基于小孔成像原理及透镜畸变现象的相机标定模型

1、队号：H94基于小孔成像原理及透镜畸变现象的相机标定模型摘要本文就数码相机定位过程中系统标定的实现问题，建立了基于小孔成像原理并考虑透镜径向一阶畸变影响下的寻找靶标圆心像坐标，并由该像坐标确定相机间相对位置的模型。对靶标图像处理时，将图像转换为二值图并用矩阵保存，设计了利用图像边界像素点的性质提取靶标像边缘的计算机算法。为确定靶标上圆心在相机像平面上的像坐标，设计了反映射法和解析法两种方法。在反映射法中根据小孔成像模型将靶标像的边缘反向映射，得到一个圆心点坐标后再将其映射回像平面以确定靶标圆心像坐标。不考虑透镜一阶径向畸变对成像的影响时，计算出5个圆心的像坐标分别为：A(-189.41,194

2、.78),B(-89.25,187.21),C(127.01,171.14),D(-227.54,-117.54),E(70.5552,-118.96);考虑透镜一阶径向畸变对成像的影响时，将小孔成像模型进行修正后，计算出5个圆心的像坐标分别为：A(-189.59,194.99),B(-89.32,187.37),C(127.81,171.29),D(-227.75,-117.66),E(70.62,-119.05).在解析法中利用小孔成像原理得出靶标上圆的边界点与像平面上像的边界点之间的解析关系，建立超定方程组，解此方程组得到圆心像坐标。用解析法计算出5个圆心的像坐标分别为：A(-189.2

3、7,194.60),B(-89.21,187.17),C(127.01,171.49) ,D(-227.55,-117.58),E(69.98,-118.12).根据靶标上圆心的像坐标及各圆心之间的距离，得到靶标上各圆心在相机坐标系中的坐标。利用标靶各圆心分别在两个相机坐标系中的坐标，由空间直角坐标系的转换方法可计算得到两相机坐标系间的转换参数，由此转换参数即可得到两相机之间的相对位置。对确定靶标圆心像坐标模型中的算法精度进行模拟检验，结果表明算法精度较高。利用灵敏度对模型的稳定性进行了分析，并具体计算出以靶标中圆E为例，反映射法和解析法两种方法的灵敏度值为0.14,0.07。最后对模型进行了

4、评价。关键字：系统标定小孔成像透镜径向一阶畸变反映射法解析法坐标系转换参数灵敏度队号：H94问题的重述作圆，如图2所示数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。数码相机定位,是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。数码相机的定位可以用双目定位（即用两部相机来定位）的方法实现，步骤如下：1 .用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得物体上的特征点在两部相机像平面上的坐标。2 .确定两部相机精确的相对位置。3 .用几何的方法得到特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。对于双目定位，精确地确定两部相机的相对位置是确定特征点的关键，这一过程也称

5、为系统标定。标定的一种实际做法是，在物平面上画若干个圆（称为靶标），同时用两部相机照相，分别得到这些圆在它们像平面上的像。以圆心为靶标的特征点，找出这些圆的圆心在像平面上对应的像点，利用两张照片中两组点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。但靶标上圆的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定才可实现。现已知某靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径图1靶标上圆的像图2靶标示意图用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示队号：H9

6、4图3靶标的像我们需要做的是:(1)建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；(2)对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标，该相机的像距(即光学中心到像平面的距离)是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024.X768;(3)设计一种方法检验已建立的模型，并讨论方法的精度和稳定性；(4)建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。问题的分析2.1 相机定位模型的整体分析利用双目定位的方法进行相机定位时，精确地确定两部相机的相对位置即系统标定是关

