复变函数36-37-41

1、1.1.问题的提出问题的提出问题问题: :(1) 解析函数是否有高阶导数解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函其定义和求法是否与实变函数相同数相同?回答回答: :(1) 解析函数有各高阶导数解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示过积分来表示, 这与实变函数完全不同这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么解析函数高阶导数的定义是什么?3.3.2 解析函数的高阶导数解析函数的高阶导数2.2.主要定理主要定理. , )( ), 2 , 1(d)()(2!)( : ,

2、 )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在于通过求导而在于通过求导来求积分来求积分. .分析 设z0为D内任意一点, 先证n=1的情形, 即 因此就是要证0000( )()()lim,zf zzf zfzz按定义0.z 在时也趋向于零0201( )()d2()Cf zfzzizz0020( )()1( )d

3、2()Cf zzf zf zzizzz000( )()limzfzzfzz再利用同样的方法去求极限:0201( )()d2()Cf zfzzizz0302!( )()d2()Cf zfzzizz便可得依此类推, 用数学归纳法可以证明:( )010!( )( )d2()nnCnf zfzzizz高阶导数公式的作用, 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导来求积分.( )010( )2()()!nnCf zidzfzzzn例例1 1解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225 为为正正向向圆圆周周其其中中计计算算下下列列积积分分 , 1 )1(cos

4、)1(5处不解析处不解析内内在在函数函数 zCzz , cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22处不解析处不解析内的内的在在函数函数izCzez 1C2Cxyo iCi , 1CiC为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周内内以以在在 , 2Ci 为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周以以 , , )1( 2122围成的区域内解析围成的区域内解析在由在由则函数则函数CCCzez 1C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理根据复

5、合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei1C2Cxyo iCi 2d)1( 22Czzze同理可得同理可得,2)1( iei Czzzed)1( 22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i例例2 2.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求积分求积分解解 , 1 )1(3在复平面内解析在复平面内解析函数函数 z , 2 10内内在在 z

6、z, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 12dcos)2(zzzzze , cos 在复平面内解析在复平面内解析函数函数zez , 1 00内内在在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 例例3 3解解) (.d 1为整数为整数求积分求积分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由柯西古萨基本定理得由柯西古萨基本定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由柯西积分公式得由柯西积分公式

7、得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i , 1)3( n Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根据公式根据公式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni思考思考 CzzzzzzgzC.d)()( , 302400求求的简单闭曲线的简单闭曲线是不通过是不通过设设答案答案 ; 0)( , 00 zgCz外外在在 . )16(2)( , 2000izzgCz 内内在在练习练习解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其中其中求积分求积分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有两个奇点有两个奇点函数函数, 23)1(

8、 z 2, z仅包含奇点仅包含奇点,1)( 3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231! 12 zzi;83 i 31)2( z , 0 2 内内都含在都含在和和两个奇点两个奇点Czz 2, 0 21和和分别包含分别包含和和作简单闭曲线作简单闭曲线CC , 21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根据复合闭路定理和高阶导数公式根据复合闭路定理和高阶导数公式, Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0

9、3.3.23.3.2小结小结 高阶导数公式是复积分的重要公式高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明它表明了了解析函数的导数仍然是解析函数解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重这一异常重要的结论要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本同时表明了解析函数与实变函数的本质区别质区别. Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(高阶导数公式高阶导数公式思考题思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同数与实函数的导数有何不同?思考题答案思考题答案. , , )( ,上上的的解解析析函函数数阶阶导导数数均均为为闭闭区区域域并

10、并且且它它的的各各它它就就一一定定无无限限次次可可微微中中处处处处可可微微只只要要在在闭闭区区域域函函数数高高阶阶导导数数公公式式说说明明GGzf这一点与实变量函数有本质的区别这一点与实变量函数有本质的区别. .1.1.调和函数的定义调和函数的定义. ),( 0, , ),( 2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数DyxyxDyx 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用问题中有很重要的应用.3.4 解

