平面向量的加法运算

1、2.2.1 2.2.1 向量加法运算向量加法运算 及其几何意义及其几何意义复习引入复习引入向量的定义及有关概念向量的定义及有关概念:（1）向量是既有大小又有方向的量）向量是既有大小又有方向的量.（2）大小相等、方向相同的向量）大小相等、方向相同的向量相相 等等.与与起起 点位置无关。点位置无关。问题问题: 数可进行加法运算，例如：数可进行加法运算，例如：123 向量可以相加吗？如果可以该向量可以相加吗？如果可以该如何如何定义向定义向量的加法？模为量的加法？模为1 的向量与模为的向量与模为2的向量相的向量相加是否一定是加是否一定是模模为为3的向量呢？的向量呢？复习引入复习引入 上海上海香港香港台

2、北台北情境设置情境设置（一）（一）上海上海香港香港台北台北OAB情境设置情境设置（一）（一）OABOA+AB=OBF1F2FEOOE1.橡皮橡皮条在力条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点. 2.橡皮橡皮条在力条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.问问:力力F与力与力F1、F2有怎样的关系？有怎样的关系？F1+F2=F情境设置情境设置（二）（二）F1F2F1F2F FEOOE例如例如:橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到

3、了O点点.问问:力力F与力与力F1、F2有怎样的关系？有怎样的关系？F1+F2=F F是以是以F1与与F2为邻边所形成为邻边所形成的的 平行四边形平行四边形的对角线的对角线情境设置情境设置（二）（二）F1F2F1F2FFEOOE例如例如:橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.问问:力力F与力与力F1、F2有怎样的关系？有怎样的关系？F1+F2=F F是以是以F1与与F2为邻边所形成为邻边所形成的的 平行四边形平行四边形的对角线的对角线情境设置情境设置（二）（二）OA

4、BCF1F2F1F2FFEOOE例如例如:橡皮条在力橡皮条在力F1与与F2的作用下的作用下,从从E点伸长到了点伸长到了O点点.同时橡皮条在力同时橡皮条在力F的作用下也从的作用下也从E点伸长到了点伸长到了O点点.问问:力力F与力与力F1、F2有怎样的关系？有怎样的关系？F1+F2=F F是以是以F1与与F2为邻边所形成为邻边所形成的的 平行四边形平行四边形的对角线的对角线情境设置情境设置（二）（二）OABCOA+OB=OC 上述事例上述事例表明，两个向量可以相表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个加，并且两个向量的和还是一个向量向量. .一般地，求两个向量和的运算，一般地，求两个向量和

5、的运算，叫做向量的加法叫做向量的加法. .AC 两种两种方法做出的结果一样吗方法做出的结果一样吗?为什么？为什么？任意给出两个向量任意给出两个向量a与与b.如何求如何求a+ b.ababBa + babBOACa + bACBCABbbaba三三 角角 形形 法法 则则:平行四边形法则平行四边形法则:AC任意给出两个向量任意给出两个向量a与与b.如何求如何求a+ b.ababBa + babBOACa + bb位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型.力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理

6、模型. 两种两种方法做出的结果一样吗方法做出的结果一样吗?为什么？为什么？向量加法的三角形法则向量加法的三角形法则:1.将向量平移使得它们将向量平移使得它们首尾相连首尾相连2.和向量即是第一个向量的和向量即是第一个向量的首首指向第二个向量的指向第二个向量的尾尾向量加法的平行四边形法则向量加法的平行四边形法则:1.将向量平移到将向量平移到同一起点同一起点2.和向量即以它们作为邻边和向量即以它们作为邻边平行四边形的共起点的对角线平行四边形的共起点的对角线ababa + bbaa + b,00aaaa对于零向量与任一向量我们规定方法提炼方法提炼 例例1 1：向量：向量 为北偏东为北偏东4545, ,

7、大小为大小为3cm,3cm,向量向量 为为北偏西北偏西6060, ,大小为大小为4cm4cm，用向量加法用向量加法三角形法则作三角形法则作出出ababababABC4560ABBACC 首首尾顺次尾顺次相接相接首指向尾为和首指向尾为和例题例题1 1：向量：向量 为北偏东为北偏东4545, ,大小为大小为3cm,3cm,向量向量 为为北偏西北偏西6060, ,大小为大小为4cm4cm，用加法三角形法则作出，用加法三角形法则作出ababABC4560练习练习1 1平行四边形法则平行四边形法则ababABC4560ABAADC D起点相同起点相同，共点对角线，共点对角线为为和和ABBACC 首尾顺次

