控制工程第五章 控制系统稳定性分析

1、第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院自动控制系统稳定的充分必要条件：系统特征方程的根全部具有负实部，即:闭环系统的极点全部在S平面左半部。注意：稳定性与零点无关注意：稳定性与零点无关3P2P1P4P5PnPS平面jO0)()()()(110jjjjKikjijsjspsasD系统特征方程第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工

2、程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院无需求解特征根，直接通过特征方程的系数判别系统的稳定性。劳思劳思(routh)判据判据赫尔维茨赫尔维茨(Hurwitz)判据判据5.2 代数判据代数判据第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院性质：第一列符号改变次数= 系统特征方程含有正实部根的个数。0asa.sasa) s (Dn1n1n1n0

3、131201a|aaaa|b151402a|aaaa|b121311b|bbaa|c131511b|bbaa|c121211c|ccbb|d131312c|ccbb|d10112123214n3213n3212n5311n420ngsfseesdddscccsbbbsaaasaaas劳思阵列劳思阵列第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院 特殊情况1：第一列出现0 特殊情况2：某一行元素均为0劳思劳思(routh)判据的特殊情况判据的特殊情况第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控

4、制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院特殊情况：第一列出现0。02s3s3ss) s (D234各项系数均为正数2s023s2)(0s031s231s01234解决方法：用任意小正数代之。 特殊情况1：第一列出现0第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院特殊情况：某一行元素均为006655)(2345ssssssD6s5/2s62/5s010040s651s651s012345解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方程系数构成一个辅助方程。各项

5、系数均为正数求导得:06s5s24010413ss2js2, 13js4, 31s5例如： 特殊情况2：某一行元素均为0第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院a10a10, a200asa.sasa) s (Dn1n1n1n0a10, a20, a30a1a2 a0 a3a10, a20, a30 , a40421230321aaaaaaa归纳：a00时第五章

6、第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院l 劳斯判据采用劳斯阵列，应用不受系统的阶次的影响，劳斯判据采用劳斯阵列，应用不受系统的阶次的影响，且如果系统不稳定还能得出特征方程有几个根在且如果系统不稳定还能得出特征方程有几个根在s s平面的平面的右半部分，且可以右半部分，且可以做简单的相对稳定性判断做简单的相对稳定性判断。l 赫尔维茨判据采用赫尔维茨行列式，四阶以上赫尔维

7、茨赫尔维茨判据采用赫尔维茨行列式，四阶以上赫尔维茨行列式计算较为麻烦，故一般只用于低阶系统。行列式计算较为麻烦，故一般只用于低阶系统。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院乃奎斯特（乃奎斯特（NyquistNyquist）稳定判据）稳定判据: :几何判据。几何判据。1. 1. 利用奈氏判据也不必求取闭环系统的特征根，而是通过系利用奈氏判据也不必求取闭环系统的特

8、征根，而是通过系统统开环频率特性开环频率特性( (j j ) )H H( (j j ) )曲线来分析闭环系统的稳定性曲线来分析闭环系统的稳定性。2. 2. 由于系统的频率特性可以用由于系统的频率特性可以用得，所以乃氏判据对得，所以乃氏判据对那些无法用分析法获得传递函数的系统来说，具有重要的意那些无法用分析法获得传递函数的系统来说，具有重要的意义。义。3. 3. 乃氏判据还能表明系统的乃氏判据还能表明系统的即相对稳定性，进而即相对稳定性，进而指出改善系统稳定性的途径。指出改善系统稳定性的途径。5.3 Nyquist稳定性判据稳定性判据第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程

9、基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院Nyquist稳定判据系统各特征多项式间的关系开环含有积分环节 Nyquist稳定判据穿越法Bode图中的Nyquist稳定判据米哈伊洛夫定理第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院对于n阶系统，若有p个根位于复平面的右半面，有q个根在原点上，其余n-p-q个根位于左半面，则当由0变化到时，矢量D(j)的相角变化量()()()22D jwnpqpp 米哈伊洛夫定理：米哈伊洛夫定理：第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统

10、的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院n 阶系统稳定的条件：当由0变化到时，矢量D(j)的相角变化量D(j)工程实际应用意义不大！2)(njD第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院l 系统的开环传递函数系统的开环传递函数l 系统的闭环传递函数系统的闭环传递函数l 设新变量设新变量F(s)F(s) s (D) s (M) s (D) s (M) s (D) s (D) s (M) s (D) s (M) s (D) s (M1) s (D)

11、 s (M) s (H) s (G1) s (G) s (bbHGHGGHHGGGG)()()()()()()()(sDsMsDsMsDsMsHsGKKHHGG建立了系统的闭环特征多项式、开环特征多项式和开环传递函数G(s)H(s)之间的关系 系统各特征多项式间的关系系统各特征多项式间的关系)()()()(1sDsDsHsGkb第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院 Nyquist稳定性判据稳定性判据开环稳定判据开环稳定判据开环不稳定判据开环不稳定判据第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的

