60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8个7与2个2的和为60,故其中最大的质数是7.【巩固】将50分拆成10个质数的和，要求其中最大的质数尽可能大，则这个最大的质数是多少？【解析】若要求最大的质数尽可

23、能大，则其余9个质数应尽可能小，最佳的方案是9个2。但是此时剩余的数为32,不是质数，所以退而求其次，另其余9个数为8个2,1个3,那么第10个数为31【巩固】将37拆成若干个不同的质数之和，有多少种不同的拆法？将每一种拆法中拆出的那些质数相乘，得到的乘积中，哪个最小？【解析】枚举法：有些学生会问，老师：什么时候用枚举法？1 .数不大，种类比较少2 .没有规律，不能用排列组合等方法3 .能有方法做的时候建议不采用枚举的方法37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+197+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+

24、17共有10种不同的拆法，其中3X5X29=435最小【巩固】如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是几？【解析】首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到智康数与其他自然数的“分界线”。我们知道最小的三个不同合数是4,6,8,它们的和是18,则比18小的数一定都不是智康数，而比18大的数中，我们可以分为与18的差是“奇数”或者是“偶数”。如果与18的差是偶数，那么这类自然数一定不是智康数，可以写作4+6+(8+2n),如果与18的差是一个奇数，那么可以写作4+(6+2n)+(8+1)也不是一个智康数，所以最大的智康数为17。模块

25、二、分解质因数【例8两个连续奇数的乘积是111555,这两个奇数之和是多少？【解析】111555分解质因数：111555=3x3x5x37父67=(3x3x37)父(5x67)=333x335,所以和为668.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的111=3x37。【巩固】三个连续自然数的乘积是210,求这三个数是多少？【解析】210分解质因数：210=2父3父5父7,可知这三个数是5、6和7。【巩固】把26,33,34,35,63,85,91,143分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是1,那么至少要分几组.【解析】要保证每组中的任意2个数均互质，需要每

26、组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以对以上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分3组.【巩固】把40,44,45,63,65,78,99,105这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。【解析】40=235,44=2211,45=532,63=732,65=513,78=2313,99=3211,105=3父5M7,要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数2,第一组含有40,第二组含有44,78,再看11,13,第一组应有40,99,65,再看5第二组应有44,78,45,105,最后看7,第一组应有40,99,65,63.【例9】4个一位数的乘积是360,并且其

27、中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？【解析】将360分解质因数得360=2黑2父2黑3父3父5,它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为6-3=3个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3,3,5,8,所组成的最大四位数是8533.【巩固】将19九个自然数分成三组，每组三个数.第一组三个数的乘积是48,第二组三个数的乘积是45,第三组三个数字之和最大是多少？【解析】分解质因数45=3父3M5,48=2父2M2M2M3,可知45只能是1,5,9的乘积，而48可能是2,4,6或2,3,8或1,6,8(舍去)

28、，则第三组的三个数可能是3,7,8或4,6,7,其中和最大的是378=18.【例10】在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？【解析】如下图，设长、宽、高依次为a、b、c,有正面和上面的和为ac+ab=209.ac+ab=ax（c+b）=209,而209=11X19.2,则c+b=2+17;当a=11时，c+b=19,当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数当a=19时，c+b=11,则c+b=2+9,b为9不是质数，所以不满足题意.所以它们的乘积为11X2X17=374.【巩固】【解析】【巩固】【解析】【例11【解

29、析】【巩固】【解析】一个长方体的长、宽、高是连续的3个自然数，它的体积是39270立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？39270=2X3X5X7X11X17,为三个连续自然数的乘积，而34X34X34最接近39270,39270的约数中接近或等于34的有35、34、33,有33X34X35=39270.所以33、34、35为满足题意的长、宽、高.则长方体的表面积为：2X（长X宽+宽X高+高X长）=2X（33X34+34X35+35X33）=6934（平方厘米）.方法二：39270=2X3X5X7X11X17,为三个连续自然数的乘积，考虑质因数17,如果17作为长、宽或高显然不满足.

30、当17与2结合即34作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数7,与34接近的数3236中，只有35含有7,于是7与5的乘积作为长方体的一条边的长度.而39270的质因数中只剩下了3和11,所以这个长方体的大小为33X34X35.长方体的表面积为2X（39纱+婴卫+婴72）=2X（1190+1155+1122）=2X3467=6934（平方厘米）.333435一个长方体的长、宽、高都是整数厘米，它的体积是1998立方厘米，那么它的长、宽、高的和的最小可能值是多少厘米？我们知道任意个已确定个数的数的乘积一定时，它们相互越接近，和越小.如3个数的积为18,则三个数为2、3、3时和最小，为8.

