数物复习提纲

1、数学物理方程复习提纲（qin,100600）(建议：复习巩固以下知识点+重温例题和作业+自主补充复习和练习)1 振动方程的导出，非齐次项的含义。振动方程定解条件的提法（初始条件？，第一、二、三类边值条件？）；2 热传导方程的导出，非齐次项的含义。热传导方程定解条件的提法（初始条件？，第一、二、三类边值条件？）；3 拉普拉斯方程的导出，泊松方程非齐次项的含义。拉普拉斯方程和泊松方程定解条件的提法（第一、二、三类边值条件？三种边值问题？）；4 概念：线性（非线性）偏微分方程概念。定解问题，混合问题，初值问题，边值问题。Laplace第一边值问题（狄利克雷问题？），第二边值问题（诺伊曼问题？）,适定

2、性，适定的。5 线性偏微分方程的叠加原理。二元二阶线性偏微分方程的一般形式、分类、特征方程、三种类型的标准形式及化为标准形式的方法。6 a,b上带权q(x)>0的正交函数系，模，傅里叶级数及其系数的算法。f(x)在上的傅里叶级数的系数的算法。（）f(x)在的傅里叶级数的系数的算法。（） f(x)在上的傅里叶级数的系数的算法。（）（视为偶延拓到上？） f(x)在上的傅里叶级数的系数的算法。（）f(x)在上的傅里叶级数的系数的算法。（）7.分离变量法可解的问题().8.能熟练求解：基本型（分离变量法？），基本型（固有函数法？）。9会解基本形，方法是（？）：。10记得边界条件与固有函数系的对应

3、规律。即（？）：或11会解矩形域上Laplace边值问题（把一个变量类比为时间t，视为基本形（I）、（II）或（III）？）。会解圆域上Laplace问题（记得的半通解为，并用边值条件计算系数即可？）。12行波法能解哪类问题？（上波动方程？）。14会解。（齐次的达朗贝尔公式法，或非齐次的更一般公式法？）。15会解。（基尔霍夫公式法，即平均值法？）。15会解。（降维法，或泊松公式法？都要会）。16傅氏变换定义式及其逆变换的定义式，微分性质，卷积，卷积定理。拉氏变换定义式，求拉氏逆变换的留数法，微分性质，延迟性质，卷积，卷积定理，记得常用的一些结果例如等。17积分变换法可解哪类问题？如何选择变换类

4、型。（三种类型变量取值于或的无界区域？某变量取值于且该变量有足够的初值则可关于该变量作拉氏变换，关于取值于的变量可作傅氏变换？）。18会用积分变换法求解类似课本例题和习题的定解问题。19格林函数法能解哪种类型的问题？（Laplace方程和泊松方程第一边值问题？）20三（二）维Laplace方程的基本解和球（圆）对称解。格林第一、二公式。三维调和函数的积分表达式。21调和函数的性质（无流出？平均值公式？极值原理？）。诺伊曼问题有解的必要条件及其证明，狄利克雷问题解的唯一性及其证明。（用无流出？极值原理？）22区域上的格林函数。（，？，由狄利克雷问题解的唯一性可知其唯一？）。狄利克雷问题的解是唯一

5、的（？），可表示为？（？）23如何求解狄利克雷问题？（1）找特殊狄利克雷问题的解；(2) ,，？24若求得了某区域上的格林函数（唯一？），则上的一切Laplace方程和泊松方程的第一边值问题都有解（唯一？）且可表示出来？如何表示？的解为，？25点置一单位正电荷所产生的电位函数是什么？（？）。26半空间的格林函数是什么？如何求得？（？，镜像对称静电法？）27球域的格林函数是什么？，如何求得？（？球面对称静电法？待定系数求得？）.28球域上狄利克雷问题的通解是什么？（？，泊松公式？其中?）29会用试探法求解一些简单的Laplace方程第一、二边值问题（例如课本例题习题）。30会用试探法求解一些简单

6、的泊松方程第一边值问题（例如课本例题习题）。方法是？（用试探法找泊松方程的一个特解，转化为Laplace方程第一边值问题（即狄利克雷问题）。注：泊松方程第一边值问题的解是唯一的（如何证？），故只要求得一个解便是全部解）30边界条件是常数的Laplace方程第一边值问题（即狄利克雷问题）的解是什么？为什么？（极值原理？）31求解柱形（或圆形）域上的物理问题常归结为求解什么样的固有值问题？ （）32n阶Bessel方程？（1）？）33（1）如何化为？ （34（3）的通解？（？）35有哪几类Bessel函数？其定义？性质（对称性，基本递推式，图象，渐近性，零点）？ （定义：为实数，阶第一类阶第二类 性质：1）对称性：n偶偶n奇奇， 2)基本递推式：（n实数） 3）图像()： 4）渐近性质： 5)零点：无穷多正零点 36固有值问题的固有值和固有函数？（37Bessel函数系在(0,R)上带权正交？其模平方38傅里叶-贝塞