第八章 势流课件

1、1第八章第八章 势流势流第八章第八章 势流势流 工程上遇到的绝大多数流动是复杂的三维流动问题，即工程上遇到的绝大多数流动是复杂的三维流动问题，即使对等密度流动，也需要确定使对等密度流动，也需要确定ux、 uy 、 uz和和p等等4个变量，个变量，它们通常是它们通常是x，y，z和和t的函数，寻求三维流动问题的解析解的函数，寻求三维流动问题的解析解是极其困难的。有一类流动，数学处理较为容易，常常可以是极其困难的。有一类流动，数学处理较为容易，常常可以找到多维流动问题的解析解，这便是无旋流动，也称势流。找到多维流动问题的解析解，这便是无旋流动，也称势流。 在第在第3章通过对流体微团运动的分析知道，一

2、个流体微章通过对流体微团运动的分析知道，一个流体微团的旋转角速度矢量等于速度矢量旋度的二分之一。称速度团的旋转角速度矢量等于速度矢量旋度的二分之一。称速度矢量的旋度为涡量，即矢量的旋度为涡量，即 V如以如以 表示流体微团的旋转角速度矢量，则有表示流体微团的旋转角速度矢量，则有 2(8.1)(8.2)2第八章第八章 势流势流涡量在直角坐标系中的表示式为涡量在直角坐标系中的表示式为 kyuxujxuzuizuyuVxyzxyz在圆柱坐标系中在圆柱坐标系中zrzrrzeVrrrVrerVzVezVVr111无旋流动或势流即指涡量等于零的流动，即无旋流动或势流即指涡量等于零的流动，即 0 V(8.3)

3、a(8.3)b(8.4)3第八章第八章 势流势流8-1 8-1 势流势流 无旋流动或势流是指涡量等于零的流动。由式无旋流动或势流是指涡量等于零的流动。由式(8.3a)，一个流体微元绕一个流体微元绕z轴的旋转角速度轴的旋转角速度 yuxuxyzz2121上式的物理意义可理解为一个矩形流体微元的两个相互垂直上式的物理意义可理解为一个矩形流体微元的两个相互垂直的边的边(分别平行于分别平行于x轴和轴和y轴轴)各自绕各自绕z轴的旋转角速度的算术平轴的旋转角速度的算术平均值均值(图图3.13)，旋转就是物质线元随时间连续改变其空间朝，旋转就是物质线元随时间连续改变其空间朝向或方位。一个流动是否有旋或涡量是

4、否等于零，要看流体向或方位。一个流动是否有旋或涡量是否等于零，要看流体微团在运动过程中是否改变其空间方位，而与流体微团的运微团在运动过程中是否改变其空间方位，而与流体微团的运动轨迹无关。动轨迹无关。4第八章第八章 势流势流 考虑考虑3个平面流动的实例：个平面流动的实例： (1)平面简单剪切流动，速度场为平面简单剪切流动，速度场为 (2)流体质点的运动轨迹是以流体质点的运动轨迹是以z轴为中心的圆，采用圆柱轴为中心的圆，采用圆柱坐标系，速度场可表示为坐标系，速度场可表示为 (3)流体整个像刚体一样绕流体整个像刚体一样绕z轴旋转，采用圆柱坐标系，轴旋转，采用圆柱坐标系，速度场可表示为速度场可表示为

5、0 ,zyxuuayu0 , , 0zrVrbVV0 , , 0zrVcrVV5第八章第八章 势流势流以上三式中的以上三式中的a、b和和c均为常数。对于均为常数。对于(1)的平面简单剪切流的平面简单剪切流动，涡量可用式动，涡量可用式(8.3a)计算，得计算，得 ayuxuxyz对于对于(2)和和(3)，采用圆柱坐标下涡量的计算式比较方便，由，采用圆柱坐标下涡量的计算式比较方便，由式式(8.3b)得得 rzVrrrVr11它们的涡量分别是它们的涡量分别是 0zcz2和和 6第八章第八章 势流势流 流体微团自身的旋转有一个重要的运动学特征，即在没流体微团自身的旋转有一个重要的运动学特征，即在没有受

6、到力偶作用时，其旋转角速度，或者涡量，将保持不变；有受到力偶作用时，其旋转角速度，或者涡量，将保持不变；而一个原来角速度为零的流体微团，除非受到力偶作用，不而一个原来角速度为零的流体微团，除非受到力偶作用，不会获得角速度而旋转起来。假设在流场中取一个球形流体微会获得角速度而旋转起来。假设在流场中取一个球形流体微团，对于在重力场作用下的等密度流动，作用在该流体微团团，对于在重力场作用下的等密度流动，作用在该流体微团上的重力和压力对该流体微团无矩，因为重力作用线通过流上的重力和压力对该流体微团无矩，因为重力作用线通过流体微团的中心，而压强则垂直于流体微团表面，沿半径方向体微团的中心，而压强则垂直于

7、流体微团表面，沿半径方向指向球心。于是影响旋转角速度的只有球形微团表面的粘性指向球心。于是影响旋转角速度的只有球形微团表面的粘性切向应力。如果再假设流动无粘，则流体微团将维持其角速切向应力。如果再假设流动无粘，则流体微团将维持其角速度不变。度不变。 以上结论是针对某一瞬时的球形流体微团推出的，但以上结论是针对某一瞬时的球形流体微团推出的，但由于总可以在任意时刻任一空间位置定义类似的球形微团，由于总可以在任意时刻任一空间位置定义类似的球形微团，因此上述结论在所有时间对任一空间点成立。于是在某一因此上述结论在所有时间对任一空间点成立。于是在某一时刻无旋的流体微团，在此时刻以前或以后也是无旋的。时刻

