第三章_水动力学基础课件

1、第三章水动力学基础 流体力学流体力学目 录 绪论第一章 流体及其主要物理性质第二章 水静力学第三章 水动力学基础第四章 水头损失第五章 有压管道的恒定流动第六章 明渠恒定流第七章 堰流第二章第二章 水动力学基础水动力学基础3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法3.2 3.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念3.3 3.3 连续性方程连续性方程3.4 3.4 液体运动微分方程液体运动微分方程3.5 3.5 伯努利方程伯努利方程3.6 3.6 动量方程动量方程3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法a) a) 流体质点的宏观尺寸非常小。流体质点的宏观尺寸非常小

2、。b) b) 流体质点的微观尺寸足够大。流体质点的微观尺寸足够大。c) c) 流体质点是包含有足够多分子在内的一个物理实体，流体质点是包含有足够多分子在内的一个物理实体，具有一定的具有一定的 宏观物理量。如：宏观物理量。如： 具有质量、密度、温度、压强、还具有速度、加速具有质量、密度、温度、压强、还具有速度、加速度、动量、动能等等度、动量、动能等等d) d) 流体质点的形状可以任意划定。流体质点的形状可以任意划定。流体质点的四个特点：对这些量的描述就着眼于质点和质点通过的空间点两种描述流体运动的观点和方法3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法当地法当地法描述方法描述方法随体法随体

3、法拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法质点轨迹：质点轨迹：)(a,b,c,tr rr r参数分布：参数分布：B = B（x, y, z, t） o 描述流体流动的方法有两种：描述流体流动的方法有两种：o 1）拉格朗日法）拉格朗日法o 2）欧拉法）欧拉法3.1.1 拉格朗日法（拉格朗日法（J.Lagrange）l拉格朗日法拉格朗日法把液体的运动看成把液体的运动看成是是无数质点运动的总和无数质点运动的总和，以个别，以个别质点作为研究对象加以描述，再质点作为研究对象加以描述，再将各质点的运动汇总起来，就得将各质点的运动汇总起来，就得到整个流动的运动规律。到整个流动的运动规律。 x=x（a,b,c,t）

4、 y=y （a,b,c,t） c=c （a,b,c,t）3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法o 运动轨迹、速度、加速度之间的关系可表示为：运动轨迹、速度、加速度之间的关系可表示为：3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法22zztztua22yytytua22xxtxtuatzuztxuxtyuy比较复杂，一般不采用比较复杂，一般不采用3.1.2 欧拉（欧拉（Euler）法）法o 欧拉法欧拉法以充满液体的空间，即以充满液体的空间，即流场为对象流场为对象，观察不同，观察不同时刻流场中各空间点上液体质点的运动参数（流速等）时刻流场中各空间点上液体质点的运动参数（流速等）

5、，将其汇总起来，就形成了对整个流场的描述。，将其汇总起来，就形成了对整个流场的描述。3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法tzyxuu,xxtzyxuu,yytzyxuu,zztzyxpp,tzyx,o 加速度需采用复合函数求导数的方法求出加速度需采用复合函数求导数的方法求出:3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法tuaddxxzuuyuuxuutuxzxyxxxzuuyuuxuutuayzyyyxyyzuuyuuxuutuazzzyzxzz3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法,xtu,ytutuz为某空间点速度随时间的变化率，称为为某空间点速度随时

6、间的变化率，称为时变加速度时变加速度或或当地加速度当地加速度；o其他各项则是该空间点速度由空间点位置变化所引起的加其他各项则是该空间点速度由空间点位置变化所引起的加速度，称为速度，称为位变加速度位变加速度或或迁移加速度迁移加速度。3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法ABAB水箱水位下降，两水箱水管中均有时变加速度；水箱水位下降，两水箱水管中均有时变加速度；水箱水位恒定不变，水箱水位恒定不变，两水箱水管中均两水箱水管中均无时变加速度；无时变加速度；前面水箱水管管径不变，前面水箱水管管径不变，A、B两点速度相同，无位变加速度；两点速度相同，无位变加速度；后面水箱水管管径变化，后面水