8、相接首尾顺次相接首指向尾为和首指向尾为和ababABC4560o A Ba+b=OB 问：若向量问：若向量 与与 共线，如何求向量共线，如何求向量 +o A Ba+b=OB O Aa+b=OA 问：若向量问：若向量 与与 共线，如何求向量共线，如何求向量 +(2)探究探究：?abab什 么 时 候?abab什么时候) ?ababba什 么 时 候（ 或(2)探究探究：?abab什 么 时 候?abab什么时候) ?ababba什 么 时 候（ 或,;ababab当向量 与 不共线时则(2)探究探究：?abab什 么 时 候?abab什么时候) ?ababba什 么 时 候（ 或,;abab a

9、 babab当向量 与 同向时 则、 、同向 则,;ababab当向量 与 不共线时则(2)探究探究：?abab什 么 时 候?abab什么时候) ?ababba什 么 时 候（ 或,;abab a babab当向量 与 同向时 则、 、同向 则,;abababaabababba当向量 与 反向时 若则的方向与 相同 且反之,;ababab当向量 与 不共线时则向量加法的运算律：向量加法的运算律：问题：问题：OB a b b a ?baab的结果与是否相同baba向量加法的运算律：向量加法的运算律：问题：问题：OB a b b a ?baab的结果与是否相同babaa bba （一）向量加法的

10、交换律（一）向量加法的交换律()()abcabc吗？你你能证明向量加法的结合律能证明向量加法的结合律:?吗()()abcabc吗？你你能证明向量加法的结合律能证明向量加法的结合律:ABCab()()abcabc吗？你你能证明向量加法的结合律能证明向量加法的结合律:ABCab()()abcabc吗？你你能证明向量加法的结合律能证明向量加法的结合律:ADBCab()()abcabc吗？你你能证明向量加法的结合律能证明向量加法的结合律: ADBCabc?吗吗ba ()abcab()()abcabc吗？你你能证明向量加法的结合律能证明向量加法的结合律:ADBCabccba )(abc（）bc()()a

11、bcabc吗？ 你能证明向量加法的结合律你能证明向量加法的结合律:ADBACabccba )(abc（）bcab()abc()ABBCCD 化简练习练习1：学以致用学以致用 CD ()ABBCCD 化简ABCD()ABBCCD 解：AC练习练习1：学以致用学以致用()ABBCCD 化简ABCD()ABBCCD 解：AC练习练习1： CD 学以致用学以致用CDBCAB )(化简化简ABCD()ABBCCD 解：AC练习练习1： CD AD学以致用学以致用()ABBCCD 化简AB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如

12、何？AB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如何？CAB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如何？DAB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如何？CDAB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如何？CDEAB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向

13、量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如何？CDEFAB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如何？CDEFJAB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如何？CDEFJAB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如何？CDEFJAB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如何？CDEFJ

14、AB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如何？CDEFJAB 如果三个向量相加，四个向量相加，如果三个向量相加，四个向量相加，n 个向量相加，和向量又如何？个向量相加，和向量又如何？CDEFJABBCCDDEEFJKAK 练习练习2：化化简简_) 1 (BCCDAB _)2(CBACBNMA(3)_ABBDCADC 学以致用学以致用ADMN0例例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡通过轮渡进行运输进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点点出发，以出

15、发，以5km/h的速度向的速度向垂直于对岸的垂直于对岸的方向行驶方向行驶，同时江水的速度为向东，同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行航行的速度的速度(保留保留两个有效数字两个有效数字) ；(2)求船实际航行的速度的大小与方向求船实际航行的速度的大小与方向(用用江水速度间的夹角表江水速度间的夹角表示示, 精确到度精确到度).例例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡通过轮渡进行运输进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点点出发，以出发，以5km/h的速度

16、向的速度向垂直于对岸的垂直于对岸的方向行驶方向行驶，同时江水的速度为向东，同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行航行的速度的速度(保留保留两个有效数字两个有效数字) ；(2)求船实际航行的速度的大小与方向求船实际航行的速度的大小与方向(用用江水速度间的夹角表江水速度间的夹角表示示, 精确到度精确到度).ADBC(2)| 2,|ABCABBC5 解： 在直角三角形中，2222|2ACABBC 5 295.4 tan2CAB56.CAB 8由计算器得答：船实际航行答：船实际航行速度约为速度约为5.4km/h,方向与水的流速间的方向与水的流速间的夹角约为夹角约为68。 ADBC例例2. 长江两岸之间没有大桥的地方，常常长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡通过轮渡进行运输进行运输.如图所示，一艘船从长江南岸如图所示，一艘船从长江南岸A点点出发，以出发，以5km/h的速度向的速度向垂直于对岸的垂直于对岸的方向行驶方向行驶，同时江水的速度为向东，同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行航行的速度的速度(保留保留两个有效数字两个有效