8、无旋的流体微团，在此时刻以前或以后也是无旋的。对于无旋流动，流体微团在运动过程中角速度始终保持为对于无旋流动，流体微团在运动过程中角速度始终保持为零。零。7第八章第八章 势流势流 由上述结论可知，对于绕物体的理想不可压缩流动，由上述结论可知，对于绕物体的理想不可压缩流动，如果远离物体处流动均匀无旋，整个流场包括被绕流物体如果远离物体处流动均匀无旋，整个流场包括被绕流物体周围也都将是无旋的；如果流动因物体在静止流体中开始周围也都将是无旋的；如果流动因物体在静止流体中开始运动而引起，由于流动在初始时刻无旋，在以后时刻的整运动而引起，由于流动在初始时刻无旋，在以后时刻的整个流场包括物体周围也将无旋。

9、个流场包括物体周围也将无旋。本章讨论的理想不可压缩本章讨论的理想不可压缩平面和轴对称流动，均为无旋流动。平面和轴对称流动，均为无旋流动。 速度势函数速度势函数 式式(8.3a)在直角坐标系中的分量形式为在直角坐标系中的分量形式为 0 , 0 , 0yuxuxuzuzuyuxyzxyz即即 yuxuxuzuzuyuxyzxyz , ,8第八章第八章 势流势流从数学上讲，上述诸式就是从数学上讲，上述诸式就是uxdx + uydy + uzdz成为某一标成为某一标量函数的全微分的充分和必要条件，设该标量函数为量函数的全微分的充分和必要条件，设该标量函数为 ，则有则有 dzzdyydxxdzudyud

10、xudzyx比较上式两侧，得比较上式两侧，得 zuyuxuzyx,V或或 即势流场一定存在一个标量函数即势流场一定存在一个标量函数，势流速度等于该标量函，势流速度等于该标量函数的梯度，数的梯度，称称为速度势函数为速度势函数。 任意标量函数梯度的旋度恒等于零，任意标量函数梯度的旋度恒等于零，=0 ，上式，上式可通过将左侧展开为分量式而加以证明，于是可通过将左侧展开为分量式而加以证明，于是 0V即以速度势函数即以速度势函数的梯度表示的速度场为势流场。的梯度表示的速度场为势流场。 (8.5)9第八章第八章 势流势流 将式将式(8.5)代入不可压缩流动的连续方程，代入不可压缩流动的连续方程，V= =0

11、，即，即0或或 02在直角坐标系中上式可写为在直角坐标系中上式可写为0222222zyx(8.6)02或或 (8.7)式式(8.7)称为称为拉普拉斯方程，简称拉氏方程拉普拉斯方程，简称拉氏方程。 2222222zyx为为拉普拉斯算子拉普拉斯算子。 拉氏方程是一个线性的齐次方程，它的一个非常有用拉氏方程是一个线性的齐次方程，它的一个非常有用的性质是它的解的可叠加性，即如果的性质是它的解的可叠加性，即如果1和和2是方程是方程(8.7)解，解，则它们的线性组合则它们的线性组合 2211cc也是方程也是方程(8.7)的解，式中的解，式中c1和和c2是不全为零的任意常数。是不全为零的任意常数。 10第八

12、章第八章 势流势流 在某些问题的求解中，应用圆柱坐标系比较方便。引在某些问题的求解中，应用圆柱坐标系比较方便。引用式用式(3.11)，圆柱坐标系中速度势函数的梯度可表示为，圆柱坐标系中速度势函数的梯度可表示为 zrezerer1势流速度分量势流速度分量zVrVrVzr ,1 ,拉普拉斯方程在圆柱坐标系中的表示式则为拉普拉斯方程在圆柱坐标系中的表示式则为 01122222zrrrrr(8.8)(8.9)拉氏方程拉氏方程(8.7)是在满足不可压缩流动连续方程和无旋的条是在满足不可压缩流动连续方程和无旋的条件下推出的，无旋流动通常为无粘流动，因此任一满足拉件下推出的，无旋流动通常为无粘流动，因此任一

13、满足拉氏方程的函数都可以用来描述理想不可压缩势流。氏方程的函数都可以用来描述理想不可压缩势流。 11第八章第八章 势流势流势流伯努利方程势流伯努利方程 引用兰姆引用兰姆-葛罗米柯方程葛罗米柯方程(4. 13)，则有，则有 gpVtV22沿流线取线元沿流线取线元 ，点乘上式两侧，对于定常流动有，点乘上式两侧，对于定常流动有 rdrdrdgpV22(8.10)由于由于 ，与流线垂直，上式右侧等于零。如流动无旋，与流线垂直，上式右侧等于零。如流动无旋，则无论线元，则无论线元 是否沿流线方向，式是否沿流线方向，式(8.10)右侧总右侧总0等于零，重复第等于零，重复第4章章4.3节的推导过程，可得节的推

14、导过程，可得rdcgzVp22(8.11)12第八章第八章 势流势流 上式称为势流伯努利方程，它与沿流线的伯努利式上式称为势流伯努利方程，它与沿流线的伯努利式(4. 12b)在形式上是相同的，然而式在形式上是相同的，然而式(8. 11)右侧的右侧的c在全流场为在全流场为常数，可以对势流场内任意两点应用该式；而式常数，可以对势流场内任意两点应用该式；而式(4.12b)右右侧的侧的c只沿同一条流线为常数，该式只能应用于沿同一条只沿同一条流线为常数，该式只能应用于沿同一条流线的两点；式流线的两点；式(8. 11)只适用于无旋流动，而式只适用于无旋流动，而式(4.12b)既既可以应用于势流，也可应用于

15、有旋流动。可以应用于势流，也可应用于有旋流动。 注意注意式式(8. 11)成立的条件：成立的条件：理想不可压缩定常势流，理想不可压缩定常势流，质量力为重力质量力为重力，z轴铅垂向上。轴铅垂向上。 势流问题的求解势流问题的求解 势流的基本控制方程包括式势流的基本控制方程包括式(8.6)和式和式(8.11)。先求解拉。先求解拉普拉斯方程普拉斯方程(8.6)得到速度势函数得到速度势函数(x，y，z)，然后利用式然后利用式（8.5）求出速度矢量）求出速度矢量V(x，y，z)，再代入势流伯努利方程再代入势流伯努利方程(8. 11)求解压强分布求解压强分布p(x，y，z)。 13第八章第八章 势流势流 为

