第3章多维随机变量及其分布ppt课件

1、第三章第三章 随机向量随机向量 一一. 随机向量及其分布函数随机向量及其分布函数nXXX,.,21定义定义1 设设是定义在概率空间),(P上的n个随机变量，那么称 是 上的一个)XXXn,.,(21),(Pn维随机向量。维随机向量。),(PnXXX,.,21定义定义2 设设 是是 上的一个上的一个n维随机向量，维随机向量，那么称那么称n元函数元函数)XXXn,.,(21,.,),.,(221121nnnxXxXxXPxxxF是随机向量)XXXn,.,(21的分布函数或n个随机变量的结合分布函数。下面以二维随机向量为例，给出结合分布函数的性质。(x1,y1)(x1,y2)(x2,y2)(x2,y

2、1)oxy:),(有以下性质yxF; 1),(0) 1 (yxF;,),()2(右连续均单调非减和关于yxyxF二维随机向量结合分布函数的性质二维随机向量结合分布函数的性质 . 1),(lim),(, 0),(lim),(, 0),(lim),(, 0),(lim),()3(yxFFyxFFyxFxFyxFyFyxyxyx:),()(),(,),(其中与的分布函数与分别求出可由已知时当yFxFYXyxFyxFYX( ),( ,)lim( , ),( ),(, )lim( , ).XyYxFxP XxP Xx YF xF x yFyP YyP XYyFyF x y .),(的边缘分布函数和关于分

3、别称为YXyxF1.(, ):( , )(arctan)(arctan),22:(1) , ,;(2)( )( ).XYX YxyF x yA BCA B CFxFy例 设的分布函数为求的值 与; 0, 1)2)(2(, 1),(: )3() 1 ( :ACBAF有由性质解二维随机向量边缘分布函数可推行到二维随机向量边缘分布函数可推行到n维随机向量维随机向量的边缘分布函数的边缘分布函数. (, )0,()(arctan)0,222FyyA BCB由有,2, 0)2)(2arctan(, 0),(CCxBAxF有由.1:, 1)2)(2(2,22ACBACB可得到代入将),(lim)()2(yx

4、FxFyX21lim(arctan)(arctan)2222yxy),2arctan2(1x),(lim)(yxFyFxY21lim(arctan)(arctan)2222xxy1(arctan).22y二二. 离散型随机向量的概率分布离散型随机向量的概率分布 (, ),.X YXY也称上式为的概率分布 或称为 与的联合概率分布二维离散型随机向量(X,Y)的分布律表的概率分布。个数，求取到的白球分别表示从甲袋和乙袋，设乙袋中任取两个球。球放入乙袋，然后再从任取一个个红球。现先从甲袋中个白球有乙袋中个红球个白球已知甲袋中有例),(33,24. 2YXYX:),(, 2 , 1 , 0, 10:的

5、可能取值为从而可能取值为的或的可能取值为由条件可知解YXYX:).2 , 1 (),1 , 1 (),0 , 1)(2 , 0(),1 , 0(),0 , 0(由乘法公式,21262)0, 0(2724CCYXP,21462) 1, 0(271413CCCYXP,21162)2, 0(2723CCYXP,21264)0, 1(2723CCYXP,21864) 1, 1(271314CCCYXP.21464)2, 1(2724CCYXP:),(,的概率分布表得到将结果列表YXXY0 1 2 21421821212112142120.,:,),(:),(YjXiijjippYXpyYxXPYX的概

6、率分布与可以分别求出关于的概率分布由其中的边缘概率分布和关于分别称为.),(YXYX; ), 3 , 2 , 1( ,)(jijiXiipxXPp)., 3 , 2 , 1( ,)(jpyYPpiijjYj:),( ,2的边缘概率分布为和关于中如例YXYX;32214218212) 1(,31211214212)0(21XPpXPpXX.215214211)2(,2112218214) 1(,214212212)0(321YPpYPpYPpYYY 边缘概率分布的计算也可以在(X,Y)的概率分布表上进展:XY0 1 22152112214322142182121312112142120YjpXi

7、p 二维离散型随机向量结合分布律的性质二维离散型随机向量结合分布律的性质性质性质1 01ijp0(,)1ijP Xx Yy01ijp证证 由于由于,所以 性质性质2 111ijijp1111(,)( )1ijijijijpP Xx YyP 证证 证证 ,(, )(,)ijijx x y yP X YGPxx yy(,)(,)(,)ijijijijx yGx yGP xx yypY X123411/41/81/121/16201/81/121/163001/121/1640001/16解解 PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=i=(1/4)(1/i) PX=i,Y=j=PX=iPY=j|X=

