奥赛专题6空间向量简单几何体

1、专题六空间向量简单几何体一能力培养1,空间想象能力二问题探讨2,数形结合思想3,转化能力4,运算能力问题1(如图)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1clD1中,DAB(6)求证:平面ABC1_L平面A1BD;(8)求二面角A1BCD1的大小.求异面直线AB与BC所成的角的大小(2)求异面直线AB与B1C之间的距离；(3)求直线AB与平面B1CD所成的角的大小(4)求证:平面ABD/平面CB1D1；(5)求证:直线AC1_L平面A1BD;(7)求点A1到平面CB1D1的距离；问题2已知斜三棱柱ABCDAB1c1D1的侧面A1ACC1AC与底面垂直，.ABC=90O,BC=2,AC2.3,且AA

2、1_AC,aa=a1c.(1)求侧棱AA和底面ABC所成的角的大小；(2)求侧面AiABBi和底面ABC所成二面角的大小(3)求顶点C到侧面AiABBi的距离.习题探讨选择题.若将碳原子和氢原子均视为一a，则以四个氢原子为顶点1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成，其空间构型为一正四面体，碳原子位于该正四面体的中心，四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上个点（体积忽他不计，且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为的这个正四面体的体积为83A,-a8.33B,-27a13C,3a83D,-a2夹在两个平行平面之间的球，圆柱，圆锥在这两个平面上的射影都是圆，则它们的体积之比为A,3:2:1B,2:3

3、:1C,3:6:2D,6:8:33设二面角aaP的大小是60O,P是二面角内的一点,P点至U口，P的距离分别为1cm,2cm,则点P到棱a的距离是a，-cmB且cm3C,cm3D,二m34如图，E,F分别是正三棱锥A-BCD的棱AB,BC的中点，且DE_LEF.若BC=a，则此正三棱锥的体积是3a,2423B,24a.23C,a”.；33D，石a5棱长为的正八面体的外接球的体积是nA,64,3B,二278x2C,二3D,二3填空题6若线段AB的两端点到平面的距离都等于的位置关系是.2,则线段AB所在的直线和平面7若异面直线a,b所原角为600,AB是公垂线，E,F分别是异面直线a,b上到A,B

4、距离为2和平共处的两点，当EF=3时，线段AB的长为8如图,在直四棱柱A1B1C1D1-ABCD中,当底面四边形ABCD满足条件时，有AiC1BiDi（注:填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形）BB图C9如图(2)，是一个正方体的展开图AB与EF所连直线平行；，在原正方体中，有下列命题：AB与CD所在直线异面；MN与BF所在直线成600;MN与CD所在直线互相垂直.其中正确命题的序号为.(将所有正确的都写出)解答题10如图，在AABC中,AB=AC=13,BC=10,DE/BC分别交AB,AC于D,E.将AADE沿DE折起来使得A到Ai,且AiDEB为60的二面角，求A到直线B

5、C的最小距离.11如图，已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a(aA0),PA，平面ABCD,且PA=1.(1)问BC边上是否存在点Q使得PQ1QD?并说明理由；(2)若边上有且只有一个点Q,使得PQ_LQD,求这时二面角Q-PD-A的正切.参考答案：问题1(1)解:如图，以D为原点建立空间直角坐标系，有A(1,0,1),B(1,1,0),B(1,1,1),C(0,1,0)得混=(。,1,-1),E=(-1,0,-1)，设高与配所成的角为q，则cosa=1L=工，又00-a1800彳导a=600庆回步回J2,02所以异面直线A1B与B1c所成的角的大小为60.(2)设点M在A1B上，点N在RC

6、上，且MN是A1B与B1c的公垂线，令M(1,m,1-m),N(n,1,n)，则mN=(n-1,1-m,m+n-1),ABMN=0由B1cMN=0g,Sim+i0，解得mJ,n二所以mN111=，3331173-,-),#MN=-一，3，即异面直线AB与B1C之间的距离为叵3(3)解:设平面B1CD的法向量为n1(x,y,z,),而DC=(0,1,0)，由nJ有(x”)1,0)(x,y,z,)(-1,0,-1)=0x-z，得y=0是n1=(-1,0,1),设n1与A：B所成的角为b,则cos一:空n1ABn1(0,1,-1)(-1,0,1).2.2=-1，又00I；1800，有-=1200.2

7、(-1,0-1)(n-1,1-m,mn-1)=033所以直线AB与平面BCD所成的角为600.(4)证明：由AB/CD1,CD1仁平面CB1D1，得AB/平面CB1D1,又BD/B1D1,B1D1u平面CB1D1，得BD平面CB1D1,而ABllBD=B,于是平面ABD/平面CB1D1.(5)证明:A(1,0,0),C1(0,1,1),AC1=(-1,1,1),DB=(1,1,0),有ACAB=(1,1,1)(0,1,1)=0及AGDB=(-1,1,1)(1,1,0)=0，得忘A1b,Ac1-DB,A1BriBD=B,于是直线AC1_L平面A1BD.(6)证明：由(5)知ACi_L平面AiBD

