备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析

1、备战2022年新高考数学圆锥曲线压轴题精选与解析一、有关圆哥定理型压轴题【方法点拨】1 .相交弦定理：如下左图，圆O的两条弦AB、PC相交于圆内一点P,则PAPBPCPD.2 .切割线定理：如下右图，PT为圆O的切线，PAB、PCD为割线，则PT2PAPB3 .割线定理：如下右图，PAB、PCD为圆O的割线，则PAPBPCPD.说明：上述三个定理可以统一为PAPBPO2R2(其中R是半径)，统称为圆哥定理【典型题示例】22例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0),点P是圆O：xy的任意一点，过点B(1,0)作直线BT垂直于AP,垂足为T,则2PA+3PT的最小值是3PT2PA9中

2、招6aPA【分析】从题中已知寻求PA、PT间的关系是突破口，也是难点，思路一是从中线长定理入手，二是直接使用圆哥定理.【解法一】由中线长公式可得PO12(PA2PB2)AB2,则PA2PB2=1023PAPBcPA2PB2AB2cosP,贝UcosP2PAPB在RtPBT中，PTPBcosP，即PTPA932所以2PA3PT2PA2，彳86尬(当且仅当PA二时取等)PA2【解法二】;BTAP,.点T的轨迹是圆，其方程是：x2+y2=1,过点P作该圆的切线PC,C为切点，则PC=J3,由切割线定理得：PC2PAPT3所以2PA3PT2PA2而6折(当且仅当PA2时取等).PA2点评：解法二中，先

3、运用定直线张直角，得到隐圆，然后运用切割线定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解决，思路简洁、解法明快.在有关解析几何的题目中，首先考虑相关的几何性质是解决这类问题的首选方向.例2在平面直角坐标系xOy中，已知。C:x2+(y-1)2=5,A为。C与x负半轴的交点，过A作。C的弦AB,记线段AB的中点为M.若OA=OM,则直线AB的斜率为1015【分析】看到“弦的中点”想到作“弦心距”4,得至UCMAB,故/CMA+ZAOC=180o,所以A、O、C、M四点共圆，AC为直径.在该外接圆中，使用正弦定理求出sinA即可.【解析】连结C、M,则CMXAB,在四边形AOCM中，/CMA+ZAOC=

4、180o,故A、O、C、M四点共圆，且AC为直径.x2+(y1)2=5中，令y=0,得*=2,A8(2,0),AC=v5即为AOM外接圆的直径,在AOM中，由正弦定理得：-=v5,而OA=OM=2,sinA所以sinA=2=,所以tanA=2.v5故直线AB的斜率为2.例3在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2y25交于A,B两点,其中A点在第一象限，且BM2MA,则直线l的方程为x爪【答案】y=x-1【分析】本题思路有下列几种：利用向量坐标设点转化，点参法；设直线方程的在轴上的截距式，联立方程组；垂径定理后二次解三角形；相交弦定理；利用2 1型结构，得OM-OA-OB,两

5、边平方求得AOB的余弦值.3 3【解法一】：易知直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=k(x-1).由BM=2MA,设BM=2t,MA=t.3t如图，过原点O作OHl于点H,则BH=y.3tcc设OH=d,在RtOBH中，d2+2=r2=5.ct1在RtAOMH中，d2+22=OM2=1,解得d2=2，k21则d2=-=解得k=1或k=1.k2+12因为点A在第一象限，BM=2MA,由图知k=1,所以所求的直线l的方程为y=x1.【解法二】由BM2MA,设BM=2t,MA=t又过点M的直径被M分成两段长为J51、J51由相交弦定理得2t2J51J51,解之得tJ2过原点O作OH，l于点H,，

6、3t1在RtOBH中，d2+-2=r2=5,解得d2=,(下同解法一，略)【解法三】设A(xi,yi),B(x2,y2),则BM=(1x2,皿,MA=(xi-1,yi).一一1-x2=2xi-1,因为BM=2MA,所以y2=2yi.当直线AB的斜率不存在时，BM=MA,不符合题意.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y=k(x-1),-2kyi+y2=1+k2得(1+k2)y2+2ky4k2=0,则-4k2yiy2=1+k2y=kx-1,联立/+=5,y2=2yi,解得2ky12,1+k2-4ky22,1+k2所以yiy28k24k2iThjm即k2=1.又点A在第一象限,所以k=1,即

7、直线AB的方程为y=x1.【解法四】设A(xi,yi),B(x2,y2),则BM=(1x2,y2),MA=(xi1,yi).x2=2xi3,即y2=2yi.1-x2=2xi-1,因为BM=2MA,所以y2=2yi,x2+y2=5,x2+y2=5,又代入可得解得xi=2,代入可得yi=1又点Ax2+y2=5,2xi32+4y2=5,在第一象限，故A(2,1),由点A和点M的坐标可得直线AB的方程为y=x-1.点评:上述各种解法中，以解法一、解法二最简、最优【巩固训练】1 .在平面直角坐标系xoy中，M是直线x3上的动点，以M为圆心的圆M,若圆M截x轴所得的弦长恒为4,过点O作圆M的一条切线，切点