8、i=(1/4)(1/i)(ij),(ij),于是于是(X,Y)(X,Y)的分布律为的分布律为(3,2)P XY111112048812123随机向量的结合分布函数随机向量的结合分布函数 密度函数连续型随机向量的概率三. xydsdttsfyxFRyxyxfyxFYX),(),(,),(),(,),(,),(5 . 32有使得对于任意积函数如果存二元非负可为其分布函数是一个二维随机向量设定义.),.(),(),(,),(的联合概率密度函数或称为的概率密度函数是并称是二维连续型随机向量则称YXYXyxfYX. 1),()2(;),(, 0),() 1 (:),(2 dxdyyxfRyxyxfyxf

9、任意有以下性质2:,(, )( , )DDRP X YDf x y dxdy(3)概率的计算 对任意 例:设二维随机向量(X,Y)具有概率密度其他, 00, 0,2),()2(yxeyxpyx (1)求分布函数F(x,y);(2)求概率PYX. 解:(1) yxdudvvupyxF),(),(2)将(X,Y)看着平面上随机点的坐标.G是xoy平面上直线y=x下方的部分.),(GYXPXYP 其他, 00, 0,200)2(yxvuyxdudve其他, 00, 0),1)(1 (2yxeeyxGdxdyyxp),(0)2(312yyxdxedy.),(),()(),()(:),(),(的边缘概率

10、密度函数和关于分别为与则称的概率密度若已知YXYXdxyxfxfdyyxfxfyxfYXYX).()(:. 1,)1 (23),(),(. 422yfxfyRxxyyxfYXYX与求已知例dyxyxfX1122)1 (23)(;解dyyx11223)1 (21)()1 (211132yx;)1 (12xdxxyyfyY)1 (23)(,122时当dxxy221123.23)(arctan2322yxy. 0)(0),(,1yfyxfyY由于时当1, 01,23)(:2yyyyfY从而2:,: ( ),(, ):,( , )( , ),0,( , )1.(, ).( )GRS GX YCx yG

11、f x yx yGCX YGS G二维均匀分布的定义设为一个有界区域 其面积记作如果的概率密度函数为其中则称服从区域 上的均匀分布例例3.3 (均匀分布均匀分布).()(),(:.10),(,),(. 5yfxfyxfxyyxGGYXYX和求其中上的均匀分布服从区域设例Gxyy=x011.),(, 0),(, 2),(,21)(:GyxGyxyxfGS故由图可知解: )()(yfxfYX与再分别求.,22)(,100 xdyxfxxX时当, 0)(0),(,10 xfyxfxxX时或当., 010,2)(其它从而xxxfX),1 (22)(,101ydxyfyyY时当, 0)(0),(,10y

12、fyxfyyY时或当., 010),1 (2)(其它从而yyyfY边缘分布与边缘概率密度边缘分布与边缘概率密度 边缘分布函数完全由结合分布函数确定. ( )()(,)( ,)lim( , )XyFxP XxP Xx YF xF x y ( )()(,)(, )lim( , )YxFyP YyP XYyFyF x y (1) (X,Y)关于X的边缘分布律.111()(,()(,),iiijijijjjjpP XxP XxYyP Xx Yyp.111()( (),)(,),jjijijijiiipP YyPXxYyP Xx Yyp(2) (X,Y)关于Y的边缘分布律1,2,i 1,2,j 边缘密度

13、函数边缘密度函数 边缘密度函数由结合密度函数决议. dxdyyxfxFxFxX),(),()( dydxyxfyFyFyY),(),()( dyyxfxpX),()(dxyxfypY),()( 设延续型二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)那么从而得到X和Y的概率密度函数分别为00( )( , ),0000yxXxe dy xexfxf x y dyxx000( )( , ).0000yyyYe dxyyeyfyf x y dxyy解解 X，Y的结合密度函数的结合密度函数 2211( , )0 xyf x y其它那么X，Y关于X的边缘密度函数221211211111( )( , )

14、00 xXxdyxxxfxf x y dy 其它其它X，Y关于Y的边缘密度函数 22111( )0Yyyfy 其它1X,Y关于X的边缘密度函数 2111()211( )( , ),2xXfxf x y dyex 2X，Y关于Y的边缘密度函数 2221()221( )( , ),2yYfyf x y dxey 1.二元正态分布的边缘分布必为正态分布2.一样的边缘分布未必能确定独一的结合分布.相关系数为0时, 有结合密度等于两个边缘密度之积.作业作业 P84: 3,4,5,6.3.2 条件分布与随机变量的独立性条件分布与随机变量的独立性 条件分布是条件概率的推行.本节主要讨论关于二维离散型随机变量

15、的条件分布律和关于二维延续型随机变量的条件密度函数. 也有类似的概念。概率。对于随机变量，条件发生的事件发生的条件下”表示在已知事件“)(,)(BAABP的一般概念条件分布函数与独立性一.中任取两个球。球放入乙袋，再从乙袋任取一个个红球。现先从甲袋中个白球中乙袋个红球个白球已知甲袋中有引例33;24.的概率分布。从乙袋取出的白球数条件下发生的考虑在“从甲袋取出白球”设YAA,:,71)0(:2723CCAYP解,74)1(271314CCCAYP.72)2(2724CCAYP:,)()(:,则有的条件分布函数的条件下发生为在若记进一步YAAyYPAyF2, 121,7510,710, 0)(y