7、键。在系统标定过程中，由于无法在物平面或像平面上直接得到没有几何尺寸的“点”，只能在物平面上画若干个圆作为靶标用两部相机对其进行拍摄，然后，在拍摄到的像中找出两组圆的圆心的像坐标，再利用圆心像坐标确定出两组圆心的几何关系，进而确定出两部相机的相对位置。由此可知，在以圆作靶标的系统标定方法下，可将系统标定分作一下两个关键步骤：1 .由靶标的像确定靶标上圆的圆心在相机像平面中像坐标；2 .由两组在不同相机像平面上的圆心像坐标确定出两相机的相对位置。显然，两部相机相对位置的确定依赖于两组圆心像坐标的确定。所以，需先建立用靶标的像来确定靶标上圆的圆心像坐标的模型并设计算法将其求出，再在此基础上建立确定

8、两部相机相对位置的模型。2.2 确定圆心像坐标的两种方法分析经典的摄像机模型一一小孔成像模型，发现造成拍得的靶标的像出现变形主要是由靶标所在的物平面与像平面不平行导致的。小孔成像模型是摄像机的理想模型，没有考虑到摄像机本身存在的缺陷等会导致拍摄得到的像出现畸变，而靶标的像出现变形也可能是由于这种畸变造成的。由以上分析可知，靶标的像出现变形是由靶标所在物平面与像平面不平行，以及相机本身缺陷造成图像畸变两方面原因造成的。对于利用像平面上的图形确定靶标上圆的圆心像坐标的问题，我们想到两种可行的方法，以下作具体分析。2.2.1 反映射法队号：H94在相机的理想模型一小孔成像模型中，假设一个物平面，则由

9、靶标的像经反向的映射得到一个在该物平面上的图像。改变该物平面，使该物平面与相机像平面呈不同的角度，则可反向映射得到在该物平面上的不同图像。当这个物平面与靶标所在的物平面平行时，由于小孔成像模型是线性呈像，则靶标的像反映射到这个物平面上形成的像与靶标上的圆是相似，也是一个圆。相反，当靶标的像影射到该平面所形成的图象为圆时，该平面与靶标所在的平面平行，这时该圆心映射到像平面上的点即为靶标上圆的圆心在像平面上的像点。考虑相机自身缺陷造成图像畸变时，简单起见，只考虑一阶径向畸变的影响，对理想的小孔成像模型作修正。2.2.2 解析法解析法确定靶标上的圆的圆心像坐标主要基于数学解析计算。直接建立靶标平面a

10、与像平面P之间的空间关系，得到口与P中图形外轮廓上对应像素点之间满足的空间变换方程。因a中的点满足圆的方程，从而可推导出P中每个对应点满足的方程，并建立起一个关于圆心像坐标及其它参数的超定方程组。为寻找一个对所有方程适应度最大的解，可运用最小二乘的原理，寻找一个解使其在所有方程构成的解空间中对每一方程的偏移度最小。由此就可以得到圆心位置的最优解。2.3 检验模型精度与稳定性的分析一个模型的精度应是指计算结果与实际情况的偏离程度，由于我们无法真实再现整个空间拍摄过程，所以考虑运用模拟实际成像的方法做出检验。具体为，在固定像平面的情况下，随机生成一个在空间中靶标平面，并生成某一大小的圆；通过小孔成

11、像，在像平面上得到圆的像覆盖的像素点集，以及圆心像在像平面内的坐标；再用我们设计的计算方法求解圆心像在像平面内的坐标，对比两者之间的差值，就能检验模型的精度。由于在相机拍摄过程中焦距无法完全合适及相机本身的原因，使拍摄出的图像的边界处会出现模糊，具体表现为图像边界处像素点的不稳定，我们用“噪音”来描述这种图像边界像素点的不稳定情况。这种不稳定会影响靶标上圆的圆心像坐标的计算，使计算结果产生一个随机误差。为测定稳定性，我们可以人为加入“噪音”，即用人为移动像的边界像素点来实现。具体可以用泊松分布来随机产生边界像素点在x轴方向和y轴方向上的移动点数，再在有噪音的情况下计算圆心像的坐标，比较它与无噪