16、了求解方程为了求解方程(8.6)和和(8.11)，还需给出适当的边界条件，还需给出适当的边界条件，其中最重要的是给出固体壁面上的边界条件。对于粘性流其中最重要的是给出固体壁面上的边界条件。对于粘性流动，在固体壁面上既要求流体质点的法向速度与壁面的法动，在固体壁面上既要求流体质点的法向速度与壁面的法向速度相等，又要求流体质点无相对于壁面的切向滑移。向速度相等，又要求流体质点无相对于壁面的切向滑移。对于无粘流动，由于忽略了粘性影响，合理的边界条件应对于无粘流动，由于忽略了粘性影响，合理的边界条件应该是允许流体质点沿壁面切向自由滑移，而保持对法向速该是允许流体质点沿壁面切向自由滑移，而保持对法向速度

17、的要求度的要求 UnnUnn或或 (8.12) 上式中上式中 是壁面的外法线单位矢量是壁面的外法线单位矢量， 是壁面的运动是壁面的运动速度。当满足式速度。当满足式(8.12)时，壁面上流体质点的速度矢量将时，壁面上流体质点的速度矢量将沿着壁面的切线方向这意味着壁面是流线沿着壁面的切线方向这意味着壁面是流线(流面流面)；基于这；基于这一点，流场中的流线需要时也可视为固体壁面。在无穷远一点，流场中的流线需要时也可视为固体壁面。在无穷远处的边界条件，如均匀流动的边界条件，不受无粘流动假处的边界条件，如均匀流动的边界条件，不受无粘流动假设的影响。设的影响。 nU14第八章第八章 势流势流8-2 8-2

18、 平面势流平面势流 平面流动指这样一种流动状态，即流场中各流体质点的平面流动指这样一种流动状态，即流场中各流体质点的速度都平行于某一固定平面，并且速度和其他流场变量在此速度都平行于某一固定平面，并且速度和其他流场变量在此平面的垂直方向上没有变化。如取该平面为平面的垂直方向上没有变化。如取该平面为Oxy平面，则在平面，则在垂直于垂直于Oxy平面的平面的z轴上速度分量为零，且任一流场变量都不轴上速度分量为零，且任一流场变量都不依赖于依赖于z坐标，即坐标，即 0 , 0 zuz(8.13)此时只需考虑速度分量此时只需考虑速度分量ux和和uy，它们都只是，它们都只是x和和y的函数。平的函数。平面流动是

19、对工程领域和自然界普遍存在的三维流动的近似。面流动是对工程领域和自然界普遍存在的三维流动的近似。均匀来流垂直绕流长柱体，如对电线杆和烟囱的绕流，低速均匀来流垂直绕流长柱体，如对电线杆和烟囱的绕流，低速机翼的飞行等，这些柱体的长度比其横向尺寸大得多。机翼的飞行等，这些柱体的长度比其横向尺寸大得多。15第八章第八章 势流势流速度势函数速度势函数 平面势流的速度势函数只是平面势流的速度势函数只是x和和y的函数，的函数，=(x，y)，速速度分量度分量ux和和uy与与的函数关系为的函数关系为 yuxuyx,由式由式(8.8)，圆柱坐标中的速度分量，圆柱坐标中的速度分量 rVrVr1 ,速度势函数满足二维

20、拉氏方程速度势函数满足二维拉氏方程 圆柱坐标系中的二维拉氏方程为圆柱坐标系中的二维拉氏方程为02222yx011222rrrrr(8.14)(8.15)(8.16a)(8.16b)16第八章第八章 势流势流 速度势函数等于常数的曲线称为等势线。平面内由于速度势函数等于常数的曲线称为等势线。平面内由于x和和y的微小变化而引起的速度势函数的微小变化而引起的速度势函数=(x，y)的变化为的变化为 dyydxxdyudxudyx在等势线上在等势线上等于常数，等于常数，d =0，则有，则有 dyudxuyx0等势线斜率等势线斜率yxuudxdy(8.17)17第八章第八章 势流势流流函数流函数 对于平面

21、不可压缩流动，连续方程对于平面不可压缩流动，连续方程 可写为可写为 0 u0yuxuyx仔细观察上式，启示我们定义一个函数仔细观察上式，启示我们定义一个函数，令，令 xuyuyx,(8.18)则函数则函数将自动满足平面连续方程，这一点可以通过将上式将自动满足平面连续方程，这一点可以通过将上式代入连续方程加以验证，即代入连续方程加以验证，即 0 xyyx称函数称函数为流函数。注意到为流函数。注意到Oxy平面的流动只有速度分量平面的流动只有速度分量ux和和uy，且它们都只是且它们都只是x和和y的函数，由式的函数，由式(8.3a)知涡量知涡量V只有只有z方向的分量方向的分量18第八章第八章 势流势流

22、yuxuxy将式将式(8.18)代入上式代入上式 22222yxyyxx(8.19)如流动无旋，式如流动无旋，式(8. 19)可简化为拉氏方程可简化为拉氏方程02222yx02(8.20)或或 平面势流解既可以通过求解速度势函数的拉氏方程平面势流解既可以通过求解速度势函数的拉氏方程(8. 16)得出，也可以通过求解流函数的拉氏方程得出，也可以通过求解流函数的拉氏方程(8. 20)而得出。边而得出。边界条件是在固体壁面上法向流体速度等于零，而允许流体沿界条件是在固体壁面上法向流体速度等于零，而允许流体沿固体壁面切向滑移固体壁面切向滑移19第八章第八章 势流势流对式对式(8.20)这意味着在固壁上