16、yyyAyF.,)()(,布函数的条件分发生的条件下为在已知事件称对任意实数事件是一个随机是一个随机变量设一般地XAAxXPAxFxAX1.(80.3.5)0,1,:1,21().2PXUXXF x X例教材例设求在已知的条件下的条件分布函数)21()21(:XxXPXxF解)21()21,(XPXxXP,1, 110,0, 0)(,1, 0 xxxxxFUX故由于;21)21(:121dxXP从而上式分母, 0)21,(,21:XxXPx时当对于分子)21()21,(,21xXPXxXPx时当21)()21()(xFFxF.1,211121,21xxx,1,21121,2121, 0)21,

17、(xxxxXxXP)21()21,()21(,XPXxXPXxF从而,1,121,21,02121212121xxxx.1, 1121, 1221, 0:xxxx即:,:),(),(,有对于事件的分布函数若已知一般地yYAyxFYX)()()(yYxXPyYxFAxF;)(),()(),(yFyxFyYPyYxXPY.)(),()(:,xFyxFxXyFX有类似地);()(),(yYxFyFyxFY).()(),(:xXyFxFyxFX或).()()(:BPAPABPBA相互独立与事件在第一章已知:,有时当事件yYBxXA).()(),(yYPxXPyYxXPyYxX相互独立与事件.).()(

18、),(:相互独立与则称随机变量即YXyFxFyxFYX:由此得到).()(),(:,),(6 . 32yFxFyxFRyxYXYX有对任意相互独立与随机变量定义, .XYXYP XA YBP XA P YB定理3.1 随机变量 与 相互独立所生成的任何事件与所生成的任何事件独立.即,对任何实数集A,B,有 .)()(),(:).4arctan2(1)(),2arctan2(1)(),4arctan2)(2arctan2(1),(:),(,12相互独立与有已知对于中如在第一节例YXyFxFyxFyyFxxFyxyxFYXYXYX.)()(),()(,2 . 32121也相互独立与随机变量与则对任

19、意函数相互独立与如果随机变量定理YgXgygxgYX独立性概率分布与离散型随机变量的条件二.3.73.6.定义定义推广到多个随机变量称时当,0)() 1 (YjjpyYPYjijjjijippyYPyYxXPyYxXP)(),()(;,.), 2 , 1( ,:的概率分布的条件下为在已知记作XyYipppjYjijji.), 2 , 1,( ,),(:,),(. 1jipyYxXPYXijji且已知离散型随机向量设定义., 的概率分布的条件下为在已知YxXi.)., 2 , 1( ,0.);, 2 , 1( ,0:)2() 1 (jppppippppijXiijXijiYjijYj时当时当可推

20、出与由.), 2 , 1( ,)(jpppxXyYPXiijijij称时当（,0)()2XiipxXP:),(. 2的概率分布为已知例YXXYXip321322142182121312112142120Yjp2152112214.,2)2(;,0) 1 ( :的概率分布的条件下在已知的概率分布的条件下在已知求XYYX;71)02(,74)01(,72)00() 1 ( :312113121431212XYPXYPXYP解.54)20(,51)20()2(215214215211YXPYXP3.3(, ):(,),( ,1,2,.), ,.89.ijijXYijijX YP Xx Yypi jX

21、Yi jpppP定理已知的概率分布为则与 相互独立对任意有证明见.,214,31,212)0, 0(,211111111不独立与从而而中如例YXpppppYXPpYXYX:),(. 3的概率分布为已知例YXXY0 1 0.12 0.18 0.28 0.42.是否相互独立与试判定YX.,:, 2 , 1,. 6 . 0, 4 . 0; 7 . 0, 3 . 0:2121相互独立与从而有对任意显然解YXpppjippppYjXiijYYXX三. 延续型随机变量的条件密度与独立性;,)(),()(, 0)(,) 1 (),(),(. 1的条件密度函数已知的条件下为在则称如果对给定的已知定义XyYyf

22、yxfyxfyfyyxfYXYYXY.,)(),()(, 0)(,)2(的条件密度函数已知的条件下为在则称如果对给定的YxXxfyxfxyfxfxXXYX).()(:,2),(),(. 522yxfxyfyyxyxGYXYXXY与求上的均匀分布服从设例, 02,1),(:22其它由条件知解yyxyxf,121)(,12111122xdyxfxxxX时故当. 0)(0),(,1xfyxfxX由时而当, 012)(,12xxfxX时当,121)(,21212xxyfxXY此时)1111 (22xyx., 01111,121)(,1:222其它时当即xyxxxyfxXY, 022)(,202yyyf