12、音时求出的坐标的不一致程度，就可以检验模型的稳定性。2.4 确定两相机空间位置关系的分析由于是以相机的光学中心为坐标系原点，所以有两个相机便存在两个空间直角坐标系，在这两个坐标系中，靶标上圆的圆心有不同的坐标，而靶标上圆的圆心是这两个坐标系的公共点，也就是说，靶标上圆的圆心将两个分别以两部相机的光学中心为原点的坐标系联系起来。所以，考虑到求出靶标上圆的圆心在两个不同坐标系中的坐标，使用空间直角坐标转换的方法，便可求得以两相机光学中心为原点的两个坐标系间的转换关系，从而也就求得了两相机间的相对位置关系。若要求得靶标上圆的圆心在两个不同坐标系中的坐标，需要利用靶标上圆的圆心像坐标。过靶标上圆的圆心

13、像坐标和原点作直线，该直线即为映射光线，令该直线与空间某平面相交于一点。过5个圆心像坐标分别作5条直线，与平面相队号：H94交于5个点，这5个点之间的距离与靶标平面上5个圆心间的距离越接近，则空问中的这个平面越接近于靶标所在的平面，所作直线与平面的交点也就越接近于靶标上圆的圆心，交点的空间坐标即可作为靶标上圆心的空间坐标。三、基本假设1 .所用相机的像距均为1577个像素单位（毫米约为3.78个像素单位），其分辨率为1024"68。2 .两部同时拍摄的相机具有相同的属性。3 .所的图象的边缘像素点分布基本均匀。四、名词解释与参变量说明4.1名词解释1 .数码相机定位：是指用数码相机摄

14、制物体的相片来确定物体表面某些特征点的位置。2 .双目定位：是数码相机定位种最常用的方法，即用两部相机来定位，以确定特征点的位置。3 .系统标定：精确确定两部相机相对位置的过程。4 .靶标：用于确定两相机相对位置的设计的物平面，其上有若干个圆。5 .像距：相机光学中心到像平面的距离。6 .物距：相机光学中心到拍摄实物的距离。17 .像素单位：它表征空间距离，1个像素单位约为1个毫米。3.788 .相机分辨率：表征像平面长宽由多少个像素单位构成。9 .超定方程组：方程个数多于变量数的方程组。10 .畸变系数：表征相机拍摄过程中非线性失真的大小。11 .噪音：描述图像边界像素点的不稳定情况。4.2

15、参变量说明参变量定义一单位a物平囿P像平囿d相机像距(x,yi,d)支中第i个圆圆心的像在P平囿中的坐标(XoMZ)即在以相机A的光学中心为坐标原点的坐标系中，相机B的光学中心的坐标l灵敏度k畸变系数五、模型的建立5.1 建模前的准备（像平面上像的边界点提取）将数码相机摄得的靶标的图像保存为.bmp格式的单色位图，得到由黑白两种颜色组成的0-1图或二值图。使用MATLAB软件直接读入此.bmp格式文件，可得到靶标像所成的图的矩阵队号：H94保存形式，其中的每个元素代表相应图中的像素点，如第i行、第j列元素代表图中第i行的第j个像素点。靶标像所成的图为二值图，在靶标像图矩阵中某元素为0表示该像素

16、点为黑色，为1表示该像素点为白色。这样，靶标的像图就表示为一个0-1矩阵。又由于相机分辨率为1024X768,所以靶标像图矩阵为一个768行，1024歹的0-1矩阵。为提取像的边界点，观察像平面上像的边界点及其周围的像素点，可以看出，像的边界点为黑色，且上、下、左、右四个方向上的相邻像素点中存在白色的像素点。所以，在靶标像图矩阵中，表征边界像素点的矩阵元素为0,且该元素上、下、左、右四个方向上的相邻元素中存在值为1的元素。由此可见，对靶标像图边界像素点的搜索过程可以转换为对靶标像图矩阵元素的搜索。5.2 建立确定圆心像坐标的数学模型与算法设计5.2.1 不考虑相机畸变影响下的模型在系统标定过程