7、箱水管管径变化，A、B两点速度不同，有位变加速度。两点速度不同，有位变加速度。3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法两种描述流动的方法之比较两种描述流动的方法之比较不适合描述流体微元的运动变形特性不适合描述流体微元的运动变形特性 适合描述流体微元的运动变形特性适合描述流体微元的运动变形特性 拉格朗日法拉格朗日法 欧拉法欧拉法分别描述有限质点的轨迹分别描述有限质点的轨迹 同时描述所有质点的瞬时参数同时描述所有质点的瞬时参数表达式复杂表达式复杂 表达式简单表达式简单不能直接反映参数的空间分布不能直接反映参数的空间分布 直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布拉格朗日观点是重要的拉

8、格朗日观点是重要的 流体力学最常用的解析方法流体力学最常用的解析方法跟踪跟踪追击布哨守株待兔第二章第二章 水静力学水静力学3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法3.2 3.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念3.3 3.3 连续性方程连续性方程3.4 3.4 液体运动微分方程液体运动微分方程3.5 3.5 伯努利方程伯努利方程3.6 3.6 动量方程动量方程3.23.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念3.2.1概念概念（1）流线和迹线）流线和迹线o 流线流线（stream line）流场中的空间曲线，在同流场中的空间曲线，在同一瞬时线上各点的速度矢量与之

9、相切。一瞬时线上各点的速度矢量与之相切。u1u2u3两流线不能相交或为折线，而是光滑曲线或两流线不能相交或为折线，而是光滑曲线或直线。直线。l某时段内，液体质点经过的轨迹称某时段内，液体质点经过的轨迹称迹线迹线（path line）。）。l迹线与流线是完全不同的两个概念。恒定流时，流线与迹线重合迹线与流线是完全不同的两个概念。恒定流时，流线与迹线重合3.23.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念（2）流量与断面平均流速）流量与断面平均流速o 单位时间内通过过水断面液体的体积，称为体积流单位时间内通过过水断面液体的体积，称为体积流量，简称流量，单位为立方米每秒（量，简称流量，单位为立

10、方米每秒（m3/s）o 若以若以dA表示元流过水断面面积，表示元流过水断面面积，u 表示该断面流表示该断面流速，则总流流量为速，则总流流量为AAuQd除体积流量外，还可有质量流量及重量流量等。除体积流量外，还可有质量流量及重量流量等。3.23.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念o 为便于计算，设想过水断面上流速均匀分布，即各点流速相同为便于计算，设想过水断面上流速均匀分布，即各点流速相同，通过的流量与实际相同，于是定义，通过的流量与实际相同，于是定义v 为该断面的断面平均流为该断面的断面平均流速（速（mean velocity） ，表示为，表示为 或或AAuQvAdAQvuv3.

11、23.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念3.2.2运动液体的分类运动液体的分类（1）恒定流和非恒定流（）恒定流和非恒定流（steady and unsteady flows）恒定流恒定流流场中各空间点的运动要素（流速等）均不随流场中各空间点的运动要素（流速等）均不随时间变化的流动，反之为非恒定流。对于恒定流：时间变化的流动，反之为非恒定流。对于恒定流：l恒定流时，时变加速度为零。恒定流时，时变加速度为零。zyxuu,xxzyxuu,yyzyxuu,zzzyxpp,zyx,3.23.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念（ ）一元、二元和三元流动）一元、二元和三元流动 （

12、one / two / three dimensional flows） 流动参数（如流速）是三个空间坐标的函数，流动流动参数（如流速）是三个空间坐标的函数，流动是三元的。其他依此类推。是三元的。其他依此类推。3.23.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念（3）均匀流和非均匀流（）均匀流和非均匀流（uniform and nonuniform flows） 流线为平行直线的流动为流线为平行直线的流动为均匀流均匀流，否则为，否则为非非均匀流均匀流。 非均匀流又包括非均匀流又包括渐变流渐变流与与急变流急变流。 流线接近平行直线的流动为渐变流，否则为流线接近平行直线的流动为渐变流，否则为

13、急变流。急变流。 3.23.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念（4）元流与总流）元流与总流 流场中取一非流线的封闭曲线，通过曲线上各点的流场中取一非流线的封闭曲线，通过曲线上各点的流线所构成的管状表面称为流线所构成的管状表面称为流管流管。恒定流时，流管形状保持不变。恒定流时，流管形状保持不变。 3.23.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念与流管上所有流线都正交的横断面称为与流管上所有流线都正交的横断面称为过水断面过水断面（cross section）。流线相互平行时，过水断面为平面，否则为）。流线相互平行时，过水断面为平面，否则为曲面。曲面。过水断面为无限小时，流管