23、yY时当,221)(,22212yyyxfyyYX此时).2(2yyx. 0)(0),(,20yfyxfyyY由时或而当,221)(,2022222yydxyfyyyyyY时当,20:时当即 y., 02,221)(22其它yyxyyyxfYX|1133( , )12( |)22312( )02Y XXfyyfyf其它222|111( , )( | )2 1( )0X YYxyxf x yfx yyfy其它).()(:, 010,8),(),(. 6yxfxyfyxxyyxfYXYXXY与求其它设例xy011Dy=x:,10),(:的图形如右图所示则令解DyxyxD),1 (48)(.1021

24、xxxydyxfxxX时当. 0)(0),(,10 xfyxfxxX由时或而当. 0)1 (4)(102xxxfxX时故当).1( ,12)1 (48)(,22yxxyxxxyxyfXY此时,48)(,1030yxydxyfyyY时当. 0)(0),(,10yfyxfyyY由时或而当, 04)(,103此时时故当yyfyY:).0( ,248)(23即yxyxyxyyxfYX., 00,2)(,102其它时当yxyxyxfyYX., 01,12)(,10:2其它时当即yxxyxyfxXY).()(),(:,),(),(),(4 . 3. 22yfxfyxfRyxYXyxfYXYX都有对任意相互

25、独立与则设定理.),()(),(,),(, 010,3)(, 020,2)(, 010 , 20,23),(),(. 7222相互独立与从而都有对任意其它其它其它设例YXyfxfyxfRyxyyyfxxxfyxxyyxfYXYXYX.) 1 () 1 () 1, 1 (, 4) 1 (, 0) 1 (, 8) 1, 1 (:) 1, 1 (., 010,4)(, 010),1 (4)(, 010,8),(,632不独立与有对于点其它其它其它中又如例YXffffffyyyfxxxxfyxxyyxfYXYXYX其他, 00, 0,),()(yxeyxpyx0, 00,),()(0)(xxedyed

26、yyxpxpxyxX0, 00,),()(0)(yyedxedxyxpypyyxY例例: :设随机向量设随机向量(X,Y)(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为试证X和Y相互独立.解解于是有 p(x,y)= pX(x) pY(y)所以X和Y相互独立.解解 (1)X与与Y的密度函数分别为的密度函数分别为 1 010( ),( )000 xXYyexfxfyx其它由于X与Y相互独立,所以(X,Y)的结合密度函数0,01( , )( )( )0 xXYexyf x yfxfy其它111100(1)( , )xxx yP XYf x y dxdydxe dye 解解 (2)由于由于 0,01( ,

27、 )( )( )0 xXYexyf x yfxfy其它所以证证 关于关于X与与Y的边缘密度函数分别为的边缘密度函数分别为 2111()211( ),2xXfxex 2221()221( ),2yYfyey 那么X与Y相互独立的充分必要条件是( , )( )( )XYf x yfxfy 即0 P94 1,5,13 3.3 随机向量的函数的分布与数学期望一.离散型随机向量的函数的分布.,),(,),(,),(也是一个随机变量的二元函数作为则为一个二元函数向量为一个二维离散型随机设YXYXgZyxgYX)., 2 , 1( ,),()(:.), 2 , 1( ,),(:.), 2 , 1,( ,),

28、(:),(kpzYXgPzZPZkYXgZzjipyYxXPkjizyxgijkkkijji的概率分布为则的所有可能取值为记若已知.(89.3.12)(, ):PX Y例 教材例已知的概率分布为XY2010 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.12 0.15 0 0.1.,),(,),(:21的概率分布与分别求XYYXgYXYXg(90):P利用“表上作业法”参见教材可分别求出43101 YXP0.1 0.5 0.2 0.1 0.1XY42012 P0.15 0.3 0.35 0.1 0.1 12122.(91.3.13),(),().:().PXYXPYPXYP例教材例设随机变量

29、与相互独立 且证明:思路,!)()(:)(2121ekkYXPk证明.), 2 , 1 , 0(k:,),(,:从而有的边缘概率分布的乘积和等于的概率分布故相互独立与由于证明YXYXYX),()(0kiikYiXPkYXP)()(0kiikYPiXP)!( )!(21201eikeiikkii(*)!( !021)(21kiikiikiekiikiikiekYXP021)()!( !)(:(*)21式即为从而.!)()(2121ekk).(:21PYX即证明了.证毕的分布连续型随机向量的函数二.:,),(),(),(),(的分布函数为则的二元函数与为随机变量对于二元函数设ZYXYXgZyxgy

30、xfYX,),(),()()(zDZdxdyyxfzYXgPzZPzF).(),(),(RzzyxgyxDz其中:( )( ).ZZZfzFz而 的密度函数为).()(:).3(),2(,. 3zfzFYXZeYeXYXZZ和密度函数函数的分布求且已知相互独立与设随机变量例)0, 0(,32)()(),(),(:32yxeeyfxfyxfYXyxYX由条件知解则令对任意,),(:,zyxyxDzz.),()()()(zDZdxdyyxfzYXPzZPzF; 0)(0),(,0zFyxfzZ由时当dyeedxzFzxzyxzZ032032)(,0时当x+y=z(0)x0y.23132zzee,0