17、中，需要通过分析不同方位的相机对同一靶标拍摄的像之间的几何关系，来确定两部相机的空间相对位置。而这其中的关键，就是在同时考虑相机拍摄角度与透视原理对成像的影响下，找出靶标中圆的圆心在像中的位置。先不考虑相机畸变因素对模型的影响，并将相机拍摄实物的过程近视为一个针孔成像的过程，此时我们分别从两种不同的思路建立了求解圆心像位置的模型，得到了非常相似的结果。（1）第一种方案（反映射法）1）原理阐述及目标函数的确立此模型首先运用针孔成像原理对相机拍摄成像过程进行了简化。设靶标所在的平面为«，像所在的平面为P,相机镜头的中心为光学中心O,镜头所在平面平行于像平面，设为匕建立以相机光学中心O为坐

18、标原点，像平面垂直于z轴的坐标系，其光路原理如下图所示：X图1针孔成像下的光路原理图此方案主要运用了光路可逆原理的思想。由于不同空间方程下的物平面与像平面中形状不一的图形是对应的。于是将像平面上的图形通过小孔反映射到某一屏中上，搜索使屏上图形最接近于圆时，屏的空间平面方程；冉将此时平中圆的圆心重新一一映射回P平面，这样就可以得到精确度较高的圆心像的坐标。如图2所示：队号：H94其中，像平面与光学中心的距离对固定相机来说是恒定不变的，设具为d,将P经过翻转后平移到z>0的位置中，使得此时P与中上相应点的位置有更好的对应关系，也即是此时P与中中对应点的连线通过原点。下面建立P与中中图像上的点

19、的位置关系。设物平面中的方程为axbycz-k=0,其一般式为其中,x与y前的系数表征中平面的空间角度，常数项的取值表征物平面与像平面中图像的大小关系。从原点出发将P中每一个圆的边缘映射到中中，设P中任一边缘点的坐标为（Xi,y1,乙）,原点坐标为（Xo,yo,Z0）=（0,0,0），则映射到中中任一点（x,y,z）所形成的直线方程，也即光路方程为x-x0_yy°_zz°'x-i-x0yi-y0zi-z0j代入(x0,y°,乙)二(0,0,0)，得到/、xyz<xiyidJ联立（i）与（2）就可以求得光线与中平面的交点，记为Qij（为，yij,zij

20、）,i为中中图形轮廓的个数，i=i,2,k.j为在像素平面离散化后的图形轮廓点的个数，j=i,2,n.n对于每个圆的值都不相同。如何判断中平面中的轮廓是一个正圆成为求解的关键。我们对此时的几个轮廓分别求几何中心，并检验此中心到轮廓每个点的距离的均衡程度，认为最均衡时对应的轮廓就为圆。于是可建立使均衡度最高的优化模型，求出此时的中平面方程，进而得到中中每个圆圆心的坐标，这些坐标与原点连线后与P平面相交的点就是圆心像的位置。运用以上思想，先求出映射到中平面上k个外轮廓的几何中心Mi（xim，ym，zm）,也即是轮廓坐标的平均值。即：队号：H94nnn、XijYij'、,Zij_j1_j1_

21、jxim=,yim=,zim=nnnri,得到再计算此中心Mi到轮廓n个点的距离平均值。设此距离均值为nnrin.二rij.二.(xij-xim),(yij_yim)(zij_zim)j4_j"nn我们定义均衡程度为此中心到轮廓每个点的距离用与ri的差距程度。设§表示均衡程度，我们用这两者比值减一的平方来表征这种差距。有Si”工1j1ri目标的最优化函数如下:Min在此目标值最小时,将各圆的均衡程度相加，得到总均衡程度，于是建立起使总均衡程度最小为kknrj运用两点式直(5)S=£§=££2-1.iimj八0/求出中平面方程及中中每个

