排列组合课件(1)

1、 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n个步骤，个步骤，做第做第一步有一步有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同的种不同的方法，方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，那么种不同的方法，那么完成这件事有完成这件事有 N=m1m2mn 种不同的方法种不同的方法.2.乘法原理乘法原理： 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有 n类办法类办法,在第一在第一类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同种不同的方法的方法. 那么完成这件事

2、共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法种不同的方法.1.加法原理：加法原理：复习引入复习引入 引例引例1 在航海中，航舰之间常以在航海中，航舰之间常以“旗语旗语”相互联系，即相互联系，即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号. 现有红、黄、现有红、黄、蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少种不同的信号？蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少种不同的信号？观察与思考观察与思考上中下红红黄黄蓝蓝黄黄蓝蓝红红蓝蓝红红黄黄蓝蓝黄黄蓝蓝红红黄黄红红复习引入复习引入 引例引例1 在航海中，航舰之间常以在航海中，航舰之间常以“旗语旗语”相互联系，相互联系，即利用

3、不同颜色的旗帜的排列传递某种信号即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号. 现有红、黄、现有红、黄、蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少种不同的信号？蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少种不同的信号？引入概念引入概念上中下红红黄黄蓝蓝黄黄蓝蓝红红蓝蓝红红黄黄蓝蓝黄黄蓝蓝红红黄黄红红红红黄黄蓝蓝 以上的每一种以上的每一种“旗语旗语”利用不同颜色的旗利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号帜的排列传递某种信号. 就叫做就叫做“从从3个元素中选取个元素中选取3个个元素的一个元素的一个排列排列”. 本问题共有本问题共有6个不同的个不同的排列排列！根据乘法原理：根据乘法原理：3216.深化理解深化理解把这个计算过

4、程把这个计算过程3 2 16 33记为A：引例引例2 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名参加某天的一名参加某天的一项活动，其中项活动，其中1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1名同学名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？参加下午的活动，有多少种不同的方法？第一步：确定参加上午活动的同学第一步：确定参加上午活动的同学 即从即从3 3名中任选名中任选1 1名，有名，有3 3种选法种选法第二步：确定参加下午活动的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有2 2种方法种方法根据乘法原理：根据乘法原理：32=6 即共即共6种方法种方法.复习引入复习引入引例引例2 从甲、乙、

5、丙从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名参加某天的一名参加某天的一项活动，其中项活动，其中1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1名同学名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？参加下午的活动，有多少种不同的方法？甲乙丙乙丙甲丙甲乙甲丙乙甲乙丙丙甲丙乙甲乙上午下午相当于队列站法深化理解深化理解引例引例2 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名参加某天的一名参加某天的一项活动，其中项活动，其中1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1名同学名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？参加下午的活动，有多少种不同的方法？ 从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取

6、2个，然后按个，然后按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排法.我们把上面问题中被取的对象叫做我们把上面问题中被取的对象叫做元素元素.所有不同排法是所有不同排法是 ab,ac,ba,bc,ca,cb.甲乙丙的每一种排列法，就叫做甲乙丙的每一种排列法，就叫做“从从3个元素中个元素中选取选取2个元素的一个个元素的一个排列排列”.共有共有326个排列个排列.深化理解深化理解把这个计算过程把这个计算过程3 26 23记A为：所有不同排法是所有不同排法是45452432352533421深化理解深化理解引例引例3 由由1、2、3、4、5能组成多少个没有重复

7、数能组成多少个没有重复数字的三位数？字的三位数？第1位第2位第3位45451431351533412454524121525114233215231542135253132412341524312134每一个数，就叫做一个每一个数，就叫做一个“排列排列”.引例引例3 由由1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数能组成多少个没有重复数字的三位数？字的三位数？第1位第2位第3位解：解： 要得到一个要得到一个由由1、2、3、4、5能组成没有重能组成没有重复数字的三位数，可以通过如下三步：复数字的三位数，可以通过如下三步： 从从1、2、3、4、5中选中选1个放到第一位，有个放到第一位，有5种放法；种放