12、稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院0)j (D)j (D)j (H)j (G1 kb系统在开环状态稳定的条件,闭环稳定的充要条件是：当由0变化到时，1+G(j)H (j) 轨迹不包围1+GH平面的原点。0)j (H)j (G1 0)j (H)j (G1 Nyquist判据判据开环稳定时开环稳定时第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院系统在开环状态稳定的条件,闭环稳定的充要条件是：当由0变化到时，开环G(j)H (j) 轨迹不包围GH平面

13、的(-1,j0)点。在复平面上将1+G(j) H(j)的轨迹向左移动一个单位（或者相当于将虚轴向右移动一个单位），便得到G(j)H(j) 的轨迹第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院2)(njDb()()()(2 )222kDjnppnp 1()()()()(2 )2222bkG jH jDjDjpnnp 若系统开环不稳定，且有p个开环特征根位于右半s 平面，则闭环系统稳定的充要条件：当由0变化到+时，开环G(j)H (j) 轨迹逆时针逆时针包围 GH平面(-1，j0) 点p /2次。 : 0+

14、而闭环稳定要求： Nyquist判据判据开环不稳定时开环不稳定时第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院 Nyquist判据判据一个闭环反馈控制系统稳定的充要条件是一个闭环反馈控制系统稳定的充要条件是其开环乃氏图逆时针包围（其开环乃氏图逆时针包围（-1, j0）点的圈）点的圈数等于其开环右极点的个数的一半。数等于其开环右极点的个数的一半。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院系统在闭环状态下是稳定的

15、。开环不稳定 (p=2)G(j)H(j)轨迹逆时针方向包围(-1,j0)点一次第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院开环含有积分环节（原点处存在极点）或者在虚轴上存在极点。用半径 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这些极点，即将这些极点划到左半s平面。 含有积分环节的乃奎斯特稳定性判据含有积分环节的乃奎斯特稳定性判据第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院常规方法：(1)作出由 0+变化时的Nyquis

16、t曲线；(2)从G(j0+)开始，以为半径逆时针补画v90的圆弧(辅助线)。 由由 00+变化时的轨迹变化时的轨迹第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院具有零根的开环G(j)H(j)轨迹(I(I型系统型系统) )(II(II型系统型系统) )(III(III型系统型系统) )第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院单位反馈系统的开环传递函数为) 1()(TssKsG应用Nyquist判据判别闭环系统

17、的稳定性。开环稳定m=0，开环 Nyquist曲线不包围 (-1, j0 )点 系统闭环稳定。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院开环稳定G(j) 轨迹不包围(-1,j0)点闭环系统稳定。开环稳定第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院穿越：指开环Nyquist曲线穿过 (-1, j0 ) 点左边实轴时的情况。正穿越：增大时，Nyquist曲线由上而下穿过 -1 -段实轴。正穿越时相当于Nyqui

18、st曲线正向包围(-1, j0 )点一圈。负穿越：增大时，Nyquist曲线由下而上穿过 -1 -段实轴。负穿越相当于Nyquist曲线反向包围(-1, j0 )点一圈。Nyquist稳定判据穿越法第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院半次穿越：G(j)H (j) 轨迹起始或终止于(-1,j0)点以左的负实轴。+1/2次穿越-1/2次穿越第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院当由0变化到时，Nyq

19、uist曲线在(-1, j0 )点左边实轴上的正负穿越次数之差等于m/2时( m为系统开环右极点数)，闭环系统稳定，否则，闭环系统不稳定。开环不稳定闭环稳定开环稳定闭环稳定第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院Nyquist图与Bode图的对应关系原点为圆心的单位圆 0 分贝线。单位圆以外L()0的部分；单位圆内部L()0范围内的与180线的穿越点。负穿越对应于对数相频特性曲线当增大时，从上向下穿越-180线( 相角滞后增大)。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控

20、制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院 对数频率特性稳定判据若系统开环传递函数m个位于右半s平面的特征根，则当在L()0 的所有频率范围内，对数相频特性曲线()( 含辅助线 )与-180线的正负穿越次数之差等于m/2时，系统闭环稳定，否则，闭环不稳定。 第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院开环特征方程有两个右根，m=2正负穿越数之和+1闭环稳定第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学

21、机械与自动控制学院开环特征方程无右根，m=0正负穿越数之和0闭环稳定。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院开环特征方程无右根，m=0。L()0范围内()和-线不相交即正负穿越数之和为0闭环稳定。例：例：第五章第五章 控制系

22、统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院利用波德图求取相对稳定性具有下列优点：利用波德图求取相对稳定性具有下列优点：(1) (1) 波德图可以由渐近线的方法绘出，故比较简便易波德图可以由渐近线的方法绘出，故比较简便易行；行；(2)(2)省去了计算省去了计算 c c 、 g g的繁杂过程；的繁杂过程；(3)(3)由于开环波德图是由各波德图迭加而成，因此在波德由于开环波德图是由各波德图迭加而成，因此在波德图上容易确定哪些环节是造成不稳定的主要因素，从而图上容易确定哪些环节是造成不稳定的主要因素，从而对其参数重新加以选择或