31、,2310, 0)(32zeezzFzzZ.0),(60, 0)(32zeezzfzzZ从而).()(:,),(),(:zfzFYXZyxfYXZZ与求对于设关于“卷积公式”xy0zyxzyx)()()() 1.(1zYXPzZPzFZzDdxdyyxf),(),(zyxyxDzxzdyyxfdx),(则令作变量替换,:xuyxzZdyyxfdxzF),()(zduxuxfdx),(dudxxuxfz),( .),()()(dxxzxfzFzfZZ或由yzZdxyxfdyzYXPzZPzF),()()()()2():(yux令udyyufdyz),(dudyyyufz ),(dyyyzfzFz

32、fZZ),()()(:,)2() 1 (),()(),(,. 2可推出的结果和从而由则相互独立与如果yfxfyxfYXYXdxxzxfzfZ),()() 1 (;)()(dxxzfxfYXydyyzfzfZ),()()2(.)()(ydyfyzfYX:以上两式称为“卷积公式”,记为23()03303:0,( )2366(1).zxz xZzzxzzzfzeedxee dxee如例 中 当时解解: 由于由于X与与Y相互独立相互独立 222()2411( )( )(),222xz xzZXYfzfx fzx dxedxez 显然ZN(0,2). ),(),(,222211NYNXYX且相互独立与若

33、随机变量).,(222121NYX则.,:),(,2222122212babaNZbYaXZbaRba其中则令不全为零对任意更一般地:,有以下结论情况推广到多个随机变量的.,:),(,), 2 , 1(),(,222222212122211222112121221nnnnnnnniiinaaaaaaNXaXaXaZaaaRaaaniNXXXX其中不全为零且对任意且相互独立设随机变量定理阐明：相互独立且都服从正态分布的随机变定理阐明：相互独立且都服从正态分布的随机变量的线性组合也服从正态分布量的线性组合也服从正态分布. 例例3.16 商的情况商的情况例：设二维随机向量YXZ的密度函数为),(YX

34、),(yxf求的密度函数。解zyxZdxdyyxfzYXPzZPzF),()( 00),(),(zyzydydxyxfdydxyxf于是Z的密度函数为dyyzyfydyyzyyfdyyzyyfzFzfZZ),(|),(),()()(00例例3.18 积的情况积的情况6.(93.3.17.),( ),( );( ),( ).PXYXF xf x YG xg x例教材例最大值与最小值设随机变量 与 相互独立的分布函数为密度函数为的分布函数为密度函数为).(),()(),(,:,min,max:zfzfzFzFNMYXNYXMNMNM和密度函数的分布函数分别求令),()()(:zYzXPzMPzFM

35、解),()()()(zGzFzYPzXP)()()()()()(zGzFzGzFzFzfMM);()()()(zgzFzGzf)()()(zYzXPzNPzFN)()(1),(1zYPzXPzYzXP)(1)(1 1zYPzXP),(1)(1 1zGzF)()(zFzfNN)(1)()(1)(zFzgzGzf7. ( ),1000.,( )( ).XXenXFxfx 例 某型号电子管的寿命已知它的平均寿命为小时一个系统由 个该型号的电子管并联而成 求该系统的寿命 的分布函数和密度函数.0,10, 0)(:),(:100010001xexxFex为的分布函数故由条件可知解,)1 ()()()(,

36、010001nxniXexFxXPxFxi时当0,)1 (10000, 0)(110001000 xeenxxfnxxX110001212, (),1,2, ,:max ,.iinnieinX 设表示第 个电子管的寿命 则并且相互独立 而系统的寿命; 0)()(,0,xXPxFxX时当从而期望随机向量的函数的数学三.:)(:的期望的函数随机变量复习XgX;)()(.), 2 , 1( ,)(:iiiiipxgXEgipxXP已知离散型dxxfxgXEgxfX)()()(),(:已知连续型:,也有类似的结果对于二维随机向量).,(),(YXgYX的函数为设二维随机向量则已知离散型.), 2 ,

37、1,(,),(:) 1 (jipyYxXPijji;),(),(ijjijipyxgYXEg则已知连续型),(),(:)2(yxfYX.),(),(),( dxdyyxfyxgYXEg.,:,),(,),(, 010,8),(),(. 821EWEZYXYXgWXYYXgZyxxyyxfYX求若其它设例1108)()(:xxydyxydxXYEEZ解110323)8(xyxdxxy011y=xdxxx)1 (383102;94)63(381063xx1108)()(xxydyyxdxYXEEWdxyyxxx13102)32(8dxxxx)383204(4102.34)343434(10253x

