流体叠加流动

1、7.11 简单的平面势流简单的平面势流对于复杂的势流，我们还可以采用一种较简单的方法：对于复杂的势流，我们还可以采用一种较简单的方法：选择几个简单的无旋流动进行叠加复合求解。选择几个简单的无旋流动进行叠加复合求解。因此本节先介绍势流叠加原理，然后介绍几种基本因此本节先介绍势流叠加原理，然后介绍几种基本的平面势流。的平面势流。一、势流叠加原理一、势流叠加原理平面不可压缩势流速度势和流函数均满足拉普拉斯方平面不可压缩势流速度势和流函数均满足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程是线性齐次方程，所以它的解具程，而拉普拉斯方程是线性齐次方程，所以它的解具有可叠加性，即两个（多个）解的和或差仍是该方程有可叠加性，

2、即两个（多个）解的和或差仍是该方程的解。的解。考虑势函数分别为考虑势函数分别为 和和 的两个有势流动，则每的两个有势流动，则每一流动均满足拉普拉斯方程，即一流动均满足拉普拉斯方程，即0, 0222222212212yxyx两方程相加得两方程相加得022122212yx21或者或者022122122正是由于解的这种可叠加性，才启发我们对于比较正是由于解的这种可叠加性，才启发我们对于比较复杂的流动，如果能选择几个简单的势流的解进行复杂的流动，如果能选择几个简单的势流的解进行叠加，并使叠加后满足的边界条件与给定边界条件叠加，并使叠加后满足的边界条件与给定边界条件吻合，那么这个叠加后的解就是所要求的比

3、较复杂吻合，那么这个叠加后的解就是所要求的比较复杂流动解。类似可以证明流函数也满足叠加原理。流动解。类似可以证明流函数也满足叠加原理。对势函数对势函数关于关于x x取偏导数，取偏导数，xxx21即即21uuu对势函数对势函数关于关于y y取偏导数，取偏导数，yyy21即即21vvv于是有于是有21VVV结论：几个无旋流动的速度势及流函数的代数和等结论：几个无旋流动的速度势及流函数的代数和等于新的无旋流动的速度势函数和流函数，新的无旋于新的无旋流动的速度势函数和流函数，新的无旋流动的速度是这些无旋流动速度的矢量和。流动的速度是这些无旋流动速度的矢量和。二、几种简单的势流流动二、几种简单的势流流动

4、定义定义: 流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流；若流速的大小和方向沿流线不变的流动为均匀流；若流线平行且流速相等，则称均匀等速流。流线平行且流速相等，则称均匀等速流。1 均匀等速流动（平行流）均匀等速流动（平行流） 如如 ，其中，其中 就是这样的流动就是这样的流动jvivVyx00常常数数、0yxvv由于由于dyvdxvdyydxxdyx00积分得积分得yvxvyx00由于由于dyvdxvdyydxxdxy00积分得积分得yvxvxy00积分常数对流动计算无积分常数对流动计算无影响，故取影响，故取0uxyo112323显然，等势线显然，等势线Cyvxvyx0000Cyvxvxy等流线等流

5、线是相互垂直的两簇直线是相互垂直的两簇直线由于流场中各点速度相同，流动无旋，故处处有由于流场中各点速度相同，流动无旋，故处处有常数pgz流场中总势能保持不变，若是水平面上的均匀等速流，流场中总势能保持不变，若是水平面上的均匀等速流，重力可忽略不计，则重力可忽略不计，则p=常数常数，即压强在流场中处处相，即压强在流场中处处相等。等。2 点源和点汇点源和点汇 点源：点源：流体从某点向四周呈直线均匀径向流出的流流体从某点向四周呈直线均匀径向流出的流动，这个点称为动，这个点称为源点源点。 点汇：点汇：流体从四周往某点呈直线均匀径向流入的流流体从四周往某点呈直线均匀径向流入的流动，这个点称为动，这个点称