23、这意味着在固壁上const01)(1VrrrVrr 在圆柱坐标系中，平面不可压缩势流的连续方程为在圆柱坐标系中，平面不可压缩势流的连续方程为 (8.21a)而速度分量与流函数而速度分量与流函数的函数关系可表示为的函数关系可表示为rVrVr ,1(8.21b)显见式显见式(8.21b)满足连续方程满足连续方程(8.21a)。 011rrrr20第八章第八章 势流势流流函数的几何意义流函数的几何意义 平面内由于平面内由于x和和y的微小变化而引起的流函数的微小变化而引起的流函数= (x，y)的变化为的变化为 yuxuyyxxxyddddd在在为常数的曲线上为常数的曲线上d=0，于是，于是 yuxux

24、ydd0整理上式得整理上式得 xyuudxdy(8.22)上式即是第上式即是第1章中给出的流线方程，章中给出的流线方程，可见可见等于常数的曲线等于常数的曲线是流线，常数取不同的值就得到不同的流线是流线，常数取不同的值就得到不同的流线。21第八章第八章 势流势流 两条流线的流函数值与两条流线之间的流体流量相联系。两条流线的流函数值与两条流线之间的流体流量相联系。如图如图8.4所示，两条流线的流函数值分别为所示，两条流线的流函数值分别为=1， =2 ，由，由流线性质知，局限在这两条流线间的流体不会穿越流线流出。流线性质知，局限在这两条流线间的流体不会穿越流线流出。在两条流线间任意取连线在两条流线间

25、任意取连线AB，通过通过AB上一微元线段上一微元线段dl的流体的流体体积流量体积流量(设垂直于纸面方向为单位长设垂直于纸面方向为单位长) dyyxxdyudxudQxydd于是通过于是通过AB的流量为的流量为 BAdQ12(8.23)即两条流线的流函数值的差等即两条流线的流函数值的差等于在这两条流线间流动的流体于在这两条流线间流动的流体流量。流量。 22第八章第八章 势流势流 由于引入流函数后自动满足不可压缩流体平面流动的由于引入流函数后自动满足不可压缩流体平面流动的连续性微分方程，所以上述线积分与积分路径无关。连续性微分方程，所以上述线积分与积分路径无关。 显然，若显然，若AB曲线是一条流线

26、，则曲线是一条流线，则1=2， Q=0。 若若AB曲线是一条任意的封闭曲线，曲线是一条任意的封闭曲线，A、B两点重合，令两点重合，令此时的此时的B点记为点记为A，则对于所在的单连通区域，则对于所在的单连通区域(域内没有点域内没有点源、点汇或可膨胀、压缩的内边界时源、点汇或可膨胀、压缩的内边界时)，为坐标点的单值为坐标点的单值函数，函数，0QdQAAAA0AAddQ否则，如在水下爆炸或有气泡运动的问题中，所研究的是否则，如在水下爆炸或有气泡运动的问题中，所研究的是多连通区域，多连通区域，为坐标点的多值函数，则为坐标点的多值函数，则式中式中Q0为通过内边界的总流量。为通过内边界的总流量。23第八章

27、第八章 势流势流 由式由式(8. 14)和式和式(8. 18)知，给速度势函数或流函数增加知，给速度势函数或流函数增加或减少一个常数，不会影响它们所代表的流场性质，通常或减少一个常数，不会影响它们所代表的流场性质，通常可以根据需要选择某一条流线可以根据需要选择某一条流线(等势线等势线)的流函数的流函数(势函数势函数)值为零。值为零。 柯西柯西-黎曼方程黎曼方程 对于不可压缩平面势流，速度分量对于不可压缩平面势流，速度分量ux和和uy既可用势函数既可用势函数表示，也可以用流函数表示，即表示，也可以用流函数表示，即 xyuyxuyx ,(8.24)上式是复变函数理论的重要方程，称为上式是复变函数理

28、论的重要方程，称为柯西柯西-黎曼方程黎曼方程。容易。容易验证，满足式验证，满足式(8.24)的两个函数必然都满足拉氏方程。的两个函数必然都满足拉氏方程。 24第八章第八章 势流势流流网流网 由式由式(8. 17)和和(8.22)有有 dxdyuudxdyyx1(8.25)0yxxyuuuuyyxx 上式表示流线和等势线上式表示流线和等势线相互正交相互正交( (在滞止点和速度趋于无在滞止点和速度趋于无限大的奇点，等势线与流线正交的结论可能不成立，因为在限大的奇点，等势线与流线正交的结论可能不成立，因为在这些点，式这些点，式(8.25)中速度的比值无法确定中速度的比值无法确定) )。 平面势流中由

29、一族等势线和一族流线所构成的正交网格称平面势流中由一族等势线和一族流线所构成的正交网格称为为流网流网，通常流网中两条流线间的流函数增量，以及两条等，通常流网中两条流线间的流函数增量，以及两条等势线之间的速度势函数增量均为常数。势线之间的速度势函数增量均为常数。 25第八章第八章 势流势流26第八章第八章 势流势流 注意，流函数注意，流函数是从不可压缩平面运动的连续方程出发而是从不可压缩平面运动的连续方程出发而定义的，定义的，它既适用于有旋流动也适用于无旋流动它既适用于有旋流动也适用于无旋流动，在无旋流，在无旋流动条件下动条件下满足拉氏方程；速度势函数满足拉氏方程；速度势函数是从无旋流动条件出是