8、法；从从1、2、3、4、5中剩余的中剩余的4个中选个中选1个放到第二位，个放到第二位，有有4种放法；种放法；从从1、2、3、4、5中剩余的中剩余的3个中选个中选1个放到第二位，个放到第二位，有有3种放法种放法.根据乘法原理，根据乘法原理，得到一个得到一个这样的三位数有这样的三位数有N=54360种不同的方法，种不同的方法，这样的三位数这样的三位数60个个.复习引入复习引入把这个计算过程把这个计算过程5 4 360 35记为A： 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素，个元素，按照一定的按照一定的顺序顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个不同元素中取个不同元素中

9、取出出m个元素的个元素的一个排列一个排列.排列的概念：排列的概念：理解理解：n个元素是个元素是不同不同的，取出的的，取出的m个元素是个元素是不同不同的的. m,n是正整数，且是正整数，且mn 排列是排列是m步的集成结果：步的集成结果：“取出第取出第1个元素放到第个元素放到第1位位” 、 “取出第取出第2个元素放到第个元素放到第2位位” 、“取出第取出第m个元素个元素放到第放到第m位位”.两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全两个排列相同，当且仅当两个排列的元素完全 相同，相同，且元素的排列顺序也完全相同且元素的排列顺序也完全相同.基本概念基本概念 或或看作是两大步的集成结果：先看作是两大步的

10、集成结果：先“取出取出m个不同元个不同元素素”，再，再“按照按照一定顺序一定顺序将将m个不同元素排成一列个不同元素排成一列”.练习练习1从从a,b,c,d这这4个字母中，每次取出个字母中，每次取出3个个按顺序排成一列按顺序排成一列,共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？解：共有解：共有432 = 24个个. a b c d c d b d b c b a c d c d a d a c c a b d b d a d a b d a b c b c a c a b 所有的排法：所有的排法： abc abd acb acd adb adc bac bad bca bcd bda bdc c

11、ab cad cba cbd cda cdb dab dac dba dbc dca dcb4 3 224 34记为A：课堂练习课堂练习第1位4第2位3第3位2排列数的概念：排列数的概念： 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所个元素的所有排列的个数，叫做从有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个个元素的元素的排列数排列数.用符号用符号 表示表示.mnA62323A如如:从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后个，然后 按一按一定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列定的顺序排成一列，求一共有多少种不同的排列方法方法.基本概念基本概

12、念下标下标n是被选数是被选数上标上标m是选出数是选出数问题：问题：从从n个不同元素中出个不同元素中出2个元素的排列数个元素的排列数 是是多少？多少？2nA3nA呢？呢？)(nmAmn呢？第1位 第2位n n-12nA=n(n-1)第1位 第2位 第3位n n-1 n-23nA=n(n-1)(n-2) 第1位 第2位 第3位 第m位 n -1nn -2n ( m 1) 1()2)(1(mnnnnAmn公式推导公式推导nmNmn,*) 1() 2)(1(mnnnnAmn排列数公式：排列数公式：公式的特点：公式的特点：基本公式基本公式 是是 “取出第取出第1个元素放到第个元素放到第1位位”的方法数、

13、的方法数、 “取出第取出第2个元素放到第个元素放到第2位位”的方法数、的方法数、 “取出第取出第m个元素放到第个元素放到第m位位”的方法数的乘积的方法数的乘积.mnA所以，所以， 是以上是以上m步的步的集成集成的运算公式！的运算公式！mnAm个连续自然数的连乘积；个连续自然数的连乘积；最大因数为最大因数为n以下依次减以下依次减1，最小因数是（，最小因数是（n-m+1）. 引例引例1 在航海中，航舰之间常以在航海中，航舰之间常以“旗语旗语”相互联系，相互联系，即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号即利用不同颜色的旗帜的排列传递某种信号. 现有红、黄、现有红、黄、蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少

14、种不同的信号？蓝三面旗子，同时升旗，共可表示多少种不同的信号？ 解解：每一种每一种“旗语旗语” 就是就是“从从3个元素中选取个元素中选取3个元素个元素的一个的一个排列排列”. 排列数为：排列数为：3216.深化理解深化理解33A共可表示共可表示6种不同的信号种不同的信号.引例引例2 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名参加某天的一名参加某天的一项活动，其中项活动，其中1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1名同学名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？参加下午的活动，有多少种不同的方法？解：解：问题可以看为从问题可以看为从3个不同的元素中任取个不同的元素中任取2元素的元