11、析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系2.2.解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系两者的关系定理定理 任何在区域任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部它的实部和虚部都是和虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证证 ,)( 内的一个解析函数内的一个解析函数为为设设Divuzfw . , xvyuyvxu 那末那末. , 222222yxvyuxyvxu 从而从而根据解析函数高阶导数定理根据解析函数高阶导数定理, , 数数具有任意阶的连续偏导具有任意阶的连续偏导与与vu, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu从而从而, 0 2222 y

12、vxv同理同理 . 都是调和函数都是调和函数与与因此因此vu证毕证毕注：逆定理显然不成立，即 对区域D内的任意两个调和函数( )fzuivfzviu及（ ）不一定是解析函数 .例如： 2222fzzxyi xyuv是解析函数，故 ， 是调和函数，但222fzviuxyixy不 再 是 解 析 函 数uv， ，. , , ,的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为两个调和函数中两个调和函数中的的内满足方程内满足方程在在换句话说换句话说uvxvyuyvxuD 2. 共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义. ),( ),( , ),( 的的共共轭轭调调和和函函数数称称为为函函数数内内构构成成解解析析函函数

13、数的的调调和和在在们们把把使使我我内内给给定定的的调调和和函函数数为为区区域域设设yxuyxvDivuDyxu 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数和函数. .定理定理 ( )( , )( , )f zu x yiv x y函数在区域D内解析 解析函数的虚部必为实部的共轭调和数已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程求得另一个，从而构成一个解析函数。vu是 的共轭调和函数例例1 1已知调和函数22,u x yxyxy求一解析函数 00.fzuivf使解：（法1偏积分法）2,2xyuxy uyx 由 C-R 方程22yxvuxyvxy dy212

14、2xyycx 2,xvycx 22xyvuycxyx 由 21,2c xxc 2211,2.22vx yyxyxc所 以于是 222211222fzxyxyiyxyxc000 ()00 xfcy由 222221121222ifzxyxyiyxyxz（法2 线积分法）0,yxxxyyuuuuxy因(NMMdxNdyxy已知为某一二元函数的全微分)yxxyu dxu dyCRv dxv dydv ,0,0,x yyxv x yu dxu dyc,0,022x yyx dxxy dyc(0,0)(x,y)(x,0)002xyxdxxy dyc2211222xxyyc （法3 不定积分法） 22xxx

15、yfzuivuiuxy iyx 222xi yyixxiyi xiy2iz21.2ifzzc (000)fc 例2 证明：函数 都是调和函数但 不是解析函数。2222,yxxvyxu( )f zuiv证证 由于由于222222222222232223332222222 , 2 , 2, 22, 2662, uuuuxyxyxyvyxvxyxyxyxyvxxyvxyxxyxyxy 所以0 , 022222222yvxvyuxu故 是全平面上的调和函数， 除原点外在全平面上调和。但 ,不满足C-R条件，所以 不是解析函数。yvxu zfuv例例3 3).( 1)( , )( , . , 22zfi

16、fivuzfvkyxuk的的并求并求为解析函数为解析函数使使再求再求为调和函数为调和函数使使值值求求 解解根据调和函数的定义可得根据调和函数的定义可得, 1 k,2 xxu 因为因为, 2 22 xu,2 kyyu ,2 22kyu yxiuuzUzf )()( 因为因为kyix22 kyix22 yix22 ,2z ,d2)( 2czzzzf 所所以以 , 1)( if由由 , 0 c得得所求解析函数为所求解析函数为.2)(222zxyiyxzf 小结小结调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系调和函数的概念、解析函数与调和函数的关系以及共轭调和函数的概念以及共轭调和函数的概念.应应注意注意

17、的是的是: 1. 任意两个调和函数任意两个调和函数u与与v所构成的所构成的函数函数u+iv不一定是解析函数不一定是解析函数. 2. 满足柯西满足柯西黎曼方程黎曼方程ux= vy, vx= uy,的的v称为称为u的共轭调和函数的共轭调和函数, u与与v注意的是地位不能颠倒注意的是地位不能颠倒.一、复数列的极限二、级数的概念4.1 4.1 复数项级数的基本性质复数项级数的基本性质三、典型例题一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义 , 0 数数相相应应地地都都能能找找到到一一个个正正如如果果任任意意给给定定 , ),(时成立时成立在在使使NnNn , 时时的的极极限限当当称称为为复复数数列