30、从无旋流动条件出发而定义的，它发而定义的，它只适用于无旋流动只适用于无旋流动，在不可压缩流动条件下，在不可压缩流动条件下满足拉氏方程。流函数只存在于二维流动中，对于三维流满足拉氏方程。流函数只存在于二维流动中，对于三维流动无法定义一个标量函数使其满足连续方程，因此三维流动动无法定义一个标量函数使其满足连续方程，因此三维流动不存在流函数。对于二维可压缩流动，也可以定义流函数。不存在流函数。对于二维可压缩流动，也可以定义流函数。 27第八章第八章 势流势流例例.不可压缩流体流场的流函数不可压缩流体流场的流函数 =ax2-ay2，问：，问： (1)流动是无旋还是有旋？流动是无旋还是有旋？ (2)若无

31、旋，确定流动的速度势。若无旋，确定流动的速度势。 解：解： (1)ayayaxyyux222axayaxxxuy222因因022222aaayyaxxyuxuxyz故是无旋流。故是无旋流。 (2)ayxux2积分积分 yfaxy 2于是于是 yyfaxyfaxyyyuy2228第八章第八章 势流势流故故 axyyfax22 0dyydfyyf 常数Cyf则则Caxy 229第八章第八章 势流势流8-3 8-3 基本平面势流及其叠加基本平面势流及其叠加 对于理想不可压缩平面势流，由于拉普拉斯方程是线性对于理想不可压缩平面势流，由于拉普拉斯方程是线性方程，两个速度势函数方程，两个速度势函数1和和2

32、之和之和= 1+2也满足拉普拉斯也满足拉普拉斯方程，方程，描写的流动的速度矢量是描写的流动的速度矢量是1和和2描写的流动的速度描写的流动的速度矢量之和矢量之和 212121VVV 因此两个或两个以上势流的速度势函数及其相应的速度因此两个或两个以上势流的速度势函数及其相应的速度矢量相加可以得到一个新的势流。同样理想不可压缩平面势矢量相加可以得到一个新的势流。同样理想不可压缩平面势流的流函数也满足叠加原理，也可以将两个流动的流函数相流的流函数也满足叠加原理，也可以将两个流动的流函数相加而得到一个新的流动的流函数。势流的压强场不能简单相加而得到一个新的流动的流函数。势流的压强场不能简单相加，因为压强

33、与速度的平方成正比，而加，因为压强与速度的平方成正比，而2221221VVVV30第八章第八章 势流势流均匀流均匀流 最简单的平面势流是平面均匀流动。如图最简单的平面势流是平面均匀流动。如图8.7所示，设速所示，设速度矢量的模为度矢量的模为U，速度矢量与速度矢量与x轴夹角为轴夹角为，引用式，引用式(8.24)，速，速度势函数与流函数与速度场的关系可表示为度势函数与流函数与速度场的关系可表示为 xyUyxUsin ,cos积分并取积分常数为零，得积分并取积分常数为零，得 sincosyxUsincosxyU(8.26a)31第八章第八章 势流势流 流线流线U( ycos- xsin) = c1(

34、以实线表示以实线表示)与等势线与等势线U( xcos+ ysin) = c2(以虚线表示以虚线表示)都是直线，且相互正交，都是直线，且相互正交，流线与流线与x轴夹角为轴夹角为。令。令=0，则沿，则沿x方向均匀流动的速度势函方向均匀流动的速度势函数与流函数分别为数与流函数分别为UyUx ,(8.26b)均匀流动中速度处处相等，根据伯努利方程，压强也处处均匀流动中速度处处相等，根据伯努利方程，压强也处处相等。相等。点源点源(汇汇) 设想设想z轴为无限长的半径趋于零的多孔壁细长管，在整个轴为无限长的半径趋于零的多孔壁细长管，在整个长度方向沿径向向四周释放流体，单位长度的体积流量为长度方向沿径向向四周

35、释放流体，单位长度的体积流量为m。从从Oxy平面看，可视为一点源沿径向向四周均匀释放流体平面看，可视为一点源沿径向向四周均匀释放流体，m称为点源强度。称为点源强度。32第八章第八章 势流势流 取圆柱坐标系取圆柱坐标系，z轴为对称轴，则只存在径向速度轴为对称轴，则只存在径向速度Vr，周向的速度分量周向的速度分量V=0。以原点为中心作一半径为。以原点为中心作一半径为r的圆周，的圆周，由于流动对称，圆周上由于流动对称，圆周上Vr 相同，则通过此圆周流出的流相同，则通过此圆周流出的流量量2r Vr =m，于是有于是有 rmVr2在圆柱坐标系中速度势函数和在圆柱坐标系中速度势函数和流函数与速度分量的关系

36、为流函数与速度分量的关系为 rrrrrm10 ,12(8.27)33第八章第八章 势流势流 在直角坐标系中在直角坐标系中22222sin2sin2cos2cosyxymrmVuyxxmrmVuryrx积分上两式并取积分常数等于零，得积分上两式并取积分常数等于零，得 22ln2ln22yxmrmdrrmdrVr显然，等势线为一族以原点为心的同心圆显然，等势线为一族以原点为心的同心圆(r = c)。xymmdmdrVrarctan222 显然，流线为一族经原点的放射线显然，流线为一族经原点的放射线(= C)。可见，流。可见，流线与等势线相互垂直。线与等势线相互垂直。(8.28)34第八章第八章 势

37、流势流 当流体从四周沿径向均匀流入坐标原点时称当流体从四周沿径向均匀流入坐标原点时称点汇点汇，在式在式(8.28)中以中以-m代替代替m(m0)，即得到点汇的速度势函数即得到点汇的速度势函数和流函数。和流函数。 点源点源(汇汇)的压强场可利用势流伯努利方程确定。在无的压强场可利用势流伯努利方程确定。在无穷远处穷远处，r，p= p，对无穷远点和流场中任一点应用，对无穷远点和流场中任一点应用势流伯努利方程，有势流伯努利方程，有 *2*221prmp2*221rmpp可见流场中任一点的压强均低于无穷远处压强，这是因可见流场中任一点的压强均低于无穷远处压强，这是因为点源为点源(汇汇)的流动速度沿径向减