31、1998=2X3X3X3X37,37是质数，不能再分解，所以2X3X3X3对应的两个数应越接近越好.有2X3X3X3=6X9时，即1998=6x9X37时，这三个自然数最接近.它们的和为6+9+37=52（厘米）.（老师可以先引入：小明一家四兄弟，大哥叫大毛，二哥叫二毛，三哥叫三毛，那老四叫什么？）大毛、二毛、三毛、小明四个人，他们的年龄一个比一个大2岁，他们四个人年龄的乘积是48384。问他们四个人的年龄各是几岁？题中告诉我们，48384是四个人年龄的乘积，只要我们把48384分解质因数，再按照每组相差2来分成四个数相乘，这四个数就是四个人的年龄了。48384=28父33乂7=（22乂3）父

32、（2黑7）父24父（2父32）=12父14乂16父18，由此得出这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。由题意可知，这四个数是相差2的四个整数。它们的积是偶数，当然这四个数不是奇数，一定是偶数。又因为48384的个位数字不是0,显然这四个数中，没有个位数字是0的，那么这四个数的个位数字一定是2、4、6、8。又因为104<48384，而蝴D<4,所以可以断定，这四个数一定是12、14、16、18。也就是说，这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。答：这四个人的年龄分别是12岁、14岁、16岁、18岁。甲乙两人的年龄和为一个质数，这个数的个位与十位数字的和是13

33、,甲比乙大13岁，那么乙今年多大？个位与十位数字之和为13,那么这样的质数在两位数中只有67,三位数中为167,再继续则不符合常理，所以甲乙年龄有可能分别为40,27岁，或者90,77岁，所以乙的年龄可能为27岁或77岁。【例12】甲数比乙数大5,乙数比丙数大5,三个数的乘积是6384,求这三个数？【解析】将6384分解质因数，6384=2父2父2父2父3M7M19,则其中必有一个数是19或19的倍数；经试算,195=14=2x7,19+5=24=2x2x2x3,恰好14x19x24=6384,所以这三个数即为14,19,24.一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里19

34、不符合要求，下一个该考虑38,再下一个该考虑57,依此类推.【巩固】如果两数的和是64,两数的积可以整除4875,那么这两个数的差等于多少？【解析】4875=3X5X5X5X13,有aXb为4875的约数，且这两个数的和为64.发现39=3X13、25=5X5这两个数的和为64,所以39、25为满足题意的两个数.那么它们的差为39-25=14。【巩固】四个连续自然数的乘积是3024,这四个自然数中最大的一个是多少？【解析】分解质因数3024=24父3377,考虑其中最大的质因数7,说明这四个自然数中必定有一个是7的倍数.若为7,因3024不含有质因数5,那么这四个自然数可能是6、7、8、9或7

35、、8、9、10（10仍含有5,不行），经检验6、7、8、9恰符合.【巩固】2004M7M20的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？【解析】首先分解质因数，2004x7x20=2x2x2x2x3x5x7x167,其中最大的质因数是167,所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数.165=3父5父1,166=2x83,168=2父2M2M3M7,169=13M13,所以165M166M167,166M167M168,167M168M169都没有4个2,不满足题意.说明167不可行.尝试334=167m2,335=5x67,336=2x2x2x2x3x

36、7,334M335M336=2M2M2M2M2M3M5M7M67M167,包括了2004M7父20中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005.【巩固】三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数.【解析】设这三个质数分别是a、b、c,满足abc=11（a+b+c）,则可知a、b、c中必有一个为11,不妨记为a,那么bc=11+b+c,整理得（b1）（c1）=12,又21金26怒4M，对应的b=2、c=13b=3>c=7或b=4、c=5（舍去），所以这三个质数可能是2,11,13或3,7,11.【巩固】三个质数的乘积恰好等于它们的和的7倍，求这三个质数.【解析】设这

37、三个质数分别是a、b、c,满足abc=7（a+b+c）,则可知a、b、c中必有一个为7,不妨记为a,那么bc=7+b+c,整理得（b1）（c1）=8,又8=1父8=2父4,对应的b=2、c=9（舍去）或b=3、c=5,所以这三个质数可能是3,5,7【例13】3个质数的倒数之和是,则这3个质数之和为多少.1986【解析】设这3个质数从小到大为a、b、c,它们的倒数分别为2、1、计算它们的和时需通分，abc且通分后的分母为axbxc,求和得到的分数为E,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的abc分母为a、b、c或它们之间的积.现在和为1661,分母1986=2父3父331,所以一定是a=2,b=

