复变函数4-2-3

1、第二节第二节 泰勒泰勒(Taylor) (Taylor) 级数级数第三节第三节 罗朗罗朗(Laurent)(Laurent)级数级数2& 1. 泰勒展开定理泰勒展开定理& 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性& 3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式4.2 泰勒泰勒(Taylor)级数级数31. 泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数?(或者说或者说, 解析函数在解析点能否用幂级数表示解析函数在解析点能否用幂级数表示?)由由4.4.1 1幂级数的性质知

2、幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。任何解析函数都一定能用幂级数表示。4定理定理 1（泰勒展开定理）（泰勒展开定理）:)1()()( )(,)(00000其中展为幂级数可唯一地时则当各点的最短距离的边界上到为内解析在区域设nnnzzczfzfdzzDzdDzDzf级数的处在Taylor)(0zzfDK0zdzficKnn10)()(21z高阶导高阶导数公式数公式,2 , 1 , 0 )(!10)(nzfnnDK0z5证明证明kdzfi

3、zfkzDrzrzK)(21)(:Cauchy, ,:00积分公式由内任一点为设, 100qzzz00000111)(11zzzzzzzz)()(1 100200000nzzzzzzzzzz0100)()(nnnzzzz被称为被称为Cauchy积分核积分核610010101001000100)()()(21)()()()()(21)()()(21)(NnnKnKNnNnnnnnKnnnzzdzfidzzzzzzfidzzzfizf)( zRN令于是于是dzzzfiKNnnn )()()(210107)()()()(21)(10010zRzzdzfizfNNnnKn. 0)(lim zRNN下面

4、证明：dzzzfizRKNnnnN )()()(21)( 010其中dszzzzfzRKNnnN 000| )(|21| )(|01qqMqMNNnndszzzrMKNnn 00211 00zzzq其中8下面证明下面证明 展开展开式式是唯一的是唯一的. 1010021)( )()(2)( azfzznazzaazfnnnnzzazzazzaazf)()()()(0202010事实上事实上，设，设f (z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数:导导性性质质得得，再再由由幂幂级级数数的的逐逐项项求求则则00)(azf , 2 , 1 , 0)(!1,0)( nzfnann依依此此类类推

5、推得得，证毕！证毕！.Taylor,级数就是级数任何解析函数展开成幂由此可知9., .)4(00内即可及其内部包含在只要圆可以任意增大圆的半径的圆域为半径为中心，的收敛范围是以级数Dkrrzrz.Taylor)(, 00离的边界上各点的最短距到从级数收敛半径至少等于处的在解析点所以DzzzfDK0zzr10收收敛敛圆圆周周上上. .只只能能在在收收敛敛半半径径还还可可以以扩扩, ,不不可可能能在在收收敛敛圆圆外外, ,奇奇点点圆圆内内. .又又不不可可能能在在收收敛敛所所以以奇奇点点收收敛敛圆圆内内解解析析在在这这是是因因为为在在收收敛敛圆圆上上, ,奇奇点点因因此此, ,大大, ,否则奇点,

6、)()2(zf000,)(Taylor)()(zRzfzRzzfzf即即之之间间的的距距离离, ,的的最最近近的的一一个个奇奇点点到到等等于于从从展展开开式式的的收收敛敛半半径径的的在在解解析析点点那那么么有有奇奇点点, ,若若( (1 1) )几点说明：几点说明：11-直接法直接法-间接法间接法直接使用直接使用Taylor 展开式展开式由展开式的唯一性，运用级数的由展开式的唯一性，运用级数的代数运算代数运算、分分 析运算析运算和和 已知函数的展开式已知函数的展开式来展开来展开2.函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：）展开的方式：（求收敛半径）（找出收敛域是否能够展开？在指

7、定点）考察（展开？在展开在）确定函数（后给定一个函数3- )(20)(1,)(0zzfzorzzzfzf12.! 3! 21), 2 , 1 , 0(1)(3200)(Renzzzzeneeznzzzznz该级数的收敛半径在复平面上解析.0cos,sin,)(展开式的在求Taylorzzzezfz例例1 解解-直接法直接法012753)!12() 1(! 7! 5! 3sinnnnnzzzzzz复合复合运算运算130242)!2()1(!4!21cosnnnnzzzzRzz它们的半径在全平面上解析，cos,sin例例23 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:)1ln()()