22、圆的圆心坐标。线方程(2)的变形ximyimzimxyd,就可求解到第i个圆圆心的像在P平面中的坐标(xi.yi.d)2)提高算法效率的初始值设定(略)(2)第二种方案(解析法)这种解析的方式直接建立靶标平面口与像平面P之间的空间关系，得到a与P中图形外轮廓上对应像素点之间满足的空间变换方程，由于要使a中的图形皆为圆，于是通过建立«中点满足的关系式，反过来得到了P中点满足的约束条件。已通过对原图的像素取点，得到像平面P中构成一个外轮廓的点约有两百多个，于是可以建立关于这两百多个点满足关系式的超定方程，来求解圆心位置的最优解。我们将图2中的中平面改为«平面得到图5,同理将像平

23、面经旋转变换后移至z0的位置中，使得物平面中圆与其像之间的连线通过原点。队号：H94图5物平面与像平面的空间关系设物平面a的方程为AxByzD=0,像平面P的方程为z=d,物平面上任一点（x,y,z）在像平面上的对应点为（x',y,z'）。根据图5得到“与P中对应点之间的连线通过圆心。因此得到汽与P中外轮廓上对应像素点之间满足的关系式Ax+By+z+D=0'xd=.xzy_dyz用像平面上的点表达物平面上点满足的关系式，由（7）解得-xDx'(8)(10)xA+yB+d-y'Dy二-xAyBd若令（8）中则由（8）、（9）得'一x=xF,.y=y

24、F.z=dF这就是«与P中外轮廓上对应像素点之间满足的空间变换方程。令物平面上的第i个圆圆心坐标为（X0,y0,z。）,像平面上对应圆心像坐标为（X0,y0,d）,（这里与前假设（为与）不同，仅为了统一标识变量）,记队号：H94F0:,(11)x0Ay0Bd同理有x0=X0F0'，y0=y0F0-(12)Z0=dF°对物平面上的点(x,y,z)来说，由于其构成一个圆，则必然满足圆方程222-2(X-X0)2(y-y。)2(Z-Z0)2=R2.(13)联立(10)(12)(13),得到像平面上点满足的关系式(xF-X0F0)2(yF-%)2(zF-Z0F0)2=R2.

25、(14)设P平面中第i个圆外轮廓上有n个像素点，每个点表示为(Xj,yj),j=1,2,n.代入(14)式，建立起以x°,y°,A,B,D为变量的两百多个万程的超定方程组，求解出最优的X0,y0,A,B,D值，其中(X0,y0,d)即为所求第i个圆圆心的坐标。我们运用最小二乘的思想来求解最优解，先以两变量，三方程构成的超定方程组来说明运用最小二乘求解超定方程组的原理。假设两变量，三方程构成平面上的三条直线，若三条直线相交，则可直接得到满足三方程的解；但一般情况下，三条直线并不相交，于是考虑在三直线相交成的三角形区域内寻找一个点，使其到三条边的距离的平方和最小，此时就认为这个

26、点就是最优解。于是对超定方程组，在给定了一个解之后，将两百多个方程中的常量移至方程的右边，考虑最特殊的情况，若两百多个方程同时满足一个解，则方程右边应全为零。但现在对每一个接近最优解的解，方程右边出现的常量就表征了此方程与此解相差的程度，我们自然希望能找到某个解使得所有方程右边的常量最小，而对这个最小”的衡量可以运用最小二乘的方式。将每一个给出的解带入方程组，求出每个方程常数项的平方和，搜索使这个值最小对应的解作为最优解。同样运用MATLAB中fminsearch函数搜索，使其自动寻找并逐步靠近最优解，对每一个圆所成的像做相同的处理就可得到最优解。5.2.2考虑相机畸变影响下的模型相机的畸变有

27、多种，此时考虑径向一阶畸变下的模型。由于像平面上的点与物平面上对应点的连线通过原点，因此他们对应点的空间坐标成比例关系。像平面的z轴坐标为d,又设(A，yu)为不考虑畸变时像平面上的点，(x,y,z)为物平面上的点，所以有Xuyu,X二dz=d)z(15)由参考文献1得到相机畸变模型如下10队号：H94其中，面的距离Xu1kr2yu=1kr2xuyu(16)(17)(18)(x',y')为考虑畸变时像平面上的点;k为畸变系数；d为光学中心到像平在此模型下，由像平面上的点(x',y')计算其在物平面:x：yz-0上的对应点(x,y,z)的计算公式的推导过程如下：由