6、为汇点汇点。 点源点源点汇点汇显然，不管是显然，不管是点源还是点汇，点源还是点汇，都只有径向流都只有径向流速速vr根据流体连续性条件，流体通过任一单位长度圆柱根据流体连续性条件，流体通过任一单位长度圆柱面流出或流入的流量均相等，即面流出或流入的流量均相等，即Vrqrv12rqvVr2得到得到对于源流，流速与半径同向，取正号；对于源流，流速与半径同向，取正号；对于汇流，流速与半径反向，取负号。对于汇流，流速与半径反向，取负号。求点源或点汇的速度势函数和流函数求点源或点汇的速度势函数和流函数rqrrvr20rrvdrrqdrvdrvddrrdr2dqdrvdrvddrrdr2对上面两式积分，并令积

7、分常数等于零，得到：对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到：rqln22q等势线是半径不同的圆，流线是通过原点极角不同等势线是半径不同的圆，流线是通过原点极角不同的射线。的射线。rvrv注：当注：当r=0时，速度势函数和速度时，速度势函数和速度 无穷大，源点和汇点是流动的奇点，因此，速度势函数和速度无穷大，源点和汇点是流动的奇点，因此，速度势函数和速度 只有在源点或汇点以外才有意义。只有在源点或汇点以外才有意义。若若Oxy平面是水平面，对半径平面是水平面，对半径r处和无穷远处列伯努处和无穷远处列伯努利方程利方程pvp22将速度值代入后将速度值代入后2228rqppV2228rqppV由由知知

8、压强随半径的减小而降低。零压强处压强随半径的减小而降低。零压强处pqrV2208上述各式的实际适用范围为：上述各式的实际适用范围为：rr0，这是因为绝，这是因为绝对压强只能接近对压强只能接近0还不能达到还不能达到0。3 点涡点涡 涡点以外的速度分涡点以外的速度分布仍为：布仍为：brrrv20rv0rrvrrrrv2ddrvdrvdr2drrdrvdrvdr22rln2常数涡点以外的势流区压强分布仍为涡点以外的势流区压强分布仍为222282rpvpp零压强处零压强处pr2208上述各式的实际适用范围为上述各式的实际适用范围为rr0.介绍以上几种简单的平面势流，重要的不是它们能介绍以上几种简单的平

9、面势流，重要的不是它们能代表怎样的实际流动，而是它们是势流的基本单元；代表怎样的实际流动，而是它们是势流的基本单元；把几种基本单元组合在一起，可以形成许多有重要把几种基本单元组合在一起，可以形成许多有重要意义的复杂流动。意义的复杂流动。7.12 平面势流的叠加流动平面势流的叠加流动1 点汇和点涡点汇和点涡螺旋流螺旋流位于坐标原点的汇流和势涡叠加，根据点汇和点位于坐标原点的汇流和势涡叠加，根据点汇和点涡的速度势函数和流函数的表达式，可得组合流涡的速度势函数和流函数的表达式，可得组合流动的速度势和流函数为动的速度势和流函数为rqVln22Vq2rln2点汇点汇点涡点涡螺旋流螺旋流rqVln21rq

10、Vln21令以上两式等于常数，可得到等势线和流线分别为令以上两式等于常数，可得到等势线和流线分别为VqeCr1VqeCr2 螺旋流示意图螺旋流示意图其速度分布为其速度分布为rrvrqrvVr2,2压强分布为压强分布为2222282rqpvppV旋风燃烧室、离心式除尘器、离心式喷油嘴等装置，旋风燃烧室、离心式除尘器、离心式喷油嘴等装置，由于流体沿圆周切向流入，从中心流出，类似上述由于流体沿圆周切向流入，从中心流出，类似上述螺旋流；离心式泵、风机外壳中的流体，由叶轮旋螺旋流；离心式泵、风机外壳中的流体，由叶轮旋转流入，沿外壳切向流出，则类似于源流与点涡的转流入，沿外壳切向流出，则类似于源流与点涡的

11、叠加生成的螺旋流。叠加生成的螺旋流。2 源流和汇流叠加源流和汇流叠加偶极流偶极流rqVln22Vq点汇点汇rqVln22Vq点源点源组合流动速度势函数和流函数为组合流动速度势函数和流函数为2222ln4ln2lnln2yaxyaxqrrqrrqVBAVBAV2222arctan222ayxayqqqVPVBAVP(x,y)B BA AP Pr rA Ar rB B2222arctan222ayxayqqqVPVBAV上式推导利用了上式推导利用了BABABAtantan1tantantan动点动点P至源点至源点A汇点汇点B两条连线的夹角，在流线两条连线的夹角，在流线constqPV2上时，上时，