8、为P,则点P到直线2xy100距离的最大值为.2222 .在平面直角坐标系xOy中，圆C：(xm)yr(m0).已知过原点O且相互垂直的两条直线li和12,其中li与圆C相交于A,B两点，12与圆C相切于点D.若AB=OD,则直线1i的斜率为.3 .在平面直角坐标系xOy中，设直线yx2与圆x2y2r2(r0)交于A、B两点，O为一一一5-3坐标原点，若圆上一点C满足OC-OAOB,则r.4 4222,4 .在平面直角坐标系xOy中，已知点P0,1在圆C:xy2mx2ym4m10内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且4PBC的面积是APAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为.225 .在

9、平面直角坐标系xOy中，圆C:(x2)(ym)3.若圆C存在以G为中点的弦AB,且AB2GO,则实数m的取值范围是.226.已知直线yax3与圆xy2x80相交于A,B两点，点Px0,y0在直线y2x上且PAPB,则Xo的取值范围为.1 .【答案】3.5252 .【答案】5【答案与提示】【解析一】作CEAB于点E,则CE2BC2BE2BC2122AB2BC24-OD2421,2r-(m42_25rm)4由OECD是矩形,CE2=OD2,5r24r2，化简得-mCD即cos/OCD=OCr、52.5-,tan/COB=tan/OCD=,m35直线1i的斜率为【解析二】作CELAB于点E,则OEC

10、D是矩形2tt2设OD=t(t0),则由切割线定理OD2=OAXOB得t(r)(r),即r22422299r2又m2t2r2,将(X)代人得m29r2,即L24m3r2RtCOE,sinCOEm3，直线1i的斜率为2.53.【答案】：/0【解法一】遇线性表示想求模，将向量问题实数化2OC25一3一-OA-OB4425-OA16532OAOB449一2OB,16即r225915999一r一rcosAOB一r,整理化简得cosAOB16816过点O作AB的垂线交AB于D,则cosAOB2cosAOD一2又圆心到直线的距离OD_x/2,3211得cosAOD.5522-1OD疙,所以cos12AOD

11、-5r2马，r,10.r【解法二】注意到线性表示时的系数和为2,联想“三点共线”.,一53一1一5一3一由OC-OAOB,即一OC-OA-OB44288得A、B、D三点共线(其中D是AB的中点)，且AD:BD3:5,设AD3x,BD5x思路一：垂径定理后二次解三角形,2工x(4)|AF|+|BF|=p.、.222,解之得rr24x2.22r3r3x5x思路二：相交弦定理，22,解之得rJ而.r24x2.24 .【答案】4,495 .【答案】2,.2【提示】易知OAOB,考察临界状态，只需过原点作圆的切线，切点弦的张角大于等于直角即可.6 .【答案】(1,0)(0,2)二、抛物线过焦点的弦【方法

12、点拨】设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2,y2),a为弦AB的倾斜角.则(1)xiX2=pj-,yy2=_p2.(2)|AF|=dL，|BF尸J”(其中点A在x轴上侧，点B在x轴下侧).一cos1十cos民2p(3)弦长AB|=x1+x2+p=萧.(5)以弦AB为直径的圆与准线相切.【典型题示例】例1已知抛物线C：y22pxp0的焦点F到其准线的距离为4,圆M:x22y21,过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点，则AP4BQ的最小值为.【答案】13【分析】易知p4,圆心M(2,0)即为焦点F,故AP4BQAF4BF5,再利用抛

13、物线的定义，进一步转化为AP4BQxA4xB5,利用xAxB4、基本不等式即可.【解析】易知p4,圆心M(2,0)即为焦点F所以AP4BQAF14BF1AF4BF5根据抛物线的定义AFXa-Xa2,BFXb-Xb222所以AP4BQxA24xB25xA4xB52又XAXB-44Xa4一所以AP4BQxA4xB52jxA4xB513,当且仅当xA4xB,即时Xb1等号成立，此时直线l的方程是y2瓜472所以AP4BQ的最小值为13.例2已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2=2px(p0)的焦点，且与抛物线C交于A,B两点，抛物线C的准线上一点M(1,1)满足MAMB=0,则|AB|=()A.3亚

14、B.4亚C.5D.6【答案】C【分析】将MAMB=0直接代入坐标形式，列出关于A,B中点坐标的方程，再利用斜率布列一方程，得到关于A,B中点坐标的方程组即可.这里需要说明的是，MA-MB=0转化的方法较多，如利用斜边中线等于斜边一半等，但均不如上法简单【解析】易知p=2设A(X1,yi),B(X2,y2),则X1X2=1,yiy2=-4,MA(x11,y11),MB(x21,y21)MAMB=0(X11)(x21)(x1)(y21）0,化简得X1X2V1V2设A、B中点坐标为（X0,yo),又由直线的斜率公式得kkAByX1yX2Vi-2左4y2-2丫24y1y2Lky。y。X。1-y。一,即