14、及其内部的液体称为过水断面为无限小时，流管及其内部的液体称为元流元流（elementary flow ）。元流的几何特征与流线相同。）。元流的几何特征与流线相同。 过水断面为有限大小时，流管及其内部的液体称为过水断面为有限大小时，流管及其内部的液体称为总流总流（total flow）。总流是由无数元流组成。）。总流是由无数元流组成。o 质量守恒定律质量守恒定律o 能量守恒定律能量守恒定律o 动量定理动量定理o 连续性方程连续性方程o 能量方程（伯努利方能量方程（伯努利方程）程）o 动量方程动量方程第二章第二章 水静力学水静力学3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法3.2 3.2

15、研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念3.3 3.3 连续性方程连续性方程3.4 3.4 液体运动微分方程液体运动微分方程3.5 3.5 伯努利方程伯努利方程3.6 3.6 动量方程动量方程3.3 3.3 连续性方程连续性方程考虑到考虑到：形状不变；形状不变； （2）连续介质，元流内部无间隙；）连续介质，元流内部无间隙；（1）恒定流时，元流）恒定流时，元流A1 A2 u1 u2 dA1 dA2 （3 3）流线性质，流管侧壁无液体流入流出）流线性质，流管侧壁无液体流入流出。根据质量守恒定律，单位时间内从根据质量守恒定律，单位时间内从dA1流入液体的质量流入液体的质量等于从等于从dA2 流出

16、液体的质量，即流出液体的质量，即222111AuAudd3.3 3.3 连续性方程连续性方程QAuAuddd2211对于不可压缩液体，有对于不可压缩液体，有对总流过水断面积分，得对总流过水断面积分，得或或于是于是21或或QAuAu2211dd21QQ 2211AAvv连续性方程是质量守恒定律的水力学表达式。连续性方程是质量守恒定律的水力学表达式。流出流入QQ或或3.3 3.3 连续性方程连续性方程问题一：问题一：水由水箱经等直径圆管满管向下流，沿途流速如何变化水由水箱经等直径圆管满管向下流，沿途流速如何变化？问题二：问题二：M I T（Massachusetts Institute of Te

17、chnology）教学楼下的风。）教学楼下的风。100100 mile/hr第二章第二章 水静力学水静力学3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法3.2 3.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念3.3 3.3 连续性方程连续性方程3.4 3.4 液体运动微分方程液体运动微分方程3.5 3.5 伯努利方程伯努利方程3.6 3.6 动量方程动量方程3.3.4 4 液体运动微分方程液体运动微分方程x理想液体内取边长分别为理想液体内取边长分别为dx,dy,dz的微元六面体，的微元六面体，pMzbdxbaazyxdydzOcddcpN 受力和运动情况。受力和运动情况。中心点中心点

18、O(x,y,z)压强压强p(x,y,z)、流速、流速u(x,y,z)。根据牛顿第二定律，以根据牛顿第二定律，以x方向为例，分析微元六面体的方向为例，分析微元六面体的3.3.4 4 液体运动微分方程液体运动微分方程tuxpXdd1xtuypYdd1ytuzpZdd1z 液体运动微分方程液体运动微分方程，由欧拉（，由欧拉（Euler)Euler)于于17551755导出，导出，又称又称欧拉运动微分方程欧拉运动微分方程。第二章第二章 水静力学水静力学3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法3.2 3.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念3.3 3.3 连续性方程连续性方程3.

19、4 3.4 液体运动微分方程液体运动微分方程3.5 3.5 伯努利方程伯努利方程3.6 3.6 动量方程动量方程o 恒定元流的能量方程恒定元流的能量方程 理想液体恒定元流的能量方程理想液体恒定元流的能量方程 实际液体恒定元流的能量方程实际液体恒定元流的能量方程o 恒定总流的能量方程恒定总流的能量方程3.3.5 5 伯努利方程伯努利方程3.3.5 5 伯努利方程伯努利方程3.5.1 理想液体运动微分方程的伯努利积分理想液体运动微分方程的伯努利积分 恒定元流的能量方程恒定元流的能量方程将欧拉运动微分方程各式分别乘以流线上微元线段的将欧拉运动微分方程各式分别乘以流线上微元线段的投影投影 dx、dy

