21.5一次函数与二元一次方程的关系

1、第二十一章第二十一章 一次函数一次函数21.5 21.5 一次函数与二元一次一次函数与二元一次 方程的关系方程的关系1课堂讲解课堂讲解u一次函数与二元一次方程的关系一次函数与二元一次方程的关系u一次函数与二元一次方程组的关系一次函数与二元一次方程组的关系2课时流程课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升1知识点知识点一次函数与二元一次方程的关系一次函数与二元一次方程的关系1. 二元一次方程二元一次方程y- -x=1有多少个解？你能写出方程的有多少个解？你能写出方程的 几组解吗几组解吗?2. 二元一次方程二元一次方程y- -x=1可以写成一次函数吗？可以写成一次函数吗？3.

2、画出一次函数画出一次函数y=x+1的图像。的图像。4. 把把1题中方程的几组解为坐标的点在题中方程的几组解为坐标的点在3题坐标系上描题坐标系上描 出来，你发现了什么出来，你发现了什么?5. 一次函数一次函数y=x+1的图像上的点的坐标适合二元一次的图像上的点的坐标适合二元一次 方程方程y- -x=1吗？吗？6.你认为二元一次方程与一次函数有什么联系与区别你认为二元一次方程与一次函数有什么联系与区别?知知1 1导导知知1 1导导xy012345- -1- -2- -3- -4- -512345- -167y=x+1知知1 1导导 以二元一次方程的以二元一次方程的解解为为坐标的点坐标的点都在相应的

3、都在相应的函数函数图像图像上上. 反过来，一次函数图像上的反过来，一次函数图像上的点的坐标点的坐标都是相应的都是相应的二元一次方程的解二元一次方程的解.它们它们图像相同图像相同归纳归纳1 形式上他们可以形式上他们可以互相转化互相转化 二元一次方程二元一次方程:ax+by=c 一次函数一次函数y=bcxba归纳归纳2 例1、做一做1 把二元一次方程把二元一次方程2x- -3y=4改写成一次函数改写成一次函数y=kx+b的形式，并画出这个一次函数的图像的形式，并画出这个一次函数的图像.知知1 1练练（来自教材）（来自教材） 图像如图所示图像如图所示24.33yx=-解：解：（来自教材）（来自教材）

4、2 写出二元一次方程写出二元一次方程2x- -y=1的三个解，以方程的解为的三个解，以方程的解为坐标在直角坐标系中画点，这些点是否都在一次函坐标在直角坐标系中画点，这些点是否都在一次函数数y=2x- -1的图像上？的图像上？知知1 1练练2xy1的解有的解有画图略画图略这些点均在一次函数这些点均在一次函数y2x1的图像上的图像上1,2,3,1,3,5.xxxyyy祆=镲镲眄镲=镲铑解：解：知知1 1练练（来自教材）（来自教材）3 把二元一次方程把二元一次方程2(x- -3)+y=0改写成一次函数改写成一次函数y=kx+b的形式，并画出这个一次函数的图像的形式，并画出这个一次函数的图像.y2x6

5、.图像如图所示图像如图所示解：解：知知1 1练练4 以二元一次方程以二元一次方程3x4y8的解为坐标的所有点组成的解为坐标的所有点组成的图像也是一次函数的图像也是一次函数y_的图像的图像5 下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元下面四条直线，其中直线上每个点的坐标都是二元一次方程一次方程2xy2的解的是的解的是()（来自（来自典中点典中点）324x-B6 若二元一次方程若二元一次方程3x2y1所对应的直线是所对应的直线是l，则下列，则下列各点不在直线各点不在直线l上的是上的是()A(1，1) B(1，1)C(3，5) D.（2， ）知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）B252知识点知

6、识点一次函数与二元一次方程组的关系一次函数与二元一次方程组的关系知知2 2导导探究一次函数与二元一次方程组的关系探究一次函数与二元一次方程组的关系1. 解方程组解方程组2. 在同一直角坐标系中画出一次函数在同一直角坐标系中画出一次函数y=x+1和和y=- -x+1 的图像。的图像。+ =1+ =1x yx y- xy012345- -1- -2- -3- -4- -512345- -16y=x+1y=- -x+1(0，1)x+y=1- -x+y=1是否任意两是否任意两个一次函数个一次函数的交点坐标的交点坐标都是它们所都是它们所对应的二元对应的二元一次方程组一次方程组的解？的解？知知2 2导导