38、小，导致压强沿径向增加。的流动速度沿径向减小，导致压强沿径向增加。 (8.29)35第八章第八章 势流势流压强分布如图所示，为二次曲线，压强分布如图所示，为二次曲线，p*随着随着r减小而减小。减小而减小。 p*=0时存在时存在r0，此时，此时 *20228 prm相应的，相应的，*022pmr222*2*8221rmprmpp r小于小于r0时压强为负值，此时式时压强为负值，此时式(8. 28)表示的流动在物表示的流动在物理上是不可能实现的；在原点速度和压强都趋于无穷大，理上是不可能实现的；在原点速度和压强都趋于无穷大，流线则汇聚于一点，称流线则汇聚于一点，称原点为奇点原点为奇点。式。式( 8

39、. 28)通常用来描通常用来描写半径较大的区域内的流动。写半径较大的区域内的流动。 36第八章第八章 势流势流点涡点涡 设想设想z轴是一根无限长的细线，自身作逆时针方向旋转的轴是一根无限长的细线，自身作逆时针方向旋转的同时带动周围流体旋转，称其为同时带动周围流体旋转，称其为涡线涡线。从。从Oxy平面看涡线可平面看涡线可视为一点涡，流体质点以速度视为一点涡，流体质点以速度V=f(r)围绕原点作圆周运动，围绕原点作圆周运动，而径向速度而径向速度Vr =0，可以检验上述速度满足连续方程可以检验上述速度满足连续方程(8.21a)。如果再要求流动无旋，即如果再要求流动无旋，即V=0，则由式，则由式(8.

40、3b)，V唯一可唯一可能的形式是能的形式是V=K/r，式中式中K是常数，这样的流动称为是常数，这样的流动称为自由涡自由涡。 在圆柱坐标系中速度势函数在圆柱坐标系中速度势函数和流函数与速度分量的关系为和流函数与速度分量的关系为 rrrKrr1 ,1037第八章第八章 势流势流在直角坐标系中在直角坐标系中2222cossinyxxKVuyxyKVuyx积分上两式并取积分常数等于零，得积分上两式并取积分常数等于零，得 速度势速度势KdVr显然，等势线为一族经过坐标原点的射线显然，等势线为一族经过坐标原点的射线(=C)。 流函数流函数rKdrVln 说明了流线是一族以原点为中心的同心圆，即与等势说明了

41、流线是一族以原点为中心的同心圆，即与等势线正交。线正交。38第八章第八章 势流势流 与点涡流动相关的一个运动学变量是与点涡流动相关的一个运动学变量是环量环量，称速度，称速度矢量沿一条封闭曲线矢量沿一条封闭曲线L的线积分的线积分 LLzyxLddzudyudxuldV为沿为沿L的的速度环量速度环量，式中，式中 和和 分别是曲线上一点的速度分别是曲线上一点的速度矢量和线元矢量，定积分沿逆时针方向。速度环量矢量和线元矢量，定积分沿逆时针方向。速度环量表征表征流体沿封闭曲线作旋转运动的总趋势大小。流体沿封闭曲线作旋转运动的总趋势大小。Vld 速度速度(线线)积分或速度环量的概念在形式上类似于积分或速度

42、环量的概念在形式上类似于力沿力沿曲线或封闭曲线的作功曲线或封闭曲线的作功。 速度环量的概念不仅适用于不可压缩流体与理想流速度环量的概念不仅适用于不可压缩流体与理想流体，而且也适用于可压缩流体与粘性流体。体，而且也适用于可压缩流体与粘性流体。 (8.30)39第八章第八章 势流势流斯托克斯定理斯托克斯定理 旋涡强度旋涡强度(面积分面积分)与速度环量与速度环量(线积分线积分)的关系可直接根的关系可直接根据高等数学中的斯托克斯定理来确定：据高等数学中的斯托克斯定理来确定： JdAdAnAdAdAdVldVAnAAAAL2222式中，式中，L是包围单连通区域的任一有限大封闭曲线；是包围单连通区域的任一

43、有限大封闭曲线；A是以是以封闭曲线封闭曲线L为周界的任意开口曲面。斯托克斯定理说明了：为周界的任意开口曲面。斯托克斯定理说明了：绕任一封闭曲线绕任一封闭曲线L的速度环量等于穿过以该曲线为界的任意的速度环量等于穿过以该曲线为界的任意开口曲面开口曲面A的旋涡强度的旋涡强度(涡通量涡通量)的的2倍。倍。 40第八章第八章 势流势流对于点涡流动，围绕原点作一圆周，沿此圆周的环量对于点涡流动，围绕原点作一圆周，沿此圆周的环量 KrdrKrdV22020(8.31)为常数，通常用为常数，通常用作为点涡强度的度量。注意到作为点涡强度的度量。注意到K = /2，点涡的速度势函和流函数于是可分别表示为点涡的速度

44、势函和流函数于是可分别表示为 xyarctan2222ln2ln2yxr(8.32)在势流中，可以将流网中相互正交曲线中的任一组选作流在势流中，可以将流网中相互正交曲线中的任一组选作流线，另一组作等势线，它们都满足拉氏方程，都可以描写线，另一组作等势线，它们都满足拉氏方程，都可以描写一个理想不可压缩无旋流动。一个理想不可压缩无旋流动。 41第八章第八章 势流势流 与式与式(8.32)相应的速度场为相应的速度场为 rVVr2 , 0(8.33a)式式(8.32)和式和式(8.33)中以中以- 替代替代( 0)，即得到沿顺时针方，即得到沿顺时针方向旋转的点涡速度势函数、流函数和速度。向旋转的点涡速