20、和和 dz，然后相加，然后相加zzpyypxxpzZyYxXddd1dddztuytuxtudddddddddzyx3.3.5 5 伯努利方程伯努利方程o 引入限定条件：引入限定条件：（1）作用在液体上的质量力只有重力，即）作用在液体上的质量力只有重力，即 于是于是 Xdx + Ydy + Zdz = gdz（2）不可压缩液体做恒定流动时）不可压缩液体做恒定流动时= const，p = p ( x, y, z )X = Y= 0，Z =gppzzpyypxxpdd1ddd1于是于是（3）恒定流动时，流线与迹线重合）恒定流动时，流线与迹线重合 dx = uxdt，dy = uydt，dz = u

21、zdt 于是于是zzyyxxzyxdddddddddddduuuuuuztuytuxtu2d2d22z2y2xuuuu于是于是zzyyxxzyxdddddddddddduuuuuuztuytuxtu2d2d22z2y2xuuuu于是于是zzyyxxzyxdddddddddddduuuuuuztuytuxtu3.3.5 5 伯努利方程伯努利方程将限定条件代回原方程将限定条件代回原方程积分积分该式由瑞士物理学家伯努利于该式由瑞士物理学家伯努利于17381738年推出，称年推出，称伯努利方程伯努利方程。 2ddd2upzgconst22upgzgugpzgugpz2222222111const22g

22、ugpz或或同除以同除以g伯努利伯努利 Daniel Bernoulli 1700年生于荷兰的格罗宁根，年生于荷兰的格罗宁根，5岁同家人回迁瑞士的巴塞尔。岁同家人回迁瑞士的巴塞尔。 1782年，逝世于瑞士的巴塞尔，享年，逝世于瑞士的巴塞尔，享年年82岁。曾在巴塞尔等多所大学学岁。曾在巴塞尔等多所大学学习。习。1716年获艺术硕士学位；年获艺术硕士学位；1721年又获医学博士学位。年又获医学博士学位。25岁为岁为圣彼得堡科学院的数学院士。圣彼得堡科学院的数学院士。8年后年后回到瑞士的巴塞尔，先后任解剖学、回到瑞士的巴塞尔，先后任解剖学、植物学教授和物理学教授。植物学教授和物理学教授。 1738年

23、出版了年出版了流体动力学流体动力学一书，给出了流体动力学的基本一书，给出了流体动力学的基本方程，后人称之为方程，后人称之为“伯努利方程伯努利方程” 。 他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应。他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应。 1728年起，他和欧拉还共同研究柔韧而有弹性的链和梁的力年起，他和欧拉还共同研究柔韧而有弹性的链和梁的力学问题，还研究了弦和空气柱的振动。学问题，还研究了弦和空气柱的振动。 伯努利的贡献还涉及到医学、力学、数学等各个方面。伯努利的贡献还涉及到医学、力学、数学等各个方面。伯努利方程的意义伯努利方程的意义沿元流机械能守恒，故又称能量方程。沿

24、元流机械能守恒，故又称能量方程。mgmgzz mgmghhgpgugpz22单位重量液体所具有的位置势能，或位能；单位重量液体所具有的位置势能，或位能；单位重量液体所具有的压强势能，或压能；单位重量液体所具有的压强势能，或压能；gpz单位重量液体所具有的总势能；单位重量液体所具有的总势能；mgmugu22212单位重量液体所具有的动能；单位重量液体所具有的动能；单位重量液体所具有的机械能；单位重量液体所具有的机械能；cgugpz22某点到基准面的位置高度，或某点到基准面的位置高度，或位置水头位置水头；该点的测压管高度，或该点的测压管高度，或压强水头压强水头；该点测压管液面的总高度，或该点测压管

25、液面的总高度，或测压管水头测压管水头；该点的流速高度，或该点的流速高度，或流速水头流速水头；该点的该点的总水头总水头；沿元流各点总水头相等，总水头线水平。沿元流各点总水头相等，总水头线水平。3.3.5 5 伯努利方程伯努利方程o 毕托管（毕托管（Pitot tube）与流速水头）与流速水头 1730年法国工程师毕托用一根前端弯成直角的玻璃管测年法国工程师毕托用一根前端弯成直角的玻璃管测量塞纳河水的流速。量塞纳河水的流速。h由此可见，由此可见，测速管（毕托管）与测压管之差即流速水头测速管（毕托管）与测压管之差即流速水头。A B由于由于A、B两点距离很近，两点距离很近，两点的机械能相等，即两点的机