38、xx1例3.2数学期望的进一步性质四.则的期望都存在与设随机变量,YX(1).(),();E XYE XYEXEY性质存在 且).,(,)(,RbabEYaEXbYaXE其中一般地 证明证明(1)设离散型随机向量设离散型随机向量(X,Y)的结合分布列和的结合分布列和边沿分布列分别为边沿分布列分别为PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,PX=xi=pi., i=1,2,PY=yj=p.j, j=1,2,那么111111)()(jiijjijijiijijjipbypaxpbyaxbYaXE)()(1.1.YbEXaEpybpxajjjiii(2)设延续型随机向量(X,Y)的结合概率密度

39、和边沿概率密度分别为p(x,y)和pX(x), pY(y)那么 dxdyyxpbyaxbYaXE),()()( dxdyyxbypdxdyyxaxp),(),(dydxyxpbydxdyyxpax),(),()()()()(YbEXaEdyybypdxxaxpYX性质性质(2) :设设X,Y是相互独立的随机变量是相互独立的随机变量,那么有那么有 E(XY)=E(X)E(Y)证明证明 (1)设离散型随机向量设离散型随机向量(X,Y)的结合分布列和的结合分布列和边沿分布列分别为边沿分布列分别为PX=xi,Y=yj=pij, i,j=1,2,PX=xi=pi., i=1,2,PY=yj=p.j, j

40、=1,2,那么11.11)(ijjijiijijjippyxpyxXYE)()(1.1.YEXEpypxjjjiii(2)设延续型随机向量(X,Y)的结合概率密度和边沿概率密度分别为p(x,y)和pX(x), pY(y)那么 dxdyyxxypXYE),()( dxdyypxxypYX)()(dyyypdxxxpYX)()()()(YEXE:,有的情况多个随机变量将以上两个性质推广到则的期望都存在设随机变量.,21nXXX;,.1111niiniiniiEXXEXE并且也存在.,.211121niiniiniinEXXEXEXXX并且也存在则相互独立如果10,.,2 , 1, 1, 0iiiX

41、i站有人下车在第站没有人下车在第 例例:一民航送客车载有一民航送客车载有20位旅客自机位旅客自机场开出场开出,旅客有旅客有10个车站可以下车个车站可以下车.如到如到达一个车站没有旅客下车就不停车达一个车站没有旅客下车就不停车.以以X表示停车的次数表示停车的次数,求求E(X). 解解:引入随机变量引入随机变量易知X=X1+X2+X10任一旅客在第i站不下车的概率为9/10.因此20位旅客都不在第i站下车的概率为(9/10)20,在第i站有人下车的概率为1- (9/10)20.即PXi=0= (9/10)20, PXi=1= 1- (9/10)20所以E(Xi)= 1- (9/10)20, i=1

42、,2,10进而E(X)=E(X1+X2+X10)=E(X1)+E(X2)+E(X10)=101- (9/10)20=8.784 注注:此题的特点是将此题的特点是将X分解为数个随机变量的和分解为数个随机变量的和,再求数学期望再求数学期望.此种方法具有普遍意义此种方法具有普遍意义.P103: 3,7,113.4 随机向量的数字特征随机向量的数字特征 对于二维随机向量(X,Y)来说,数学期望E(X)、E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,方差只反映了X与Y各自分开均值的偏离程度,它们对X与Y之间相互关系不提供任何信息. 但二维随机向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描画了(X,Y)

43、的统计规律,也包含有X与Y之间关系的信息.我们希望有一个数字特征可以在一定程度上反映这种联络.一. 协方差).)(),cov(:).,cov(:,)(.,),(7 . 3EYYEXXEYXYXYXEYYEXXEEYEXYX即记作的协方差与则称之为也存在如果都存在与且是二维随机向量设定义:),cov(),(的计算形式有以下求分别机向量对于离散型和连续型随YXYX;)(),cov(:ijijjipEYyEXxYX离散型.),()(),cov(: dxdyyxfEYyEXxYX连续型.)(),cov(,2DXEXXEXXYX 时当特别地:),(. 1的概率分布为已知例YXX3 4 0.4 0.32

44、0.2 0.1).,cov(:YX求Y, 3 . 13 . 027 . 01:EX解, 4 . 34 . 046 . 03EY02. 01 . 0)4 . 34()3 . 12(2 . 0)4 . 33()3 . 12(3 . 0)4 . 34()3 . 11 (4 . 0)4 . 33()3 . 11 (),cov(YX.)(),cov(:,EXEYXYEYX可以利用下式实际计算时)(),cov(:EYYEXXEYX证明)(EXEYYEXXEYXYEEXEYEXEYEYEXXYE)(EXEYXYE)(.证毕.02. 04 . 33 . 14 . 4),cov(:, 4 . 3, 3 . 1,

45、 4 . 4)(:,1YXEYEXXYEXYZ从而又的概率分布求出可由中如例).,cov(:.10),(:,),(. 2YXyxyxGGYX求其中的均匀分布上服从区域设例xy110y=xGyxGyxyxf),(, 0),(, 2),(:显然解,412)(110 xxydydxXYE, 010),1 (2)(其它又xxxfX, 010,2)(其它yyyfY,31)1 (210dxxxEX,322102dyyEY.361323141),cov(YX从而. 0)(),cov(:.)(,:EXEYXYEYXEXEYXYEYX此时可推出相互独立时与当由期望的进一步性质则为任意常数为随机变量设协方差的性质