15、素的排列问题排列问题.其排列数为：其排列数为：深化理解深化理解326.23A共有共有6种不同的方法种不同的方法.引例引例3 由由1、2、3、4、5能组成多少个没有重复数能组成多少个没有重复数字的三位数？字的三位数？第1位第2位第3位解：解：可以看为从可以看为从5个不同的元素中任取个不同的元素中任取3元素的排元素的排列问题列问题.其排列数为：其排列数为：深化理解深化理解54360.35A共有这样的三位数共有这样的三位数60个个.nmNmn,*) 1() 2)(1(mnnnnAmn排列数公式：排列数公式：例例计算（计算（1）（）（2）36A27A解解：（：（1）12045636A（2）426727

16、A例题讲解例题讲解选择题： 等于（ ） （A） （B） （C） （D）89161718818A918A1018A1118AD练习练习2课堂练习课堂练习nmNmn,*) 1() 2)(1(mnnnnAmn排列数公式：排列数公式：（1）有）有5本本不同的书，从中选不同的书，从中选3本送给本送给3名同学，名同学，每人各每人各1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？（2）有）有5种种不同的书，要买不同的书，要买3本送给本送给3名同学，每名同学，每人各人各1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？ 练习练习课堂练习课堂练习组合与组合数公式组合与组合数公式问题一：问题一：从甲、乙

17、、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？加某天一项活动，有多少种不同的选法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3从已知的从已知的3个个不同元素中不同元素中每次取出每次取出2个个元素元素, ,并成一并成一组组问题二问题二从已知的从已知的3 个不

18、同元素个不同元素中每次取出中每次取出2个元素个元素, ,按按照一定的顺照一定的顺序排成一列序排成一列. .问题一问题一排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合. . 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点？同点与不同点？ （一）、组合的定义（一）、组合的定义:? ?组合定义组合定义: 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个不

19、同元素中取出个不同元素中取出m个元个元素的一个素的一个组合组合排列定义排列定义: 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn) 个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不个不同元素中取出同元素中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点: 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” 不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关， 而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关. .概念讲解概念讲解思考一思考一:aB与与Ba是相同的排列是相同的排列 还还是相同的组合是相同的组

20、合?为什么为什么? ?思考二思考二: :两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点? ?两个相同两个相同的组合呢的组合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同. .元素相同元素相同概念理解概念理解 构造排列分成两步完成，先取后排；构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤而构造组合就是其中一个步骤. .思考三思考三: :组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗? ?判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? (1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3个元素的个元素的子集有多少个子集有多少

21、个?(2)某铁路线上有某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票多少种车票? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共共需握手多少次需握手多少次?组合问题组合问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.1.从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是有组合分别是:ab , ac , bc 2.已知已知4个元素

22、个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个元写出每次取出两个元素的所有组合素的所有组合.ab c d b c d cd ab , ac , ad , bc , bd , cd(3(3个个) )(6(6个个) )概念理解概念理解 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所）个元素的所有组合的个数，叫做从有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.mnC233C 246C 如如:从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是的所有组合个数是:如如:已知已知

23、4个元素个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出写出每次取出两个元素的所有组合个数是：两个元素的所有组合个数是：概念讲解概念讲解（二）、组合（二）、组合数数 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnC1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有四个元素中任取三个元素的所有组合组合abc ， abd ， acd ，bcd .bcddcbacd组合组合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbdc

24、cdb dcb（三个元素的）（三个元素的）1 1个组合，对应着个组合，对应着6 6个排列个排列你发现了你发现了什么什么?PPC333434 34 4C第一步，（）个；33 6A第二步，（）个；333.434 CAA根据分步计数原理，334343ACA从而34A对于对于，我们可以按照以下步骤进行，我们可以按照以下步骤进行（三）、组合数公式（三）、组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系 一般地，求从一般地，求从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数，可以分为以下排列数，可以分为以下2步：步： 第第1 1步，先求出从这步，先求出从这n

25、个不同元素中取出个不同元素中取出m个个元素的组合数元素的组合数 mnC第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中m个元素的全排列数个元素的全排列数 mnA根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：mmmnmnACA因此：因此： !121mmnnnnAACmmmnmn 这里这里m,n是自然数，且是自然数，且 m n ，这个公式叫做，这个公式叫做 概念讲解概念讲解组合数公式组合数公式: :(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAmmmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我们规定：从从 n个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数组合数的两个性质组合数的两

