高等数学11.1多元函数的概念二元函数的极限和连续性1ppt课件

1、高高 等等 数数 学学主讲人主讲人 宋从芝宋从芝河北工业职业技术学院河北工业职业技术学院11.1 11.1 多元函数的概念多元函数的概念 二元函数的极限和延续性二元函数的极限和延续性一、多元函数的根本概念一、多元函数的根本概念1. 1. 二元函数的定义二元函数的定义设有三个变量设有三个变量 x , y 和和 z , D是一给定的非空点集。是一给定的非空点集。变量变量 z 按按总有独一确定的值与之对应，总有独一确定的值与之对应，那么称那么称 z 是是记为记为 定义定义1 1, ),(yxfz 假设当假设当x , y 在在D中恣意取定一对值中恣意取定一对值(x , y )时时, 照一定的法那么照一

2、定的法那么 x , y 的二元函数，的二元函数， 点集点集 D称为称为 函数的定义域函数的定义域 . 其中其中 x, y 称为自变量，称为自变量， z 称为因变量称为因变量二元函数在点二元函数在点 ( x0 , y0) 所获得的函数值记所获得的函数值记为为00,xxyyz 00(,)z xy00 (,).f xy或例例 1,1)sin(2yxyz 设设(,1)2z 求求 以及以及 n 元函数元函数 u = f (x1 , x2 , , xn)，类似地，类似地， 可以定义三元函数可以定义三元函数 u = f ( x , y , z ) 多于一个自变量的函多于一个自变量的函数统称为多元函数数统称为

3、多元函数.解解 sin(1)221112(,1)2z 二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线二元函数的定义域有时是由一条或几条曲线所围成的区域，用所围成的区域，用 D 表示表示.二元函数的定义域二元函数的定义域围成区域的曲线称为围成区域的曲线称为区域的边境，不包括边境的区域称为开区域区域的边境，不包括边境的区域称为开区域. 连连同边境在内的区域称闭区域，同边境在内的区域称闭区域， 假设一个区域可以假设一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径圆内，那么称此区域为有界区域那么称此区域为有界区域.求以下函数的定义域求以下函数的定义域 D， 并画出

4、并画出 D 的图形：的图形：;3arcsin2arcsin)1(yxz 22221(2)4.1zxyxy 例例 2 2 arcsin arcsin , 23xyz 因因为为要要使使函函数数有有意意义义;3arcsin2arcsin)1(yxz 应有应有解解,13y ,12x所以函数的定义域所以函数的定义域 D 是以是以 x = 2 , y = 3 为边境的矩形闭区域为边境的矩形闭区域. ,22 x即即,33y xyO32 3 3 2 2 由于要使函数由于要使函数1142222 yxyxz应有应有是有界区域是有界区域.所以函数定义域是以原点为圆心的环形区域，所以函数定义域是以原点为圆心的环形区域

5、，,0122 yx ,0422yx即即 1 x2 + y2 4xy21O有意义，有意义，.114)2(2222 yxyxz解解 设设D 由由 y = 1 , x = 2 , y = x 围成围成.例例 3 3x型区域型区域y型区域型区域的不等式组来表示平面区域的不等式组来表示平面区域 D : 求形如求形如)()(21xyyxy , dyc或或)()(21yxyxx ,bxaD 由由 y = 1 , x = 2 , y = x 围成围成.y = xy = 1x = 2 xyO1 2 12 先做出区域先做出区域 D 的图形，的图形， 直线直线 y = x , y = 1 交于交于y = x, y

6、= 2 的交点为的交点为(2 , 2).解解点点 (1 , 1).再将再将 D 投影到投影到 x 轴上，轴上，得到区间得到区间 1 , 2， 那么区那么区域域 D 内任一点的横坐标内任一点的横坐标 x ，在在 1 , 2 内任取一点内任取一点 x ，作平行于作平行于 y 轴的直线轴的直线，由图可知，由图可知， 对于所给的对于所给的 x , D 内对应的纵坐标内对应的纵坐标 y 满足：满足：满足不等式满足不等式 ,21x,1xyy = xy = 1x = 2 xyO1 2 12.1xy ,21x那么区域那么区域 D 表示成表示成 x 型区域为型区域为 x假想象把假想象把 D 表示成表示成 y 型