8、 2()1 (1)() 1 (2zzfzzf解解1111) 1 (2zzzzzn1) 1(1)(1111zzzzznn14由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得：1 ) 1(321) 1(111)1 (1112122znzzzzzzdzdzdzdznnnn:) 1 (,) 1(01)2(逐项积分得的展开式两边沿将的路径内任意取一条从在收敛圆cczzz11) 1(312)1ln(132 znzzzzznn znnzzzdzzzdzdzzdz0000)1(1 分析运算分析运算15例例4 求求幂级数幂级数 ( 为复数为复数)的主值支的主值支在在 处的处的Taylor展开式。展开式。)1 (z

9、0z1) 0 ( ,)()1ln(fezfz的幂级数。设内可以展开成在的，因此，轴剪开的平面内是解析向左沿负实在从是解析的，从而，面内向左沿负实轴剪开的平在从由于zzzfzzzz1|)(1)1ln(0)ln( )(1)1ln()(zezzz求导得则,)()(zezf)() 1()()()()(111)( )( zzzzzeeeezzezf解解16继续求导得.) 1() 1()( )( )()()() 1(znnzenzfezf）（得令0z).1() 1()( ,),1() 0 ( ,) 0 ( , 1) 0 (nzffffn）（于是所求展开式为1| !) 1() 1(2) 1(1)1 (2zz

10、nnzzzn17解析在点小结：0)(zzf级数。的某一邻域内可展成幂在点是共轭调和函数。和是解析函数。正向封闭路线的积分为邻域内的任一条的某一邻域内连续且沿在点方程。且满足导数的某一邻域内有连续偏的实部和虚部在点的某一邻域内可导。在点0000)()5(),(),()()4(0)()3(RC)()2()() 1 (zzfyxvyxuzfzzfzzfzzf18& 1. 预备知识预备知识& 2. 双边幂级数双边幂级数& 3. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数& 4. 展开式的唯一性展开式的唯一性3 罗朗罗朗(Laurent)级数级数19提出问题提出问题：由由4

11、.4.2 2 知知, 若若 f (z) 在在 z0 点点解析解析，则，则 f (z)总可以总可以在在z0的某圆域的某圆域 z - z0R 内内展开成展开成 z - z0 的幂级数。的幂级数。若若 f (z) 在在 z0 点不解析点不解析，在在 z0的邻域中就不可能展开成的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但在圆环域的幂级数，但在圆环域 R1z - z0R2 内解析，那么，内解析，那么，f (z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢？例如，例如，.11010:,1, 0)1(1)(内内处处处处解解析析及及圆圆环环域域但但在在都都不不解解析析在在 zzzzzzzfnzzzzz2111zz

12、zzzfz111)1 (1)(,10时当xyo 1 20zzzzzfz11)1(11)1(1)(,110时当 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此由此猜想猜想:若若f (z) 在在R 1z - z0R2 内解析内解析, , f (z) 可可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即即1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzzxyo 1 212. 双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzcz

13、zcczzczzczzc-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项级数（解析部分）级数（解析部分）：)2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是复常数及其中), 2, 1, 0(0nczn负幂项负幂项级数（主要部分级数（主要部分or奇异部分）奇异部分）：)3()()()(010110 nnnnnzzczzczzc作为幂级数的推广作为幂级数的推广22级数级数(2)是是个个幂级数，设收敛半径为幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数则级数在在其收敛圆其收敛圆z - z0= =R2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+。 则若令对于级数,1),3(0zz 级数发散。级数收敛则当设其收敛半

14、径为为幂级数级数对变数RRR,)4(,) 4()(221110nnnnnnnncccczzc)4(,11,1100则级数代回得将令RRzzzz.;)(,1010发发散散当当且且和和为为收收敛敛当当RzzzsRzz 23z0R1R2有有公公共共收收敛敛域域21RR z0R2R1无无公公共共收收敛敛域域21RR 。且和收敛称，此时，即圆环域：区域有公共收敛及时，级数当且仅当)()()(,)(,) 3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn内收敛内收敛外收敛外收敛外收敛外收敛内收敛内收敛24.)()4(2010以以逐逐项项求求积积和和逐逐项项求求导导和和函函数数是是解解析析的的而而且