8、,而ACi仁平面ABC3得平面ABCi_L平面ABD.(7)解:可得BiC=CDi=DiBi=V2，有Scdi=i(.ri-,i.i.r由Va,&cd=Vcabq府SbCdh=-(ii)i，即3.232所以点A1到平面CBiDi的距离为(8)解:由(3)得平面BiCD的法向量为ni=(1,0,1)，它即为平面AiBiC的法向量.设平面BiCDi的法向量为n2=(x,y,z,)，则n2_LBiC,q_LBiDi事(x,y,z,)(-i,0,-i)=0rrrJ(x,y,z,)(-i,-i,0)=0又BiDi=(0,0,i)-(i,i,i)=(-i,-i,0)，得叶一一x,所以旨=(i,i,i)z=

9、-x设口与%所成的角为L则cos=(-i,0,i)/i,-i,-i),6所以二面角ABCD-41大小为arccos3问题2解:建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知A(272,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0).又由面AiACCi_L面ABC,且AA=AC,知点Ai(V2,i,73)，窃=(V2,i,/3),平面ABC的法向量n=(0,0,i).cos：AAi,n二AaJ,n=45。试n=(-.2,i,.3)0,0,i)AAi|i.(-、.2)2i2(-3)2于是，侧棱AA和底面ABC所成的角的大小是450.(2)AB=(-272,0,0),设面AiABBi的法向量R=(x,y,z,

10、)，则由niAAi=(x,y,乙)(-、2,i,、3)-、2xy、.3z-0n1AB=(x,y,z,)(22,0,0)=.2、.2x=0得x=0,y=J5z.于是，n1=(0,_J3,1),又平面ABC的法向量n=(0,0,1)，得cos：n1,n=n1nn1n(0,、3,J)(0,0,1)4110=一，有=60.2所以侧面AABB1和底面ABC所成二面角的大小是600.从点C向面AABBi引垂线,D为垂足，则/CBD=60CD二BCDCDC斌(0,2,0)(0,-,3k,k)、“4k2=、.3所以点C到侧面AABB的距离是J3.习题1过顶点A,V与高作一截面交BC于点M,点。为正四面体的中心

11、,Oi为底面ABC的中心，设正四面体VABC的棱长为m,则AM=fm=VM,01M=1AM01A=2AM3m,V01=.VM2一01M2=-6m，得001=V01-VO=吏m一a33在RtMOO1中，AO2=OO；+AO；,即a2=(、62,32口2”6m-a)(m)，得m=a.33nrt411208、33则V01=a,有VVqBC=msin60)V01=a.选B.332271温馨提不：正四面体外接球的半径VO:内切球的半径OO1=a:-a=3:1.34_3_21_2_2V1:V2:V3=(一二R):(二R2R):(一二R2R)=2:3:1，选B.333设PA，棱a于点A,PM_L平面a于点m

12、,pn_L平面P于点N,PA=t,2PAM=日，则tsina=1tsin(600-：)=2，得出cosa=5sina，有sina=-3或2.7,32.7（舍去）-121所以t=cm选b.sin-34由DE_LEF,EFAC,有DE_LAC,又AC，BD,DEPlBD=D,得AC-L平面ABD.由对称性得.BAC=.CAD,BAD=90，于是AB=AC=AD=立a.21/12,2、2Vbscd=-Iaa)a、23人=a选B.245可由两个相同的四棱锥底面重合而成，有2r=V2，得r=-24Q外接球的体积V二二33D.6当AB2时,AB口或与a斜交.7由屋=EA+aB+bF,得国2=|国2+|AB

13、2+|BFj+2eabF1cos：(1)当日=60时，有9=4+晶|2+1+2212,得TB=2；(2)当9=120时，有9=4+|AB2,cc/11-2215,得kB”；6.8AC_LBD.(或ABCD是正方形或菱形等)9将展开的平面图形还原为正方体NACF-EMBD,可得只，正确.10解:设MBC的高AO交DE于点O1，令AO1=x,由AO=132-52=12，有OO1=12-x,02220在AA1OO1中，/AOO=60，有A1OA1O1oO1O2AO1O1O,Cos60得AO=j3(x-6)2+36.当x=6时，A1到直线BC的最小距离为6.11解:(1)(如图)以A为原点建立空间直角坐标系，设BQ=x，则Q(1,x,0),P(0,0,1),D(0,a,0)得pQ=(11x1-1),QD=(-1,a-x,0)由PQ_lQD,有(1,x,1)(1,ax,0)=0x2ax+1=0若方程有解，必为正数解，且小于a.由=(a)2-4A0,aa0,得a22.(i)当a2时,BC上存在点Q,使PQ_LQD；(ii)当0a2时，BC上不存在点Q,使PQ，QD.(2)要使BC边上有且只有一个点Q,使PQ_LQD,则方程有两个相等的实根2这时，A=(-a)4=0，得2=2,有乂=1