7、区域，型区域，那么将那么将 D 投影到投影到 y 轴上，轴上，所以在所以在 y 轴上得到区间轴上得到区间 1 , 2. 在区间在区间 1, 2 内恣意取内恣意取一点一点 y ,作平行于作平行于 x 轴的直线，轴的直线， 由图可知对于所给的由图可知对于所给的 y ，D 内对应点的横坐标内对应点的横坐标 x 满足满足,2xy故故 D 表示成表示成 y 型区域为型区域为 ,21y.2xyy = xy = 1x = 2 xyO1 2 12y在平面直角坐标系中一元函数在平面直角坐标系中一元函数y=f(x)普通表示普通表示一条曲线。类似地，在空间直角坐标系中二元函数一条曲线。类似地，在空间直角坐标系中二元

8、函数z=f(x,y)普通表示一个空间曲面。普通表示一个空间曲面。2.2.二元函数的几何意义二元函数的几何意义例如：例如：ax+by+cz+d=0平面平面(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2 球面球面只需两个变量的是柱面只需两个变量的是柱面y=x2 抛物柱面抛物柱面的常数的常数 A ，那么称，那么称 A 为函数为函数 z = f (x , y) 当当(x , y)(x0 , y0) 时的极限，时的极限，二、二元函数的极限二、二元函数的极限 设函数设函数 z = f (x , y)在点在点 P0(x0 , y0)的近旁有定义的近旁有定义(点点 P0 可以除外可以除外)。 假设当点假

9、设当点 P(x , y)以任何方式无限接以任何方式无限接近于点近于点 P0(x0 , y0)时，时，,lim00Ayxfyyxx ) )( (记为记为定义定义2 2函数函数 f (x , y)无限无限 接近于一个确定接近于一个确定.)sin(lim 222200yxyxyx 求求 例例 4 4令令 u = x2 + y2 ，222200sin()limxyxyxy 有时可以转化成一元函数的有时可以转化成一元函数的极限问题极限问题.二元函数的极限问题二元函数的极限问题解解所以所以0sinlimuuu 1 . 由于当由于当x0，y0时时, 有u0。2222sin() lim.xyxyxy 求求 例

10、例 5 52222sin()limxyxyxy 解解所以所以0 . 当当x，y时时,221xy 是无穷小量，22sin()xy 22221= limsin()xyxyxy 是有界函数。00 lim.11xyxyxy 求求 例例 6 6 ,0,),(2222yxyxxyyxg例例7 70,022 yx.)0,0(),(时极限是否存在时极限是否存在当当yx调查函数调查函数当当 ( x, y ) 沿沿 y 轴趋向于原点，轴趋向于原点，00lim ( , )xyg x y 解解而当点而当点 (x, y) 沿沿 y 轴趋向于原点轴趋向于原点，有有即当即当y=0而而 x0时，时，有有0lim ( ,0)x

11、g x 0lim0 x 0 , 即当即当x=0而而 y0时，时，00lim ( , )xyg x y 0lim ( ,0)yg x 0lim0y 0 . ,1lim),(lim),(lim222220000kkxkxkxkxxgyxgxxkxyx 即当即当 y = k x ，,0时时而而x但是，当点但是，当点( x , y )沿着直线沿着直线 y = k x ( k 0 )趋向于趋向于点点(0, 0) 时，时， . ),(lim 00不不存存在在故故极极限限yxgyx,12的值也不同的值也不同kk 随着随着 k 的取值不同，的取值不同，且且 设函数设函数 z = f(x , y) 在点在点 P

12、0(x0 , y0)及其近及其近旁旁有定义，有定义， 00lim( , )xxyyf x y1. 1. 二元函数的延续定义二元函数的延续定义三、二元函数的延续性三、二元函数的延续性 定义定义3 3那么称函数那么称函数 z = f(x, y) 在点在点 P0(x0, y0) 处延续处延续.00(,) ,f xy 假设函数假设函数 z = f (x , y) 在区域在区域 D 内各点都延续内各点都延续，那么称函数那么称函数 z = f (x , y) 在区域在区域 D 内延内延续续.222112 lim.1xyxyxy 求求 例例 8 8此函数为初等函数，它的定义域为此函数为初等函数，它的定义域为D= (x , y)|x2 + y2 1，222112lim1xyxyxy 解解而而(1,1)1 . 所以所以D 有界闭区域上延续有界闭区域上延续的二元函数，在该区域上一定能获得最大值和最小值的二元函数，在该区域上一定能获得最大值和最小值. 有界闭区域上延续的二元函数必有界闭区域上延续的二元函数必能获得它