46、定理,:5 . 321cbaXXYX;),cov() 1 (DXXX);,cov(),cov()2(XYYX);,cov(),cov()3(YXabbYaX; 0),cov()4(Xc).,cov(),cov(),cov()5(2121YXYXYXX 定理定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X)证明证明 Cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y) = E(Y-E(Y) (X-E(X) = Cov(Y,X) 定理定理: Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数是常数证明证明 Cov(aX,bY)=E(aX-E(aX)(bY-E(bY) =Ea(X-E(X)b(Y-E(Y)

47、 =abEX-E(X)Y-E(Y) =abCov(X,Y) 定理定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z)证明证明 Cov(X+Y,Z) =E(X+Y)-E(X+Y)Z-E(Z) = E(X-E(X)+(Y-E(Y)Z-E(Z) = EX-E(X)Z-E(Z) +Y-E(Y)Z-E(Z) =EX-E(X)Z-E(Z) +EY-E(Y)Z-E(Z) =Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).,cov(2)(,.YXDYDXYXDYXYX并且的方差也存在则其方差都存在为随机变量设推论.)(,DYDXYXDYX则相互独立与如果显然).,cov(2)(,22YXabDYbDXabYaX

48、Dba对任意常数更一般地?)(,bYaXDYX则相互独立与如果 定理定理:设设X,Y是两个相互独立的随机变量是两个相互独立的随机变量,那么那么有有D(X+Y)=D(X)+D(Y)证明证明 D(X+Y)=E(X+Y)-E(X+Y)2 =E (X-E(X)+(Y-E(Y)2 = E X-E(X)2+EY-E(Y)2 +2EX-E(X) Y-E(Y) 由于X,Y相互独立,知X-E(X)与Y-E(Y)也相互独立,从而有2EX-E(X) Y-E(Y)=2EX-E(X)E Y-E(Y)=0. 于是得 D(X+Y)=D(X)+D(Y):),(:.,0),cov(:的概率分布为已知例如相互独立与推出不一定可时

49、当需要注意的是YXYXYXXY1010 0.3 0 0.31 0.1 0.2 0.1, 0),cov(, 0)(, 0, 4 . 0YXXYEEYEX则, 3 . 0) 1, 0(:YXPYX不独立与但, 4 . 0) 1(, 6 . 0)0(YPXP而).1()0() 1, 0(YPXPYXP).,cov(2:,), 2 , 1( ,),(6 . 3112112121jijnjiiniiiniiiniiininXXaaDXaXaDDYXaYaaaniDXXXXn并且有的方差存在随机变量则对任意实数都存在其中维随机向量设定理12211,.nnniiiiiiXXXDYDa Xa DX特别地 如果

50、两两独立 则协方差矩阵二.:.,)( :,), 2 , 1,(),cov()., 2 , 1( ,),(8 . 321VXDXnnjiXXniDXnXXXXnnijjiijin或记作简称为协差阵的协方差矩阵称为阶矩阵的构成为元则以都存在且随机向量维是一个设定义),cov(),cov(),cov(),cov(:),(,YYXYYXXXVYX其协差阵为对于二维随机向量特别地DYYXYXDX),cov(),cov(.,阶实对称矩阵为显然nXD:.DX可以证明为非负定矩阵 协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联络,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相

51、互联络和X与Y的相互联络应该是一样的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y) 为了抑制这一缺陷,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进展规范化:)()()()(YDYEYYXDXEXX 再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.3. 相关系数相关系数. 1, 0:,*DXEXX有对于);1 , 0(),(:*2NXXNX则若例如.;),(:*等等则又如npqnpXXpnbX)(),cov(:*EYYEXXEYXYX与对于随机变量)()(*DYEYYDXEXXEYXE.),cov(DYDXYX.),cov(),cov(:,)0(),0(,),(9 . 3*,的相关系数与为则

52、称都存在且为一个二维随机向量设定义YXDYDXYXYXDYDXYXYX. 1:,YX可以证明或规范协方差.,7.(108.3.24),( ,0).:.X YPXYYaXb a baDX例教材例设 与 是两个随机变量 且均为常数 且若存在且大于零求:由协方差的性质解),cov(),cov(baXXYX),cov(),cov(bXaXX),cov(XXa.)(2DXabaXDDY;aDX.),cov(2,aaDXaDXaDXDYDXYXYX. 1,0; 1,0:,YXYXaa时当时当由此可知. 1,YXYX关系时之间具有线性函数与当随机变量YXYXYXYX与即不相关与称随机变量此时完全相反的情况是