28、(16)/(17)得(19)若令则有y'y,_x_yk0一一x'y'x=k°x',y=k°y'.若能求得k°,则就能得到像平面与物平面的映射关系，于是，为解出将(20)带入(16)得并整理得kidx'2y'2k02-k01=0.zz解此关于k0的二次方程，得(20)ko的表达式，d±zko二-4k”'2十<z)y'22k%、2d%'2+y'2-4k-(x'2+y'2)容易分析出j(x,2+y12d1J-4kx'2y'211队号：H

29、94ki二21.1-4kx'2y'2(21)k0dz=ki结合（19）（20）求得Yk°二d二x'Iy'k1于是就能得到像平面与物平面的映射关系，从而可由像平面上的点（x,y'）计算其在物平面二x，,yz-=0上的对应点（x,y,z）。5.3建立两部相机空间位置关系的数学模型（略）六、模型的求解6.1圆心像坐标的求解结果我们已建立对靶标中任意个数的圆普适的圆心像坐标求解模型，对题中所给的特定靶标代入k=5,这是一个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆，再以AC边上距离A点30mm处的B为圆心

30、，12mm为半径作圆，得到靶标图形。由于1mm约为3.78个像素单位，所以所给的正方形边长约为378个像素单位，圆半径约为45.36个像素单位。运用反映射法与解析法分别得到了两组圆心的最优位置。其中以像素作为基本单位，以长宽为1024X786个像素单位的像平面中点为坐标原点，建立平面坐标系。将靶标中圆的外轮廓及圆心投影到坐标系中，由于三种方法得到的解几乎相同，我们仅画出解析法下的圆心坐标，如图7所示：12队号：H94OO。OO250200150）100素像50:位0I，。-100-150-200-300-200-1000100200x（单位：像素）图7靶标像的轮廓及圆心像位置关系在此坐标系下，

31、给出两种方式下的圆心像的位置坐标值，如表1所示:表1三种方式下求解到的圆心像的位置坐标针孔成像下反映射法得到的圆心位置坐标值（像素单位）对各/、同的圆ABCDEx-189.41-89.25127.67-227.5470.56y194.78187.21171.14-117.54-118.96针孔成像下解析法得到的圆心位置坐标值（像素单位）对各/、同的圆ABCDEx-189.27-89.21127.01-227.5569.98y194.6187.17171.49-117.58-118.12考虑畸变影反映射法得到的圆心位置坐标值（像素单位）对各/、同的圆ABCDEx-189.591-89.31841

32、27.8106-227.74870.616y194.9769187.3797171.2893-117.662-119.0496.2靶标上圆心坐标的确定（略）七、模型的检验与分析7.1对两种方式下求解圆心位置的检验与分析对如上两种模型求解的圆心像坐标，我们运用模拟实际情况的方式对模型精度进行检验。也就是用模拟结果与不同计算方式下的结果做对比，分析出各模型的精度。而这个模拟过程的具体设定如下：1）在空间中固定一个成像平面，在排除倾角过大的情况下，随机生成一个与像平面呈某空间角度的靶标平面。2）在靶标平面随机生成一个大小适度的圆，圆的半径设定在50到100个像素之间。3）由于像平面实际上是离散化的，

33、等效于一张网格面，而网格密度就以13队号：H941024>768的分辨率来确定。将像平面上的网格点全部以针孔成像的方式映射回靶标平面。4）生成一个与格点对应的矩阵记录映射情况，若格点落在圆外，则记这个点对应的矩阵元素为1,若格点落在圆内，则记这个点对应的矩阵元素为005）将落在圆内的格点重新映射回像平面，而它们构成的点集的空间位置已由矩阵记录。6）确定靶标上的圆的圆心映射到像平面上的空间坐标位置，记为（ao,bo,C0）7）分别运用已建立的两种方法试求解这个点集中圆心像的空间坐标，记反映射法下得到的坐标为（8，4，/）；记解析法下得到的坐标为（a2,b2,c0）。8）计算两种方式下算得的