7、二元一次方程组的二元一次方程组的解解是这两个方程所对应的一次是这两个方程所对应的一次函数图像的函数图像的交点坐标交点坐标。 反之，两个一次函数图像的反之，两个一次函数图像的交点坐标交点坐标是这两个一是这两个一次函数所对应的二元一次方程组的次函数所对应的二元一次方程组的解解。想一想想一想 若二元一次方程组无解，那么这两个方程所对应若二元一次方程组无解，那么这两个方程所对应的一次函数图像的一次函数图像-。知知2 2导导归纳归纳3平行平行知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）用图像法解二元一次方程组的基本步骤：用图像法解二元一次方程组的基本步骤：(1)将方程组中的两个方程转化成一次函数将方程组中的两个

8、方程转化成一次函数ykxb的的 形式；形式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图像；在同一直角坐标系中画出两函数的图像；(3)利用图像的直观性确定交点坐标利用图像的直观性确定交点坐标归纳归纳41 已知一次函数已知一次函数y=ax+5和和y=-x+b的图像交于点的图像交于点P(1，2).(1)直接写出方程组直接写出方程组 的解的解.(2)求求a，b的值的值.知知2 2练练（来自教材）（来自教材）=5+ =axyy x b，- (1)(2)将将 代入代入 可得可得所以所以a3，b3.=1=2.xy， =1=2.xy， =5+ =axyy x b，- 2=52+1=ab，- 解：解： 知知2 2练

9、练（来自教材）（来自教材）2 解方程组解方程组 并由此指出在同一直角坐标系并由此指出在同一直角坐标系内，一次函数内，一次函数y=2x- -2与与y=- -2x+6图像交点的坐标图像交点的坐标.2=2+2 =6xyyx，- 解方程组得解方程组得由此得两函数图像交点的坐标为由此得两函数图像交点的坐标为(2，2)=2=2.xy， 解：解：3 已知一次函数已知一次函数y12x1和和y2x1的图像如图的图像如图所示，根据图像填空当所示，根据图像填空当x_时，时，y1y2；当；当 x_时，时，y1y2；方程组；方程组 的解是的解是_知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）0=21=1yxyx，- 0=0=

10、1xy，- 知知2 2练练4 如图，过点如图，过点Q(0，3.5)的一次函数的图像与正比例函的一次函数的图像与正比例函数数y2x的图像相交于点的图像相交于点P，能表示这个一次函数图，能表示这个一次函数图像的方程是像的方程是()A3x2y3.50 B3x2y3.50C3x2y70 D3x2y70（来自（来自典中点典中点）D5 若二元一次方程若二元一次方程y2xa与与yxb对应的直线对应的直线都经过点都经过点A(2，0)，且与，且与y轴分别交于点轴分别交于点B，C，则则ABC的面积是的面积是()A4 B5 C6 D7知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）C知知2 2练练6 用图像法解方程组用图像

11、法解方程组 正确的是正确的是()（来自（来自典中点典中点）C2 =42=4xyxy，-+ 7 如图，函数如图，函数y2x和和yax4的图像相交于点的图像相交于点A(m，3)，则不等式，则不等式2xax4的解集为的解集为()Ax3 Bx3 Cx Dx知知2 2练练（来自（来自典中点典中点）D3232知知2 2练练8 用用一次函数一次函数y1kxb与与y2xa的图像如图所示，的图像如图所示，则下列结论：则下列结论：k0；a0；x3时，时，y1y2； 方程组方程组 的解是的解是 其中正确的个数是其中正确的个数是()A1 B2 C3 D4（来自（来自典中点典中点）B12ykxbyxa， ， 31xy.

12、 .， = 知知2 2讲讲例例3 已知一次函数已知一次函数yax2与与ykxb的图像交于点的图像交于点A，如图所示，且方程组，如图所示，且方程组 的解为的解为点点B的坐标为的坐标为(0，1)，请你确定这两个一次函，请你确定这两个一次函数的表达式数的表达式（来自（来自点拨点拨）2yaxykxb， ， 2xy，1 1 要确定这两个一次函数的表要确定这两个一次函数的表达式，需确定交点达式，需确定交点A的坐标，的坐标，而交点而交点A的坐标即为已知方程的坐标即为已知方程组的解因此用待定系数法可求得组的解因此用待定系数法可求得k，b，a的的值，进而确定两个一次函数的表达式值，进而确定两个一次函数的表达式导