53、与, 0:1,) !:.(之间没有任何关系与相互独立是指与注意系之间不具有线性函数关YXYX., 0;, 1,之间的线性关系越弱与表明则的值越接近于反之线性关系越强之间的与表明的值越接近一般地YXYXYXYX 性质性质1:随机变量随机变量X和和Y的相关系数满足的相关系数满足|XY|1.证明证明 令令)()()()(YDYEYYXDXEXX那么)()()()(22YDXDYEYXEXEXY从而|XY|1.22*)*()()()()(YXEYDYEYXDXEXE1)*()*(22YEXE相关系数的性质相关系数的性质 性质2: |XY|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得PY=aX+b=10)()

54、(),(YDXDYXCovXY 性质性质3:假设假设X与与Y相互独立相互独立,那么那么XY=0.证明证明 假设假设X与与Y相互独立相互独立,那么那么E(XY)=E(X)E(Y),又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以 定义定义:(1) 当当XY=1 时时,称称X与与Y正线性相关正线性相关; (2)当当XY=-1 时时,称称X与与Y负线性相关负线性相关; (3)当当XY=0时时,称称X与与Y不相关不相关. 注注:(1) X与与Y不相关不相关,只是意味着只是意味着X与与Y不线性相关不线性相关,但能够存在着别的函数关系但能够存在着别的函数关系;(2)假设假设XY存在存在,那么当那

55、么当X与与Y独立时独立时, X与与Y一定一定不相关不相关;但但X与与Y不相关时不相关时, X与与Y不一定独立不一定独立. 例例:设随机变量设随机变量在在-,上服从均匀分布上服从均匀分布,又又X=sin, Y=cos试求试求X与与Y的相关系数的相关系数.解解 这时有这时有0cos21)(0sin21)(xdxYExdxXE21cos21)(21sin21)(2222xdxYExdxXE0cossin21)(xdxxXYE这时有Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,即=0.从而X与Y不相关,没有线性关系;但是X与Y存在另一个函数关X2+Y2=1,从而X与Y是不独立的.Y X-1010

56、0.070.180.1510.080.320.20解解 X与与Y的分布律分别为的分布律分别为 X-101P0.150.50.35Y01P0.40.6()( 1) 1 0.08 1 1 0.200.12 E XY()( 1)0.151 0.350.20 E X( )1 0.60.6 E Y于是 (, )()()( )0.120.20 0.60Cov X YE XYE XE Y(, )0()( )XYCov X YD XD Y解解 ()( , )E XYdxxy f x y dy()00001x yxydxxyedyxe dxye dy()( , )E Xdxx f x y dy()00001x

57、yxydxxedyxe dxe dy22()( , )E Xdxxf x y dy2()200002x yxydxx edyx e dxe dy( )( , )E Ydxy f x y dy()00001x yxydxyedye dxye dy22()( , )E Ydxyf x y dy2()200002x yxydxy edye dxy e dy那么 22()() ()3D XE XE X22( )() ( )3D YE YE Y于是 (, )()()( )1 1 10Cov X YE XYE XE Y (, )0()( )XYCov X YD XD Y定理定理: 随机变量随机变量X与与Y

58、不相关与以下结论之一等价不相关与以下结论之一等价. (, )0Cov X Y1.()()( )D XYD XD Y2.()()( )E XYE XE Y3.条件数学期望四.:,有特征方面反映在数字互联系随机变量之间取值的相)(10. 3条件期望定义.)., 2 , 1( ,)(:),() 1 (ipyYxXPYXjiji分布的条件概率已知离散型随机向量并称的条件数学期望存在的条件下在则称存在如果.,jjiiiyYXpx.:)(下的条件数学期望的条件在为jjiiijyYXpxyYXE.:)(,望的条件下的条件数学期在为称类似地iijjjixXYpyxXYE:.,)(, )(:),()2(并称望存

59、在的条件下的条件数学期在则称存在如果的条件密度已知连续型随机向量yYXdxyxfxyxfYXYXYX.:)()(望的条件下的条件数学期在为yYXdxyxxfyYXEYX.:)()(:,望的条件下的条件数学期在为称类似地xXYdyxyyfxXYEXY.,2)2(;,0) 1 (:的条件数学期望的条件下在的条件数学期望的条件下在分别求XYYX.(, ):X Y例已知的概率分布为XY21421821212112142120 0 1 2,71)02(31211XYP;76712741720)0(XYE,74)01(31214XYP,72)00(31212XYP:,0,31)0(:) 1 ( :的条件概

60、率分布为的条件下故在由条件知解YXXP.)2122:(EY比较:,2,215)2()2(的条件概率分布为的条件下故在由于XYYP,51)20(215211YXP,54)21(215214 YXP.54541510)2(YXE)32(EX而).()(:., 010,4)(, 010),1 (4)(, 010,8),(),(.1132xXYEyYXEyyyfxxxxfyxxyyxfYXYX与求其它其它其它设例,10:时当由条件可求出解 y, 00,2)(2其它yxyxyxfYX, 01,12)(,102其它时当yxxyxyfxXY;322)(,1020ydxyxxyYXEyy时当.)1 (3)1