34、坐标与模拟真实情况下的圆心像坐标的距离，即计2一一一2di=,（a1-a。）（bi-bo）,d2=（a2-a。）（b2-b。）9）进行多次模拟，计算di与d2的平均值，作为精度的衡量标准。运用以上模拟方法，计算得反映射法下的di均值在0.4个像素单位左右，而d2均值在0.08个像素单位左右，于是得出解析法的精度高于反映射法的结论。下面对产生这种现象的原因作初步分析。对反映射方法求圆心，其求解过程的关键就在于判定像反映射回的图像为一圆，其误差也最可能产生在这一点上。我们在确定其为一圆的过程中，主要采用图形的几何中心到外轮廓上点的平均距离与每一点对应距离之比的均衡程度来衡量，由于各均衡度之间差距很

35、小，所以若计算精度不高，则比较时就会出现较大误差对解析法求圆心坐标这种方式，其关键就在于在五维解空间确定一个点成为对两百多个方程适应度最高的解，这种方式下运用最小二乘原理求解方程右边常数平方和对应的最小五维空间，其解的误差应多出现在运算精度的设定上，所以较第一种方式精度更高。第一种方式下程序的运行时间在1秒以内，第二种方式下程序的运行时间在2秒以内，这说明了在第一种方式下，我们找到了较为精确的初始值；而虽然第二种方式下，大部分的工作已由解析过程完成，但要在一定范围内搜索五维变量的最优解，必然需要多一些的时间。7.2方程稳定性的分析7.2.1 稳定性的衡量标准的设定由于在相机拍摄过程中焦距无法完

36、全合适及相机本身的原因，使拍摄出的图像的边界处会出现模糊，这种模糊在二值图上表现为图像边界处的黑色像素点参差不齐，光滑性、连续性差。此处，我们用噪音”来描述这种图像边界像素点的不稳定情况。在确定像平面上圆心的像坐标时，像边界的噪音大小，即边界像素点的不稳定程度，对圆心像坐标的确定存在影响。具体表现为当像边界噪声增大时，圆心像坐标的确定越不准确。所以，有必要对本文中确定像平面上圆心像坐标的方法作稳定性分析。为讨论本文中确定像平面上圆心像坐标模型的稳定性，我们对提取出的图像边界人为加入一定的噪音，再利用加入噪音后的边界，在本文中确定圆心像坐标14队号：H94的模型下求取出此时的圆心像坐标，计算该圆

37、心像坐标位置与不加噪音时的圆心像坐标位置间的距离，以此为依据判断模型稳定性的好坏。噪音的加入用人为移动像的边界像素点来实现，例如将某个提取出的边界像素点在X轴方向上移动1个像素点，在Y轴方向上移动2个像素点。为保证加入k的噪音的真实性，我们采用泊松分布PX=k来随机产生边界像素点在xk!轴方向和y轴方向上的移动点数，若某像素点在两个方向上的移动点数都为0时，则表示该像素点未发生移动。我们用灵敏度l来衡量稳定性，即在受到噪音干扰的情况下，模型对干扰的灵敏度越高，其稳定性越差，反之亦然。灵敏度定义如下：l号，db其中，db表示所有边界像素点的平均移动距离，它由所有像素点(假设个数为n)在X轴方向上移动的平均距离和在Y轴方向上移动的平均距离相加得到：nn二：dX二dydbk4knnd心为加入噪首后求得的圆心像坐标(x,y,z)偏离无噪首时圆心像坐标(x,y,z)的距离：dx=.(x1-x)2(y1-y)2(z1-z)2分析灵敏度l的定义，可得其意义为：所有边界像素点平均移动一个像素单位时，圆心像坐标偏移的距离为1。显然，l