38、3,1986c=331,检验满足.所以这3个质数的和为2+3+331=336.【巩固】有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是140.如果把所有这样的分数从小到大排列，那么第三个分数是多少？【解析】有140=2X2X5X7,要保证分数最简即要让分子与分母是互质的，那么两个质因数2必须同时位于分子或者同时位于分母的位置上。这样由小到大的最简分数依次是.1122571402245_5_77,57352272822520倒数第三小的是528个分数，分母是901,分子是一个质数.现在有下面两种方法：分子和分母各加一个相同的一位数；分子和分母各减一个相同的一位数.用其中一种方法组成一个新分数，新分数

39、约分后是工.那么原来分数的分子是多少.13【解析】因为新分数约分后分母是13,而原分母为901,由于901+13=69山口4,所以分母是加上9或者减去4.若是前者则原来分数分子为7M70_9=481，但481=13x37,不是质数；若是后者则原来分数分子是6977+4=487,而487是质数.所以原来分数分子为487.【例14在做一道两位数乘以两位数的乘法题时，小马虎把一乘数中的数字5看成8,由此得乘积为1872.那么原来的乘积是多少？【解析】1872=2X2X2X2X3X3X13=口口X口口，其中某个口为8,验证只有：1872=48X39,1872=78X24满足.当为1872=48X39时

40、，小马虎错把5看成8,也就是错把45看成48,所以正确的乘积应该是45X39=1755.当为1872=78X24时，小马虎错把5看成8,也就是错把75看成78,所以正确的乘积应该是75X24=1800.所以原来的积为1755或1800.【巩固】某校师生为贫困地区捐款1995元.这个学校共有35名教师，14个教学班.各班学生人数相同且多于30人不超过45人.如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元？【解析】这个学校最少有35+14X30=455名师生，最多有35+14X45=665名师生，并且师生总人数能整除1995.1995=3X5X133,在455665之间的约数只有5X133=

41、665,所以师生总数为665人，则平均每人捐款1995+665=3元.【例15】在射箭运动中，每射一箭得到的环数或者是“0”（脱靶），或者是不超过10的自然数.甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764,但是甲的总环数比乙少4环.求甲、乙的总环数各是多少？【解析】应对应为5个小于10的自然数乘积.通常我们会考虑将1764的6个质因数组合为5个因数，从而这5个因数一定都是大于1的，于是得到了如下几种分解情况1764=4X3X3X7X7=2X6X3X7X7=2X2X9X7X7但是发现其中任何两组的和的差均不是4.原因是我们忽略了在题目叙述实际环境中还会有1环存在，从而要考虑含有

42、因数1的另外2种情况1784=1X6X6X7X7=1X4X9X7X7.所以总的情况对应的和依次为4+3+3+7+7=24,2+6+3+7+7=25,2+2+9+7+7=27,1+6+6+7+7=27,1+4+9+7+7=28.对应的和中只有24,28相差4,所以甲的5箭环数为4、3、3、7、7,乙的5箭环数为1、4、9、7、7.所以甲的总环数为24,乙的总环数为28。【巩固】已知5个人都属牛，它们年龄的乘积是589225,那么他们年龄的和为多少？【解析】基本思路与上题一样，重点还是在“1”这个因数的使用上，所以分解因数得到589225=1父13M25M37M49,五个人的年龄和为125岁。模块

43、三、质数合数综合型题目【例16】P是质数，P+10,P+14,P+102都是质数.求P是多少？【解析】由题意知P是一个奇数，因为10+3=3川1,143=41112,所以P是3的倍数，所以P=3【巩固】已知P是质数，P2+1也是质数，求P5+1997是多少？【解析】P是质数，P2必定是合数，而且大于1.又由于P2+1是质数，P2大于1,P2+1一定是奇质数，则P2一定是偶数.所以P必定是偶质数，即P=2.P5+1997=25+1997=32+1997=2029【例17】有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示方法至少有13种。那么所有这样的自然数中

44、最小的一个是多少.【解析】根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有13种表示成一个质数与一个合数和的形式，说明这个自然数一定比从2开始的第13个质数要大。从2开始数的13个质数分别是：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41。那么这个数一定要比41大，为了满足这个自然数能够分别写成上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从3开始的质数的差只要都是一个大于2的偶数即可满足条件。【巩固】如果一些不同质数的平均数是21,那么这些质数中最大的一个可能是多少？【解析】如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在满足平均数