18、列那那末末 nn 记作记作.lim nn . 收收敛敛于于此此时时也也称称复复数数列列n , ), 2 , 1( 其其中中为为一一复复数数列列设设 nn ,nnniba , 为为一一确确定定的的复复数数又又设设iba 2.复数列收敛的条件复数列收敛的条件 ),2,1( 的充要条件是的充要条件是收敛于收敛于复数列复数列 nn.lim,limbbaannnn 定理一说明定理一说明: 可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似，证明思想与过程跟函数极限的证明完全类似，故省略故省略.课堂练习课堂练习: :下列数列

19、是否收敛下列数列是否收敛? 如果收敛如果收敛, 求出其极限求出其极限.;11)1(ninizn ;1)1()2( niznn.1)3(2innenz 收敛到收敛到-1不收敛不收敛收敛到收敛到0二、级数的概念二、级数的概念1.1.定义定义,), 2 , 1(为为一一复复数数列列设设nibannn nnn 211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和nns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和收敛与发散收敛与发散,收敛收敛如果部分和数列如果部分和数列ns ,1收敛收敛那末级数那末级数 nn .lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限

20、ssnn 说明说明:.lim ssnn 利用极限利用极限 与实数项级数相同与实数项级数相同, 判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:,不收敛不收敛如果部分和数列如果部分和数列ns .1发散发散那末级数那末级数 nn :,0 nnz级数级数例如例如1-21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z复习掌握复习掌握不不确确定定发发散散收收敛敛、根根值值审审敛敛法法：不不确确定定发发散散收收敛敛、比比值值审审敛敛法法：发发散散发发散散收收敛敛收收敛敛、比比较较审审敛敛法法

21、： 111111111111,1,1lim31,1,1lim2,1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnuuuuuuuuuvuuvvuif 一、正项级数审敛法：一、正项级数审敛法：011 nnnnnnv ,uvu 和和是是收收敛敛的的级级数数。）（常常用用级级数数收收敛敛莱莱布布尼尼茨茨准准则则级级数数二二、交交错错级级数数审审敛敛法法： nuuuifunnnnnnnn11312110lim)1(1111级级数数发发散散级级数数收收敛敛级级数数：、级级数数发发散散级级数数收收敛敛）：、等等比比级级数数（几几何何级级数数发发散散、调调和和级级数数、收收敛敛的的必必要要条条件件：

22、三三、其其他他： 1;1141;1313121120lim1120ppnpqqaqaqaaqnunpnnnn2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件证证因为因为nns 21)()(2121nnbbbiaaa ,nni )( 11收收敛敛的的充充要要条条件件级级数数 nnnnniba . 11都收敛都收敛和和 nnnnba定理二定理二 . 11 nnnnba都收敛都收敛和和级数级数于是于是 : 极限存在的充要条件极限存在的充要条件根据根据ns , 的极限存在的极限存在和和nn 说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理二定理二) )1(

23、1 1是否收敛？是否收敛？级数级数 nnin解解; 1 11发散发散因为因为 nnnna . 1121收敛收敛 nnnnb所以原级数发散所以原级数发散. 课堂练习课堂练习 11nnnnba收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数.0lim0lim nnnnba和和0lim nn 必要条件必要条件重要结论重要结论:.0lim1发散发散级数级数 nnnn 收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 1nn :,1 nine级数级数例如例如, 0limlim innnne 因为因为不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示: 判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时, 可先考察可先考察0lim nn ? , 0limnn 如果如果级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断., 0lim nn 3. 绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 . , 11也收敛也收敛那末那末收敛收敛如果如果 nnnn . 11成立成立且不等式且不等式 nnnn 注意注意 ,1的的各各项项都都是是非非负负的的实实数数 nn 应用正项级数的审敛法则判定应用正项级数的审敛法则判定.定理三定理三证证由于由于,1221 nnnnnba 而而,2222nnnnn