增量变量从初值变到终值则称为变量的增量或

1、第一节增量：变量"从初值"1变到终值的,则的-"1称为变量"的增量或改变量，记为加，即及=町一附对于函数/0，当自变量从'。变到工时，加称为自变量I的增量;对应的函数值从他）变到"）,3=加）一他）二他+加）-/g）称为函数y的增量。注：增量可正可负。X图3-1定义设函数J=/«）在点'。的某一邻域内有定义,如果当自变量的增量&二工一而趋于零时，对应函数的增量母可偏+&）-/（而）也趋于零帆修二叫饵+加）-8）卜0即_-L'_那么就称函数在点。连续，。称为函数的连续帆2=眄（/+&）-*

2、/）bo可写成如=）-/国）卜。&T。笫tO可与成需T而S/"所以此定义也可改写为定义设函数y=J8在点M的某一邻域内有定义,如/(£)=/(%)如果,.那么就称函数y=/W在点瓦连续。由定义可知，函数在点。连续，必满足三个条件(1)lim/I曲存在（左、右极限存在且相等）(3)血/(*)=/(瑞如果三条中有一条不满足，则/（1）在点就不连续。蝇/wInn(l。二十*I。讨论网在X=0的连续性。例1设解二I是一一分段函数,所以国八"不存在，故在i=Q处/（力不连续。图3-2例2讨论函数在x=。，1=1及x=2处的连续性。x>2.理/不存在，所以不连续

3、。lim/(x)=lim2z=2,XT】HT1醇/=1(9+1)2,吗/力1户2,所以连续。在工=2处:tai/(x)=lim(X3+1)5,11m/(x)=lim(-x+4)=5,IT2"ttTtt?+kt炉2理人*5,且/=5,所以连续。左连续、右连续:若圾/存在且等于/闻，即饕.端则称的0点左连续;NT知+存在且等于为，即依加网则称网。点右连续。图3-3如：上两例中的函数均在工二。点左连续。显然了国在雨点连续，则了在工。点左连续且右连续。函数在区间连续：如果函数在区间处为内每一点都连续，则称函数/（才）在区间（如0内连续；如果/在区间（白，切内连续，在a点右连续，在6点左连续，

4、则称函数/（1）在闭区间如句上连续。图3-4£例3当"0时，且/在连续，则/（。卜？解J印在x=。连续，,1./(O)-Em/(x)=lim(1+工产=”r-*0r->0fl.sinxrx<0x七x=0xsin-+1,x>0例4设函数工在X=0处连续，求k。A向/W=刖/(X)=/(。)解因为JG)在工二0处连续，所以h(rxW，,lim/=liin-sinj=1lim/(x)=lim(xsin-+1)=1而-二，：TL-二:八一E第一节函数的间断点如果函数y=/(x)在'。的去心邻域内有定义，但在'。不连续，称而为的间断点。与连续的条件相

5、对应，有下列三种情形之一时，则/(1)在M点就不连续，瓦点就为间断点。V=T在点0没有定义r=rlimf(x)(2) 在点0有定义，但I瓶不存在r=Ylim/(i)lim=/(而)(3) 在点勺有定义，且I题存在，但小.1.1.1y=sin昌limsinAy=sin如：1在点X=0无定义，且E工不存在，所以工二。是了的间断点。/Wx=0是“Z工4a有定义,x+2?X>0的间断点，/(1)在1=0但2/不存在（条件2）/W-1=1是E的间断点，因/（X）在工=1有定义,叫/=2处/叱"）=0且E，但xtI。间断点的分类（1）跳跃间断若/（X）在%的左右极限存在但不相则称'。为跳跃间断点。x>0x"。的跳跃间断点。图3-5(2)可去间断点存在但不等于y(/),则称人为可去间断点。补充或修改了在%的定义后，可使/wTJ-1如：卜1是/W=-的可去间断点。图3-6(3)无穷间断点*当工T飞(或1瓦，或工.访)时,南土,则称M为无穷间断点。如：i=0是/