45、为21的条件下数量尽可能多，且比21大的质数只能有一个。21以下的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,则说明这些质数最多可能有8+1=9个，则大于21的那个数为21+19+18+16+14+10+8+4+2=112,但112不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了21以外的奇数19,使得结果为偶数，说明在原来的一组质数中不能有2,否则无法使得比21大的数是质数。去掉2再次求和为112-19=93,仍然不是质数，则可以做微调93-4=89,即在原来的一组质数中再去掉一个17即可，这组数为3,5,7,11,13,19,89,最大的一个是89。【巩固】求1-100中不能表示成两个合数

46、的乘积再加一个合数的最大数是多少？【解析】考虑最小的合数是4,先把表示方法简化为4M合数十合数而合数最简单的表现形式就是大于等于4的偶数因此该表示方法进一步表示为4x(2xn)+合数即8n十合数(其中n>1即可)当该数被8整除时，该数可表示为4x(2n)+8,n>1,所以大于等于24的8的倍数都可表示当该数被8除余1时，该数可表示为4x(2n)+9,n>1,所以大于等于25的被8除余1都可表示当该数被8除余2时，该数可表示为4x(2n)+10,n>1,所以大于等于26的被8除余2的都可表示当该数被8除余3时，该数可表示为4x(2n)+27,n>1,所以大于等于43

47、的被8除余3的都可表示当该数被8除余4时，该数可表示为4x(2n)+4,所以大于等于20的被8除余4的都可表示当该数被8除余5时，该数可表示为4x(2n)+21,所以大于等于37的被8除余5的都可表示当该数被8除余6时，该数可表示为4x(2n)+6,所以大于等于22的被8除余6的都可表示当该数被8除余7时，该数可表示为4x(2n)十15,所以大于等于31的被8除余7的都可表示综上所述，不能表示的最大的数是43-8=35经检验，35的确无论如何也不能表示成合数X合数+合数的形式，因此我们所求的最大的数就是35【例18】已知P,Q都是质数，并且PX11-Qx93=2003,则PxQ=【解析】本题充

48、分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有2个未知数，但是都是质数，从结果上看2003是一个奇数，那么前面2个乘积必须为1个奇数1个偶数，那么P和Q中必须有一个是2才可以。由大小关系可以发现只能Q是2,解出P=199,PXQ=398【巩固】将1到9这9个数字在算式-的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立,并且要求所填每一个括号内数字均为质数？2,3,5,7.将原始代入字母分析有本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是bdcb-ad1即有cb-ad=1,那么很容易发现只有3X5-2x7=1。符合原式的填法为=acacac32175-35【巩固】三个质数、口、如果口>

49、;>1,+口=。，那么是多少？【解析】除了2以外的质数都是奇数，这样的两个奇数相加必然得偶数不成立，所以、口必有一个偶质数2,又因为口>>1,所以=2【例19】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、33、44、55、66、77、88、99共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33=1+32=2+31=3+30=|*|=16+17,共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可以从乘

50、积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999,每个数都是111的倍数，而111=37x3,因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是37或37的倍数，但只能是37的2彳H（想想为什么？）3倍就不是两位数了.把九个三位数分解：111373、222=376=743、333-379、444=3712=746、555=3715、666=3718=749、777=3721、888=3724=7412、999=3727.把两个因数相加，只有（74+3）=77和（37+18）=55的两位数字相同.所以满足题意的答案

51、是74和3,37和18.【巩固】两个学生抄写同一个乘法算式，两个乘数都是两位数，他们各抄错了一个数字，于是得到两个不同的算式，但巧合的是，他们计算的结果都是936.如果正确的乘积不能被6整除，那么它等于多少？【解析】注意936中有质因数13,故易见将其分解成两个两位数相乘的形式有13x72,26x36,39x24,52M18,78M12这5种可能，由于两人各抄错了一个数字，因此两人的算式中应有两个位置上的数字相同.经枚举可知，他们所抄错的算式可能是（13父72,18M52）,（13父72,12父78）,（26父36,24M39）或（52M18,12M78）.对于第一种情况，两人抄错的是第一个乘

52、数的个位数字和第二个乘数的十位数字，正确的算式应是13x52或18x72,后者乘积是6的倍数，与题意不符，故原算式应为前者，正确的乘法算式是13x52=676.对后三种情况作类似分析，可得出2x3=6种可能的原乘法算式，但它们的结果都是6的倍数，不合题意.因此676即为所求.【例20】如果某整数同时具备如下三条性质：这个数与1的差是质数，这个数除以2所得的商也是质数，这个数除以9所得的余数是5,那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数【解析】由条件可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数p的两倍，即此幸运数为2p,则p的所有可能取值为5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47。于是2