13、引：导引：知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）因为方程组因为方程组 的解为的解为所以交点所以交点A的坐标为的坐标为(2，1)，所以所以2a21，解得，解得a .又因为函数又因为函数ykxb的图像过交点的图像过交点A(2，1)和点和点B(0，1)，所以所以 解得解得所以这两个一次函数的表达式分别为所以这两个一次函数的表达式分别为y x2，yx1.=2=1.xy， 2yaxykxb ， ， 12211kbb ，+= - 11.kb ，= - 12解：解：总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨） “交点交点”是解决问题的关键，从是解决问题的关键，从“形形”的角度讲，的角度讲，它是两个函数图像的

14、公共点即自变量值相等时函数值它是两个函数图像的公共点即自变量值相等时函数值也相等的点；从也相等的点；从“数数”的角度讲，它是两个函数表达的角度讲，它是两个函数表达式的公共解，即二元一次方程组的解式的公共解，即二元一次方程组的解1已知关于已知关于x，y的方程组的方程组 的解为的解为(1)写出一次函数写出一次函数y=-x+1和的图像交点和的图像交点P的坐标的坐标.(2)若这两个函数的图像与若这两个函数的图像与x轴分别交于点轴分别交于点A，B， 求求S ABP知知2 2练练（来自教材）（来自教材）+ =1+3 =8x yaxy， =1=2.xy，- 知知2 2练练（来自教材）（来自教材）(1) P(

15、1，2)(2)一次函数一次函数yx1的图像与的图像与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(1，0)，将，将(1，2)代入代入y x ，可得，可得2(1) ，解得，解得a2.一次函数一次函数y x 的图像与的图像与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为(4，0)所以所以AB5.所以所以SABP 525.3a833a83238312解：解： 知知1 1导导 以二元一次方程的以二元一次方程的解解为为坐标的点坐标的点都在相应的都在相应的函数函数图像图像上上. 反过来，一次函数图像上的反过来，一次函数图像上的点的坐标点的坐标都是相应的都是相应的二元一次方程的解二元一次方程的解.总总 结结知知1 1讲讲（来自（来自点拨

16、点拨） 直线直线ykxb与与x轴的轴的交点的横坐交点的横坐标即是二元一标即是二元一次方程次方程ykxb中，当中，当y0时时x的值；直线的值；直线ykxb与与y轴的轴的交点的纵坐标交点的纵坐标即是二元一次方程即是二元一次方程ykxb中，中，当当x0时时y的值解这类题，常运用的值解这类题，常运用数形结合思想数形结合思想 二元一次方程组的二元一次方程组的解解是这两个方程所对应的一次是这两个方程所对应的一次函数图像的函数图像的交点坐标交点坐标。 反之，两个一次函数图像的反之，两个一次函数图像的交点坐标交点坐标是这两个一是这两个一次函数所对应的二元一次方程组的次函数所对应的二元一次方程组的解解。想一想想

17、一想 若二元一次方程组无解，那么这两个方程所对应若二元一次方程组无解，那么这两个方程所对应的一次函数图像的一次函数图像-。知知2 2导导总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）用图像法解二元一次方程组的基本步骤：用图像法解二元一次方程组的基本步骤：(1)将方程组中的两个方程转化成一次函数将方程组中的两个方程转化成一次函数ykxb的的 形式；形式；(2)在同一直角坐标系中画出两函数的图像；在同一直角坐标系中画出两函数的图像；(3)利用图像的直观性确定交点坐标利用图像的直观性确定交点坐标总总 结结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨） “交点交点”是解决问题的关键，从是解决问题的关键，从“形形

18、”的角度讲，的角度讲，它是两个函数图像的公共点即自变量值相等时函数值它是两个函数图像的公共点即自变量值相等时函数值也相等的点；从也相等的点；从“数数”的角度讲，它是两个函数表达的角度讲，它是两个函数表达式的公共解，即二元一次方程组的解式的公共解，即二元一次方程组的解1. 二元一次方程组无解二元一次方程组无解一次函数的图像平行一次函数的图像平行(无交无交 点点)； 二元一次方程组有一组解二元一次方程组有一组解一次函数的图像相交一次函数的图像相交(有有 一个交点一个交点) ； 二元一次方程组有无数组解二元一次方程组有无数组解一次函数的图像重合一次函数的图像重合 (有无数个交点有无数个交点).1知识小结知识小结2. 一次函数与二元一次方程之间的区别和联系：一次函数与二元一次方程之间的区别和联系： 区别：区别：(1)二元一次方程有两个未知数，而一次函数二元一次方程有两个未知数，而一次函数 有两个变量；有两个变量；(2)二元一次方程是用一个等式表示两二元一次方程是用一个等式表示两 个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表个未知数的关系，而一次函数既可以用一个等式表 示两个变量之间的关系，又可以用表格或图像来表示两个变量之间