26、械能相等，即gpgugpB2AA2或或hgpgpguAB2A23.3.5 5 伯努利方程伯努利方程 3.5.2 实际液体元流伯努利方程实际液体元流伯努利方程 实际液体具有黏滞性，流动阻力消耗机械能。实际液体具有黏滞性，流动阻力消耗机械能。2222222111lhgugpzgugpz1zgp1gu2212zgp2gu222lh实际液体元流伯努利方程可为实际液体元流伯努利方程可为3.3.5 5 伯努利方程伯努利方程3.5.3 实际液体总流的伯努利方程实际液体总流的伯努利方程 总流是元流的集合，不同的元流存在着不同的运动状总流是元流的集合，不同的元流存在着不同的运动状态，因此将元流伯努利方程用于总流

27、时必须考虑：态，因此将元流伯努利方程用于总流时必须考虑： （1）在总流计算中，所取两计算断面必须为渐变流）在总流计算中，所取两计算断面必须为渐变流过水断面。过水断面。cgpz123流线有圆弧运动，质量力除重力外，流线有圆弧运动，质量力除重力外，还有惯性力，故无上式的关系。还有惯性力，故无上式的关系。 而在急变流过水断面上，由于而在急变流过水断面上，由于3.3.5 5 伯努利方程伯努利方程AAu3A3dvgQgAggAgugu2d2d2222vvv值取决于断面流速分布，通常取值取决于断面流速分布，通常取= 1。3.3.5 5 伯努利方程伯努利方程hl代元流的水头损失代元流的水头损失 hl 。 得

28、实际液体总流的伯努利方程得实际液体总流的伯努利方程lhggpzggpz222222221111vv或总流能量方程。或总流能量方程。3.3.5 5 伯努利方程伯努利方程 总流伯努利方程的适用条件总流伯努利方程的适用条件由于在总流伯努利方程推导过程中使用了若干限定条件，由于在总流伯努利方程推导过程中使用了若干限定条件，因此在使用总流伯努利方程时，首先要因此在使用总流伯努利方程时，首先要恒定流动；恒定流动； 质量力只有重力；质量力只有重力；不可压缩流体；不可压缩流体； 渐变流过水断面渐变流过水断面；两断面间无分流或合流；两断面间无分流或合流； 两断面间无能量输入或输出两断面间无能量输入或输出。【例例

29、 1】用直径用直径 D = 100mm 的水管自开口水箱引水。水箱的水管自开口水箱引水。水箱水面与管道出口断面中心的高差水面与管道出口断面中心的高差 H = 4m 且保持恒定，水头且保持恒定，水头损失损失 hl = 3m。求管道流量。求管道流量 Q 。【解解】由总流伯努利方程由总流伯努利方程1.选取基准面选取基准面 0-0；lhggpzggpz222222221111vvz1= H，z2= 0；p1= 0，p2= 0；v1= 0，v2 待求；令待求；令=1。于是于是HD002.选取计算断面选取计算断面 1-1 和和 2-2；1122lhgH222vs /m43. 422lhHgvs /m035

30、. 0322AQv【例例 2】离心泵由水池抽水。已知泵的安装高度为离心泵由水池抽水。已知泵的安装高度为 Hs =5m，泵的抽水量泵的抽水量 Q = 5.56 L/s，泵的吸水管直径，泵的吸水管直径 D =100mm，吸水，吸水管的水头损失管的水头损失 hl = 0.25mH2O。试求水泵进口处的真空度。试求水泵进口处的真空度。DH【解解】由伯努利方程由伯努利方程1.取基准面取基准面0-0；002.取计算断面取计算断面1-1，2-2；z1 = 0，z2 = Hs；p1= pa，p2待求。待求。v1 = 0，v2 可求；令可求；令=1。lhggpHgp2222sav其中其中s/m708. 02AQ

31、vm28. 5222s2avlhgHgppgpvPa5174028. 5vgp1122【例例 3】文丘里（文丘里（Venturi) 流量计。已知进口直径流量计。已知进口直径 D1 =100mm，喉管直径喉管直径 D2 = 50mm，测压管水头差，测压管水头差 h = 0.6m（或水银差压计（或水银差压计液面差液面差 hm= 4.76cm），流量系数），流量系数=0.98，试求输水流量。，试求输水流量。【解解】由伯努利方程由伯努利方程1.取基准面取基准面0-0；002.取计算断面取计算断面1-1，2-2；1122hhm水头损失忽略不计，则水头损失忽略不计，则ggpzggpz2222222111v