23、修正；对其参数重新加以选择或修正；(4)(4)在需要调整开环增益在需要调整开环增益K K时，只需将对数幅频特性曲线时，只需将对数幅频特性曲线上下平移即可，这样可很容易地看出增益上下平移即可，这样可很容易地看出增益K K取何值时才能取何值时才能使系统稳定。使系统稳定。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院相对稳定性和稳定裕量增益交界频率和相位交界频率系统的稳定性裕量5.4 稳定性裕量稳定性裕量第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学

24、院浙江理工大学机械与自动控制学院稳定性裕量可以定量地确定系统离开稳定边界的远近，是评价系统稳定性好坏的性能指标，是系统动态设计的重要依据之一。相对稳定性和稳定裕量注意：虚轴是系统的临界稳定边界G(j)H(j)轨迹靠近(-1,j0)点的程度GH平面第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院增益交界频率 cG(j)H (j)轨迹与单位圆交点相位交界频率 gG(j)H (j)轨迹与负实轴交点GH平面ggcc1-稳定系统2-不稳定系统增益交界频率和相位交界频率第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定

25、性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院单位圆外单位圆内增益交界频率 cG(j)H(j)轨迹与单位圆交点L(j)与0分贝线的交点。cg稳定系统相位交界频率 gG(j)H (j)轨迹与负实轴交点 (j)与-线的交点。第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院 :在增益交界频率c上系统达到稳定边界所需要的附加滞后量-相位裕量。相位裕量。)(180)180()(cc开环系统的稳定性裕量第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工

26、程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院Kg :在增益交界频率 g上,频率特性幅值|G(j)H(j)|的倒数幅值裕量（增益裕度）。幅值裕量（增益裕度）。开环180)(g| )()(|1gggjHjGK| )j (H)j (G|lg20Klg20)dB(Kgggg第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院系统响应速度增益裕量相位裕量闭环系统

27、稳定性增益裕量相位裕量伺服机构：10-20分贝40度以上过程控制：3-10分贝20度以上第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院稳定性裕量稳定性裕量第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院某系统的开环传递函数为：某系统的开环传递函数为： 试分别求试分别求K K=2=2和和K K=20=20时，系统的幅值裕度时，系统的幅值裕度K Kg g (dB) (dB) 和相位裕度和相位裕度 。( )( )=(1)

28、(0.21)KG s H ss ss第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院22222(j )(j )=j (1j )(10.2j )1.2(0.21)j(1)(10.04)(1)(10.04)KGHKK 22(j )(j ) =110.04KGH(j )(j )=90arctanarctan0.2GH 第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院22(j )(j )=1110.04ccccKGH 642

29、20.041.04=0cccK(j )(j )=90arctanarctan0.2180gggGH 2(0.21)=0g =2.236g 22=20lg110.04ggggKK 第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院=18090arctanarctan0.2cc(1) (1) 当当K K= 2= 2时，代入式时，代入式(1)(1)得得 增益交角频率增益交角频率 c c=1.23=1.23 代入式代入式(3)(3)得得 相位裕度相位裕度 =25.3=25.3 代入式代入式(2)(2)得得 幅值裕度

30、幅值裕度 K Kg g=9.52dB=9.52dB(2) (2) 当当K K=20=20时，代入式时，代入式(1)(1)得得 增益交角频率增益交角频率 c c=3.93=3.93 代入式代入式(3)(3)得得 相位裕度相位裕度 =-23.89=-23.89 代入式代入式(2)(2)得得 幅值裕度幅值裕度 K Kg g=-10.47=-10.47第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院解解2 2：由开环传递函数知，系统开环稳定。分别绘制：由开环传递函数知，系统开环稳定。分别绘制K K=2=2和和K

31、K=20=20时系统的时系统的BodeBode图，如图图，如图6-13(a)6-13(a)、(b)(b)所示。所示。 由图可见：由图可见：当当K K=2=2时，时，K Kg g(dB)=8(dB)(dB)=8(dB)； =21=21 当当K K=20=20时，时，K Kg g(dB)=-12(dB)(dB)=-12(dB)， =-30=-30 显然，显然，K K=20=20时闭环系统不稳定。时闭环系统不稳定。K K=2=2时系统是稳定的。此时系统是稳定的。此时相位裕度时相位裕度 较小，小于较小，小于30 30 ，因此系统不具备满意的相，因此系统不具备满意的相对稳定性。对稳定性。第五章第五章 控

32、制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院图6-13 不同K值的波德图第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院第五章第五章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析控制工程基础控制工程基础浙江理工大学机械与自动控制学院浙江理工大学机械与自动控制学院劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。例如由第劳斯阵列的计算顺序是由上两行组成新的一行。例如由第一行与第二行可组成第三行，在第二行第三行的基础上