26、个性质: mn mnnCC11 mmmnnnCCC证明证明:1!()!(1)!(1)!mmnnnnCCm nmmnm)!1( !) 1( !mnmmnmnn)!1( !)1(mnmnmmn)!1( !)!1(mnmnmnC1 11 mmmnnnCCC11 mmmnnnCCC公式特征：公式特征：下标相同而上标差下标相同而上标差1的两个组合数的两个组合数之和，等于下标比原下标多之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同而上标与大的相同的一个组合数；的一个组合数； 此性质的作用：此性质的作用：恒等变形，简化运算；恒等变形，简化运算；等式体现等式体现：“含与不含某元素含与不含某元素”的分类思想的分类思

27、想. 11()()mmmnnnaCCaC含含素元素不元例例一个口袋内装有大小不同的一个口袋内装有大小不同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球.（1）从口袋内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1个黑球，有多少种个黑球，有多少种取法？取法？（2）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，个球，使其中不含黑球，有多少种取法？有多少种取法？ （3）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，共有多少个球，共有多少种取法？种取法？解解：（：（1）取出取出3个球中有黑球的方法数个球中有黑球的方法数27C7 6212!例题讲解例题讲解例例1一个口袋内装有大小不同的一个口袋内装有大小不同的7个白球

28、和个白球和1个黑球个黑球.（1）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1个黑球，有多个黑球，有多少种取法？少种取法？（2）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中不含黑个球，使其中不含黑球，有多少种取法？球，有多少种取法？ （3）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，共有个球，共有多少种取法？多少种取法？解解：（：（1）取出取出3个球中有黑球的方法数个球中有黑球的方法数27C7 6212!37C取出取出3个球中无黑球的方法数个球中无黑球的方法数7 6 5353! 例题讲解例题讲解例例一个口袋内装有大小不同的一个口袋内装有大小不同的7个白球和个白球和1个黑球个黑球.（1）从口袋

29、内取出从口袋内取出3个球，使其中含有个球，使其中含有1个黑球，有多少种个黑球，有多少种取法？（取法？（2）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，个球，使其中不含黑球，有多少种取法？有多少种取法？ （3）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，共有多少个球，共有多少种取法？种取法？解解：（：（3）388 7 6563!C 按照黑球分类，按照黑球分类，取出取出3个球中有黑球的方法数个球中有黑球的方法数37C27C从口袋内取出从口袋内取出3个球，共有取法个球，共有取法3277CC388 7 6563!C 另法另法，一次取出的方法数，一次取出的方法数取出取出3个球中无黑球的方法数个球中无黑球的方

30、法数例例计算：计算： 69584737CCCC解：解：原式原式 34567789()CCCC568489CCC568489()CCC6959CC610C410C10 9 8 72104! 例题讲解例题讲解 D 190 巩固练习巩固练习3有有3张参观券，要在张参观券，要在5人中确定人中确定3人去参观，人去参观，不同方法的种数是不同方法的种数是 10 46人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，人同时被邀请参加一项活动，必须有人去，去几人自行决定，共有多少种不同的去法？去几人自行决定，共有多少种不同的去法？32555 4102!CC123456666666CCCCCC解：解：有有6类办法，第类办法，

31、第1类去类去1人，第人，第2类去类去2人，人，第第3类去类去3人，第人，第4类去类去4人，第人，第5类去类去5人，第人，第6类去类去6人，所以共有不同的去法人，所以共有不同的去法63巩固练习巩固练习小结小结2.组合数性质组合数性质: mn mnnCC11 mmmnnnCCC1.组合数公式组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm!()!mnnCm nm例、计算：例、计算： 47C 710C例例. .甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行单循环赛，支足球队举行单循环赛，（1 1）列出所有各场比赛的双方；）列出所有各场比赛的双方；（2 2）列出所有冠亚军的可能情况）列

32、出所有冠亚军的可能情况. .（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙（1 1）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：例题分析例题分析32 nnCA（3）已知：）已知： ，求，求n的值的值 3535 (2) (2) 120120 (3) (3) 8 8例.11CmnmCmnmn:求证,! :）（！证明mnmnCmn)!1()!1(! 111mnmnmnmmnmCmn)!1)(! )!1(1mnmnnmm.! )( !Cmnmnmn 例例 5个人站成一排个人站成一排共有多少种排法？共有多少种排法？ 其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法？其中甲必须站在中间，有多少种不同的排法？ 其中甲、乙两人必须相邻，有多少种不同的其中甲