32、v列伯努利方程列伯努利方程令令= 1。z1z2再将连续性方程再将连续性方程2211AAvv于是，流量为于是，流量为与上式联立求得与上式联立求得gpzgpzgDD22114211211v令仪器常数为令仪器常数为 KgDDDK214142121s/L38. 62211hKgpzgpzKQ或或s/L38. 66 .12mhKQ【练习题练习题】如图所示，设某虹吸管如图所示，设某虹吸管a=2m，h=6m，d=15m。Z11122SahZ2试求：试求：（1）管内的流量）管内的流量Q；（2）管内最高点）管内最高点S的压强；的压强；（3）若）若h不变，点不变，点s继续升高继续升高（即（即a增大，而上端管口始终

33、增大，而上端管口始终浸入水内），问使虹管内的水浸入水内），问使虹管内的水不能连续流动的不能连续流动的a值为多大？值为多大？3.3.5 5 伯努利方程伯努利方程3.5.4 有能量输入或输出的伯努利方程有能量输入或输出的伯努利方程lhggpzHggpz2222222m21111vv11221122水泵水泵水轮机水轮机式中式中 +Hm单位重量流体获得的机械能，如水泵的扬程；单位重量流体获得的机械能，如水泵的扬程；-Hm单位重量流体失去的机械能，如水轮机的水头。单位重量流体失去的机械能，如水轮机的水头。3.3.5 5 伯努利方程伯努利方程3.5.5有分流或合流的伯努利方程有分流或合流的伯努利方程212

34、22222111122lhggpzggpzvv方程可为方程可为11112233或者或者31233332111122lhggpzggpzvv第二章第二章 水静力学水静力学3.1 3.1 液体运动的描述方法液体运动的描述方法3.2 3.2 研究流体运动的基本概念研究流体运动的基本概念3.3 3.3 连续性方程连续性方程3.4 3.4 液体运动微分方程液体运动微分方程3.5 3.5 伯努利方程伯努利方程3.6 3.6 动量方程动量方程3.3.6 6 动量方程动量方程 总流内任取元流，过水断总流内任取元流，过水断面面积面面积dA1和和dA2，流速分别，流速分别为为 u1 和和 u2 。经。经 dt时间

35、，时间，元流的动量增量为：元流的动量增量为：t2 1 11dtt 222 121 2 1dKKKKKKK恒定流动，恒定流动，dt 前后元流重叠部分动量相同，故前后元流重叠部分动量相同，故11221122dA1dA2u1u211112222 11 22ddddduAtuuAtuKKK3.3.6 6 动量方程动量方程取过水断面为渐变流断面，各点的流速接近平行并令取过水断面为渐变流断面，各点的流速接近平行并令iuu 动量定理动量定理则有则有对于不可压缩液体，密度等于常数。若对于不可压缩液体，密度等于常数。若以断面平均流速以断面平均流速 v 代代iuAtuiuAtuK12A1111A2222ddddd

36、1122dddvvtQKtF替真实流速替真实流速 u ，需引入动量修正系数，需引入动量修正系数。于是根据质点系。于是根据质点系3.3.6 6 动量方程动量方程若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为1122vvQF得恒定总流动量方程得恒定总流动量方程流入流出vvQQF【例例4】水平输水弯管。直径由水平输水弯管。直径由 D1 = 200mm经经= 60o转角变转角变为为D2 = 150mm。已知转弯前断面的表压强。已知转弯前断面的表压强 p1= 18 kPa，输水，输水流量流量Q = 0.1 m3/s，不计水头损失，求水流对弯管的作用力。，不计水头损失，求水流对弯管的作用力。【解解】D1D21.取控制体；取控制体；11222.取坐标系；取坐标系；xoy3.找出控制体上所受外力；找出控制体上所受外力；p1p2FRyFRx4.将动量方程分别投影在将动量方程分别投影在不同的坐标轴上，即不同的坐标轴上，即1122Rx2P1P60cos60cosvvQFFF060sin60sin22Ry2PvQFF上式中上式中FP2= p2 A2 中的中的 p2 需通过列需通过列1-2断面间的伯努利方程求得。断面间的伯努利方程求得。