15、y。x。1y。2(x。1)由、解得X。ABX1X2p2x。p5,答案选C.点评:本题的命题的原点是阿基米德三角形，即从圆锥曲线准线上一点向圆锥曲线引切线,.以此为切入点解决此则两个切点与该点所构成的三角形是以该点为直角顶点的直角三角形题，方法则更简洁.例3过抛物线y2=4x的焦点F的直线l与抛物线交于A,B两点，若|AF|=2|BF|,则|AB|等于（A.4B.2C.5D.6由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A,B在准线上的射影分别为D,C,作BELAD于E,设|BF|=m,直线l的倾斜角为&则AB|=3m,由抛物线的定义知|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,.28sin2e

16、=9.2p9又y2=4x,知2P=4,故利用弦长公式IABLs【巩固训练】1 .设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点，O为坐标原点，则4OAB的面积为（）B.863C.329D.42 .已知抛物线C:y2=2px（p0）的焦点F到准线的距离为2,过点F的直线与抛物线交于P,Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.抛物线C的准线方程为y=-1B.线段PQ的长度最小为C.点M的坐标可能为（3,2)d.Op(OQ=-3恒成立3 .已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交C于A,B两点，分别过A,B作准线l的垂线，垂足分别为P

17、,Q.若|AF|=3|BF|,则|PQ|=4 .已知抛物线C的焦点为F,过F的直线与抛物线C交于A,B两点,411若2,则AFBF符合条件的抛物线C的一个方程为2_5 .过抛物线y2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点，若ABf5,AFAF=6 .过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点，若|AF|3,则|BF|【答案与提示】1.【答案】D【解析一】由已知得焦点坐标为F3,0,因此直线AB的方程为y=gx-3,即4x-43443y-3=0.与抛物线方程联立，化简得4y212-J3y9=0,故|yA_yB|=勺(yA+yB)24yAyB=6.1139因此生oAB=2|oF|yA-yB

18、|=20,则y+y2=4m,所以x+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,所以M(2m2+1,2m).当m=1时，可得M(3,2),C正确.可得y1y2=4,x1x2=(my+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,所以OPOQ=xx2+y1y2=-3,D正确.故选BCD.c833 .【答案】33【解析】F(1,0),不妨设A在第一象限，A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3|BF|得yi=-3y2设Iab：y=k(x1)与抛物线方程联立得,24ky2-4y-4k=0,yi+y2=-,kyiy2=-4,结合解得y2=孕，|PQ|=|yi一y2|=|-3y2y2

19、|=-4y2=p.334 .【答案】满足焦准距为1即可，如y22x.1122【解析】由公式得一2,解得p1,满足焦准距为1即可，如y22x等.AFBFpp55.【答案】-6【解析一】设AF=m,mn=121+1=255一,解得m一或m-（舍）mnp=1P64BF=n,则有，211p2144【解析二】抛物线y2x的焦点坐标为（万,。），准线方程为x-设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1x2、一-11设AFm,BFn,贝Ux1m-,x2n-22,1、，1、1(m-)(n-)-所以有224,2512-55.5解得m或n,所以AF.64636.【答案】-2【解析】直接由1工2立得

20、(其中m,n是焦点弦被焦点所分得的两线段长，p就是焦nmp准距).三、椭圆、双曲线的焦点弦被焦点分成定比【方法点拨】2X1.设椭圆C:二a2yb21(ab0)的右焦点为F,过F的直线l与椭圆相交于AB两点，直线l的倾斜角为，且AF=FB(0),则e间满足ecos2.长短弦公式：如下图，长弦AF=ep，短弦BF=ep(其中p是焦参数,1ecos1ecos即焦点到对应准线的距离，是直线l与x轴的夹角，而非倾斜角).说明:(1)公式1的推导使用椭圆的第二定义，不必记忆，要有“遇过将焦半径转化为到准线距离”的意识即可.(2)双曲线也有类似结论.2X已知椭圆方程为一【典型题示例】1,AB为椭圆过右焦点F

21、的弦，则|AF|2|FB|的最小值【答案】3224【解析】由2X2y1,得a4氧,则椭圆的离心率为右准线方程为l:x型3如图，过A作AM设AB的倾斜角为则|AM|CF|AF|cos4_33|AF|cos立|AF|cos3联立，可得|af|同理可得|BF|123cos|AF|2|BF|123cos22.3cos23cos6.3cosZ243cos1，1，|AF|2|FB|63t3t2(6、3t)212(63t)3213263t122沛6323t故答案为:42X例2(2021江苏南京盐城二调7)已知双曲线C:Ja2yr1a0,b0的左、b右焦点分别为Fi,F2,过点F2作倾斜角为。的直线l交双曲线C的右支于A,B两点，其1中点A在第一象限，且cos0=4.若|AB|=|AFi|,则双曲线C的离心率为A.4B.痂C.|D.2【解析】AF2,BF2accosABAF2BF2AF12aAF2b2accosBF22a2a1a-c4例3已知椭圆C:x2+A=1(ab0)的离心率为专,与过右焦点F且斜率为k(k0)的直线相交于A,B两点.若AF=3fB,则k=【答案】2【解析】如右图，设l为椭圆的右准线，过A、ByD是垂足分别向l作