45、度势函数、流函数和速度。 点涡的压强场可利用势流伯努利方程确定。在无穷远点涡的压强场可利用势流伯努利方程确定。在无穷远处处， r，p =p，对无穷远点和流场中任一点应用伯努，对无穷远点和流场中任一点应用伯努利方程，有利方程，有*2*221 prp222*2*8221rprpp (8.33b)42第八章第八章 势流势流形式上类似于平面点源形式上类似于平面点源(或点汇或点汇)的压强场。压强分布见图。的压强场。压强分布见图。设图中设图中r= r0时时p*=0，故，故*20228pr得得*022pr实际上在自然界或工业中，往往存在一半径为实际上在自然界或工业中，往往存在一半径为 的涡的涡核核(通常称为

46、强制涡通常称为强制涡)，正是由于涡核以等速度，正是由于涡核以等速度像刚体那像刚体那样旋转样旋转(是有旋运动是有旋运动)及流体的粘性才带动涡核外流体作无及流体的粘性才带动涡核外流体作无旋的圆周运动旋的圆周运动(称为自由涡称为自由涡)(00rr43第八章第八章 势流势流 可见流场中任一点的压强均低于无穷远处压强，半径可见流场中任一点的压强均低于无穷远处压强，半径越小，压强越低，正的压强梯度越小，压强越低，正的压强梯度 为沿流线作圆周运为沿流线作圆周运动的流体质点提供了向心力；当动的流体质点提供了向心力；当 时压强取时压强取负值，这在物理上是不可能实现的。在原点速度和压强都负值，这在物理上是不可能实

47、现的。在原点速度和压强都趋于无穷大，称趋于无穷大，称原点为奇点原点为奇点 。 rp*22*2pr 对于无旋流动沿封闭曲线的速度环量通常等于零，这对于无旋流动沿封闭曲线的速度环量通常等于零，这是因为无旋流动的速度矢量可表示为速度势数的梯度，是因为无旋流动的速度矢量可表示为速度势数的梯度， ，于是，于是， ，因此，因此VdldldVLd44第八章第八章 势流势流例例. 一个流体绕一个流体绕O点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆点作同心圆的平面流动，流场中各点的圆周速度的大小与该点半径成反比，即周速度的大小与该点半径成反比，即V= =C/ /r，其中，其中C为常为常数，如图所示。试求在流场中沿封闭曲

48、线的速度环量，并数，如图所示。试求在流场中沿封闭曲线的速度环量，并分析它的流动情况。分析它的流动情况。无旋流动中速度环量的计算无旋流动中速度环量的计算 解：沿图中画斜线扇形部解：沿图中画斜线扇形部分的周界分的周界ABCDA的速度环量的速度环量01122DACDBCABABCDArrCrrC45第八章第八章 势流势流例例. 一个以角速度一个以角速度按逆时针方向作像刚体一样的旋转的按逆时针方向作像刚体一样的旋转的流动，如图所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环流动，如图所示。试求在这个流场中沿封闭曲线的速度环量，并证明它是有旋流动量，并证明它是有旋流动。有旋流动中速度环量的计算有旋流动中速度环量

49、的计算 解：在流场中对应于任意解：在流场中对应于任意两个半径两个半径r1和和r2的圆周速度各的圆周速度各为为V1=r1和和V2=r2 ，沿图中画，沿图中画斜线扇形部分的周界斜线扇形部分的周界ABCDA的速度环量的速度环量212211221122DACDBCABABCDArrrVrVrVrV46第八章第八章 势流势流可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积可见，在这个区域内是有旋流动。又由于扇形面积21222d21rrrrArr于是于是A2ABCDA 上式正是斯托克斯定理的一个例证。上式正是斯托克斯定理的一个例证。以上结论可推广适用于圆内任意区域内。以上结论可推广适用于圆内任意区域内。47第

50、八章第八章 势流势流平面点源与点汇的叠加平面点源与点汇的叠加 若将位于若将位于A(-a，0)点、强度为点、强度为m的点源于与位于的点源于与位于B (a， 0)点等强度的点汇叠加点等强度的点汇叠加(图图)，叠加后某点，叠加后某点p (x， y)的速度势的速度势2222ln4ln2ln2ln2）（）（axyaxymrrmrmrmBABA 流函数流函数pBABAmmmm2222显然，流线是圆周角为显然，流线是圆周角为p跨源、跨源、汇两点的圆线族汇两点的圆线族(p =C)。48第八章第八章 势流势流 等势线方程为等势线方程为2222axyCaxy展开化简并配方得展开化简并配方得2221211aCCaC

51、Cxy这是与流线正交的圆线族，但不一定通过这是与流线正交的圆线族，但不一定通过A、B两点。两点。49第八章第八章 势流势流点源与点汇叠加点源与点汇叠加偶极子偶极子 一对强度相同的点源和点汇在平面上无限靠近的同时源一对强度相同的点源和点汇在平面上无限靠近的同时源汇强度趋于无穷大，但源汇强度与源汇间距离的乘积则趋于汇强度趋于无穷大，但源汇强度与源汇间距离的乘积则趋于一个有限值时，这一对点源和点汇组成一个偶极子。一个有限值时，这一对点源和点汇组成一个偶极子。 设强度为设强度为m的点源位于点的点源位于点x= -a，而相同强度的点汇位于而相同强度的点汇位于x = a，如图，如图8. 12所示。这一对源、

52、汇在所示。这一对源、汇在P点共同诱点共同诱导的流函数为导的流函数为 212m(8.34a)上式可改写为上式可改写为 212121tantan1tantan tan2tanm50第八章第八章 势流势流由图由图8.12几何关系可得几何关系可得arrarrcossintan ,cossintan21于是有于是有22sin22tanararm22sin2arctan2ararm(8.34b)当当a很小以至于很小以至于 时，时， ， 1sin222arar2222sin2sin2arctanarararar则上式可简化为则上式可简化为22sin22ararm51第八章第八章 势流势流让源、汇无限靠近，且