12、constP即流线是经过源点和汇点的圆线簇即流线是经过源点和汇点的圆线簇Maq 2)()2(lim02常数Maqqa当当为微量时，为微量时，32)1ln(32由前面导出的源、汇叠加形式的速度势和流函数的形由前面导出的源、汇叠加形式的速度势和流函数的形式可获得偶极子流的速度势和流函数式可获得偶极子流的速度势和流函数2202204441ln4limlimyaxxaqyaxxaqVqaVqaVV即即rMyxxMcos222222202220222arctan2limlimayxayqayxayqVqaVqaVVrMyxyMsin2222令令122cos22CrMyxxM2122144CMyCMx即等

13、势线是圆心为即等势线是圆心为 半径为半径为 且与且与y轴圆轴圆点相切的圆簇。点相切的圆簇。0 ,41CM14 CM2222CyxyM2222244CMxCMy即流线是圆心为即流线是圆心为 半径为半径为 且与且与x轴圆点相切轴圆点相切的圆簇。的圆簇。 偶极子流示意图偶极子流示意图24, 0CM24 CM偶极流的速度场为偶极流的速度场为22222222222222yxMVyxxyMyvyxxyMxvyx极坐标形式极坐标形式2222sin2cos2rMVrMrvrMrvr直角坐标形式直角坐标形式当当r趋于无穷大速度趋于无穷大速度V趋于趋于0，而在偶极子中心处速，而在偶极子中心处速度趋于无穷大。偶极子

14、流的压强为度趋于无穷大。偶极子流的压强为422282rMpvpp圆柱体绕流v 绕无穷长圆柱的流动绕无穷长圆柱的流动7.13 圆柱体无环量绕流rMyxxMcos2222cos22rrMvsin22rrMvcos00rvyvxvyxsin00rvyvxvxyrMyxyMsin2222222yxxMxv222yxyMyv00222yxyMyvvMyxy2022210)2/(vMr202rvMsin)1 (cos)1 (220220rrrvrrrv0rr 均匀流绕过圆柱体无环量的流动均匀流绕过圆柱体无环量的流动)(2)()(1 222202222220yxxyrvyvyxyxrvxvyxxy vvx0

15、yvsin)1 (1cos)1 (220220rrvrvrrvrvr0sin)1 (220drrrvdsv01800v90v vv2maxsin20vvvr 2222vpvp)sin41 (2122vpp22121vvvppCp2sin41pC 压强系数沿圆柱面的分布压强系数沿圆柱面的分布00yxFLFD7.14 圆柱体有环流rrrrvrrrvln2)1 (sin2)1 (cos220220rrrvrvrrvrvr2sin)1 (cos)1 (2202200rr Cr 0ln20rr 02sin20rvvvrrcos vvrsin vv00vvr04sinvr041sinvr04sinvr04

16、若若两个驻点重合成一点，并位于圆柱面最下两个驻点重合成一点，并位于圆柱面最下端。端。vr04sinvr04 1sin0rv0v如果叠加的点涡强度如果叠加的点涡强度 ，驻点的位置与上面讨论的，驻点的位置与上面讨论的情况正好相差情况正好相差180。由此可见，驻点的位置不简单取。由此可见，驻点的位置不简单取决于决于: 而取决于而取决于0)4/(0vr大大小小、方方向向 V,显然，有环量的绕圆流动其左右仍是对称的，但上下已不显然，有环量的绕圆流动其左右仍是对称的，但上下已不对称了，因此在垂直于来流的对称了，因此在垂直于来流的 y 方向合力就不会为零。方向合力就不会为零。垂直于来流方向的空气动力分力称为升力，可以通过沿圆垂直于来流方向的空气动力分力称为升力，可以通过沿圆柱表面压强积分（利用伯努利方程将压强表为速度分布后柱表面压强积分（利用伯努利方程将压强表为速度分布后积分求得），或者利用动量方程求出合力。积分求得），或者利用动量方程求出合力。222