15、且可可内内的的在在级级数数RzzRzzcnnn 02100)3(zzRR：，收收敛敛域域为为此此时时可可以以可可以以。，发发散散处处处处称称时时当当nnnzzcRR)( ) 1 (021(2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界z - z0=R1, z - z0=R2上上, ,nnnzzc。点收收敛敛，有有些些点点发发散散可可能能有有些些)(0z0R1R2内收敛内收敛外收敛外收敛分析运算分析运算253. 函数展开成函数展开成Laurent级数级数定理定理.) 5(), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的任何一条简单闭曲线内绕是其中则内解析在设zDcndzzfic

16、zzczfRzzRDzfcnnnnn级级数数内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 展展开开式式内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 26证明证明 由由多多连通域上的连通域上的Cauchy 积分公式：积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*) )(21)(21)(12dzfidzfizfkk记为记为I1记为记为I2，时，当1002zzzk，时，当记为1001qzzzk) 1(* )()()()(2100001012nnnnnknzzczzdzfiI的的推推导导得得：重重复复 327nnzzzzzzzz)()()(101020000000011

17、1)(11zzzzzzzzz)2(* )()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfiI:,2)(1逐项积分得并沿两边乘以kif28式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2， k1上进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：), 2, 1, 0( )()(2110ndzficknnnnnzzczf)()(0证毕！证毕！级数中级数中正幂正幂项项部

18、分部分和和负幂负幂项项部分部分分别称为洛朗级数分别称为洛朗级数的的解析部分解析部分和和主要部分主要部分。29.)(,!)(,0)1(0)(内内不不是是处处处处解解析析的的在在相相同同形形式式上上与与高高阶阶导导数数公公式式系系数数时时当当czfnzfccnnnn但但(2)(2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点z0的邻的邻域内解析，需要把域内解析，需要把f (z)展成级数，那么就利用洛朗展成级数，那么就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。）级数来展开。几点说明：几点说明：304. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个一个在某一圆环域内在某一圆

19、环域内解析的函数解析的函数展开展开成成含含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数。的洛朗级数。事实上事实上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示为为内内解解析析，在在设设nnnzaf)()(0Dz0R1R2cczDc的简单闭曲线，内任何一条绕为设0 31的正向积分得：并沿为任一整数将上式两边乘以cpzp),()(110Dz0R1R2cdzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解得：.,一展开式且在本圆环域内只有唯级数展开成级数就是在圆环域内解析的函数

20、由此可知Laurentnnnzaf)()(0当当n=p时，积分值非零时，积分值非零32-直接法直接法-间接法间接法代公式代公式由展开式的唯一性，运用级数的由展开式的唯一性，运用级数的代数运算代数运算、分分 析运算析运算和和 已知函数的展开式已知函数的展开式来展开来展开2.函数展开成函数展开成Laurent级数的方法：级数的方法：）展开的方式：（解析的圆环）；到无穷远点的所有使（找出从级数内展开成确定函数在哪些圆环域）进而（为分隔点）；以奇点）找出它的所有奇点（后给定一个函数3)( ,21,)(00zfzLaurentzzf33.02级数内展开成在将Laurentzzez)! 21 (1!122

21、022nzzzznzzzennnz例例1解解! 4! 31! 2111222nzzzzzn-间间接法接法34例例2级数。内展开为（在以下圆环域将Laurentzzzzzzf2)3(; 21)2(; 10) 1)2)(1(1)(xyo1221)2( zxyo12 z2) 3(xyo1210) 1 z（110)4( z35解解:zzzzzf2111) 2)(1(1)(2112111)(zzzf 故故12110) 1 (zzz 012)211 (874321nnnzzz)421 (21)1 (22 zzzzzn没没有有奇奇点点-间间接法接法362112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11121 )2(zzz 0112122218421111)421(21)111(1nnnnnnnzzzzzzzzzzzz371222)3(zzzzzzzzzzf211111112111)( 2100122111nnnnnnnzzzzz 4322273142111111zzzzzzzzz38yxo