53、当让源、汇无限靠近，且当a0时时m，2ma，上，上式变为式变为 222sin2yxyr利用柯西利用柯西黎曼方程由上式可求得相应的速度势函数为黎曼方程由上式可求得相应的速度势函数为222cos2yxxr(8.35a)(8.35b)上两式中上两式中称为称为偶极子强度偶极子强度。定义从汇指向源的方向为偶。定义从汇指向源的方向为偶极子的正方向，式极子的正方向，式( 8. 35)表示的偶极子指向负表示的偶极子指向负x轴方向。轴方向。式式(8.35a)可写为可写为 52第八章第八章 势流势流在图中，在图中，BC为从为从B点向点向AP所作的垂线，则所作的垂线，则12sin2sinBCar又当又当 2a0 ，

54、0 ，sin ，所以，所以r=2asin，代入式，代入式2221QQ）（22202022sin2sin2sin22lim2limyxyrrrrammmama53第八章第八章 势流势流22120202120212021120212022cos2coslim22limcos22limcos21ln2lim1ln2limln2limyxxrramramramrrrmrrmmamamamamama速度势函数求法速度势函数求法从图中可知，当从图中可知，当A点和点和B点向原点点向原点O无限接近时，无限接近时，r2r12acos2，而且当，而且当2a0 ， m时，时， r2 r1 r ， 21 ，又由于，又

55、由于4321ln432）（当当为无穷小时，可以略去高阶项，得为无穷小时，可以略去高阶项，得ln（1+） 。54第八章第八章 势流势流0222yyx式式(8.35a)可写为可写为22244yx取取=常数，上式即流线方程。如图常数，上式即流线方程。如图8. 13所示，流线是圆心位于所示，流线是圆心位于y轴上且圆周通轴上且圆周通过原点的圆族，圆心坐标过原点的圆族，圆心坐标y=- /(4)，圆半径为圆半径为=- /(4) 。 式式(8.35b)可写为可写为0222xyx22244yx55第八章第八章 势流势流取取=常数，上式即等势线方程。如图常数，上式即等势线方程。如图8. 13所示，等势线所示，等势

56、线是圆心位于是圆心位于x轴上且圆周通过原点的圆族，圆心坐标轴上且圆周通过原点的圆族，圆心坐标x=- /(4)，圆半径为，圆半径为=- /(4) 。 由式由式(8.35)可求得偶极子流动的速度可求得偶极子流动的速度22sin2 ,cos2rVrVr(8.36)流体自源流向汇，因此沿流线的速度方向如图流体自源流向汇，因此沿流线的速度方向如图8. 13中箭头所中箭头所示；速度方向也可由式示；速度方向也可由式(8.36)判别：在判别：在1和和4象限象限Vr 0，与上述判断是一致的。当，与上述判断是一致的。当r0时时， Vr和和V均趋于均趋于无穷大，流线汇聚于一点，无穷大，流线汇聚于一点，原点是奇点。原

57、点是奇点。 2222 rVVVr 偶极流的压强场为偶极流的压强场为422*2*821rpVpp56第八章第八章 势流势流点涡与点汇叠加点涡与点汇叠加螺旋流螺旋流 如果将位于坐标原点的点涡和点汇叠加，可得到螺旋流，如果将位于坐标原点的点涡和点汇叠加，可得到螺旋流，流体在旋转的同时向原点移动。设点汇强度为流体在旋转的同时向原点移动。设点汇强度为-m ( m 0)，点涡强度为点涡强度为- (0)，则叠加后的复合流动的流函数和势函数则叠加后的复合流动的流函数和势函数分别为分别为 rmln21rmln21(8.37)令流函数等于常数，得到流线方程为令流函数等于常数，得到流线方程为mcer(8.38)式中

58、，式中，c为常数，流线为对数螺旋线族为常数，流线为对数螺旋线族(图图8.14)。流场速。流场速度为度为 离心式水泵或风机中的流动就是这种流动。离心式水泵或风机中的流动就是这种流动。rrVrmrVr2 ,21(8.39a)57第八章第八章 势流势流rmVVVr22222类似地可得等势线为类似地可得等势线为mcer流线与径向射线夹角为常数，可流线与径向射线夹角为常数，可写为写为 mVVrarctanarctan对无限远点与流场内一点应用伯努利方程，得对无限远点与流场内一点应用伯努利方程，得 2222*2*4221rmpVpp(8.39b)58第八章第八章 势流势流8-4 8-4 柱体绕流柱体绕流

59、在理想流体流动中，任何一条流线都可以看作是一个固在理想流体流动中，任何一条流线都可以看作是一个固体边界，因为体边界，因为流体可以沿着流线流动，但不能穿越流线流体可以沿着流线流动，但不能穿越流线，这，这与对于固体壁面的边界条件的要求是相同的。因此如果两种与对于固体壁面的边界条件的要求是相同的。因此如果两种或几种基本势流的流函数叠加后能够给出一条与我们感兴趣或几种基本势流的流函数叠加后能够给出一条与我们感兴趣的物面型线的物面型线(外轮廓线外轮廓线)相似的流线，则叠加后的势函数或流相似的流线，则叠加后的势函数或流函数就可以用来描述绕这种物面的流动细节。在平面流动中函数就可以用来描述绕这种物面的流动细

60、节。在平面流动中一条流线或物面型线实际上代表了一个与流动平面垂直的柱一条流线或物面型线实际上代表了一个与流动平面垂直的柱体的母线，因此上述绕物面的流动实际上就是绕柱体的平面体的母线，因此上述绕物面的流动实际上就是绕柱体的平面流动。流动。 59第八章第八章 势流势流8.4.1 兰金半体柱绕流兰金半体柱绕流 设位于坐标原点、强度为设位于坐标原点、强度为m的点源与速度为的点源与速度为U且平行于且平行于x轴的均匀流叠加。由式轴的均匀流叠加。由式(8.26)，均匀流流函数，均匀流流函数= Uy = Ursin，与点源流函数式与点源流函数式(8. 28)叠加，得叠加，得rmUrrmUxln2cos ln2