附录I截面的几何性质

1、材材 料料 力力 学学附录附录I I 截面的几何性质截面的几何性质I-1 I-1 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置I-3 I-3 平行移轴公式平行移轴公式I-4 I-4 转轴公式转轴公式I-2 I-2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径I-1 I-1 截面的静矩和形心位置截面的静矩和形心位置yxodAyxA一、静矩一、静矩ydA AxydAS微面积微面积dA对对x轴的静矩轴的静矩面积面积A对对x轴的静矩轴的静矩 AyxdAS面积面积A对对y轴的静矩轴的静矩注意：注意： 静矩是对一定的轴而言，同一截面对不同的轴静静矩是对一定的轴而言，同一截面对不同的轴静 矩不同，静矩可为正，可

2、为负，也可为零。矩不同，静矩可为正，可为负，也可为零。 静矩的量纲静矩的量纲: : S = = L3 。常用。常用单位单位: cm3。 二、二、 形心（平面图形的几何中心）形心（平面图形的几何中心）由静力学可知由静力学可知： 均质平面薄板的重心公式均质平面薄板的重心公式 均质平面薄板的均质平面薄板的重心重心也也是该薄板平面图形的是该薄板平面图形的形心形心。 AxdAxAc AydAyAc yxodAyxACycxcASAxdAxyAc ASAydAyxAc AxScy AyScx 静矩的另一计算方法静矩的另一计算方法yxodAyxACycxc静矩的计算方法：静矩的计算方法： AxydAS Ay

3、xdASAxScy AyScx 说明：截面图形对形心轴的静矩等于零。说明：截面图形对形心轴的静矩等于零。 （截面图形对某一轴的静矩若等于零，则该轴必（截面图形对某一轴的静矩若等于零，则该轴必通过截面的形心。）通过截面的形心。）ycxc三、组合截面的静矩计算三、组合截面的静矩计算 niicinixixAySS11 niicxAyS1yxoC( (xc,yc) )ycxc niiniicicAAyy11 niiniicicAAxx11组合截面形心的确定式组合截面形心的确定式60602020例例1. 1. 求截面图形的形心。求截面图形的形心。解：解：1.1.建立参考坐标建立参考坐标xyyxC ( (

4、xc,yc) )2.2.求坐标求坐标 xc， yc niiniicicAAyy110 cx212211AAAyAycc 60206020602010602050 mm30 30 求截面图形的形心求截面图形的形心分割法分割法负面积法负面积法负面积法负面积法I-2 I-2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积 惯性半径惯性半径一、一、惯性矩惯性矩dAy2yxodAyxA AxdAyI2微面积微面积dA对对x轴的轴惯性矩轴的轴惯性矩截面截面A对对x轴的轴的轴惯性矩轴惯性矩 AydAxI2截面截面A对对y轴的轴的轴惯性矩轴惯性矩 APdAI2 截面截面A对对O 点点的的极惯性矩极惯性矩注：轴惯性矩简称注：轴惯性

5、矩简称轴惯矩轴惯矩，又称为截面的，又称为截面的二次轴矩二次轴矩 轴惯性矩与极惯性矩之间的关系轴惯性矩与极惯性矩之间的关系 yxodAyxA 222 yx yxPIII dAyxdAIAAP 222 表明：截面对其所在平面内任一点的极惯性矩等表明：截面对其所在平面内任一点的极惯性矩等 于此截面对通过该点的一对正交坐标轴的于此截面对通过该点的一对正交坐标轴的 轴惯性矩之和。轴惯性矩之和。二、二、惯性积惯性积yxodA yxA AxyxydAI截面截面A对对x、y轴的轴的惯性积惯性积 Ix、Iy和和Ip永为正；永为正； Ixy可可为正，可为负，也可为零。为正，可为负，也可为零。注意：注意： Ix、

6、Iy、Ip、Ixy = = L4 ；常用；常用单位单位: cm4。 如果截面有一对称轴，那么对包含于这一对如果截面有一对称轴，那么对包含于这一对称轴的正交坐标轴的惯性积称轴的正交坐标轴的惯性积为零。为零。三、三、惯性半径惯性半径xdA yA AxdAyI2ix AxxAxxAidAidAiI222xxII 可调整可调整 ix 的大小，使的大小，使即即AiIxx2 AIixx 惯性半径惯性半径注意：注意： ix = = L ；常用；常用单位单位: cm。A四、简单截面的四、简单截面的惯性矩计算惯性矩计算（是指对通过截面形心的对称轴的惯性矩计算）（是指对通过截面形心的对称轴的惯性矩计算）1. 1.

7、 矩形截面矩形截面yxCbhydy AxdAyI2bdydA 2 222 22hhhhxdyybbdyyI123bhIx 123hbIy 同理同理2. 2. 圆形截面圆形截面yxCD6421 4DIIIPyx yxPIII 3. 3. 圆环形截面圆环形截面yxCDd 4416421 DIIIPyx同理同理Dd 其中：其中：4. 4. 常用型材的截面的几何性质常用型材的截面的几何性质查：附录查：附录 型钢规格表型钢规格表I-3 I-3 平行移轴公式平行移轴公式一、平行移轴公式一、平行移轴公式yxodAyxACba已知截面的形心已知截面的形心C( (a, ,b) )，过，过形心形心C建立一个与原坐

8、标系平建立一个与原坐标系平行的坐标系行的坐标系xcCyc如图：如图：ycxcxcycaxxc byyc dAbydAyIAcAx22 yxodAyxACbaycxcxcyc dAbydAyIAcAx22 dAbbyyAcc 222dAybdAbdAyAcAAc 222AbIxc2 0 xcS即即AbIIxcx2 AaIIycy2 abAIIxcycxy 平行移轴公式平行移轴公式注意：注意：a、b的正负号。的正负号。二、组合截面的二、组合截面的惯性矩和惯性积的计算惯性矩和惯性积的计算 niixxII1 niiyyII1 niixyxyII160602020例例2.2.求截面对通过形心的水平及垂直

9、坐标轴的惯性矩。求截面对通过形心的水平及垂直坐标轴的惯性矩。解：解：1.1.建立参考坐标建立参考坐标xyyxC ( (xc, ,yc) )2.2.求形心坐标求形心坐标 xc， yc0 cx212211AAAyAyyccc 6262621625 cm3 3.3.过形心作水平坐标轴过形心作水平坐标轴xyc=30 x4.4.求求 Ix 和和 IyxxxIII 6221226622126223234136cm yyyIII 1262122633 440cm 60602020yxC ( (xc, ,yc) )yc=30 x例例3.3.求截面对通过形心的水平及垂直坐标轴的惯性矩。求截面对通过形心的水平及垂

10、直坐标轴的惯性矩。x1602020yC (xc,yc)xyc= =130解：解：1.1.建立参考坐标建立参考坐标xy2.2.求形心坐标求形心坐标 xc， yc0 cx212211AAAyAyyccc 1612201616128201610 cm13 3.3.过形心作水平坐标轴过形心作水平坐标轴xx1602020yxC (xc,yc)yc= =1304.4.求求 Ix 和和 IyxxxIII 2016312201623 44651cm 1612512161223 yyyIII 1212161216203 3 44523cm x1602020yxC (xc,yc)yc= =130I-4 I-4 转

11、轴公式转轴公式yxoyxdAAy1 1x1 1 x1 1y1 1 AxdAyI2 AydAxI2 AxyxydAI规定：规定： 逆时针转为正逆时针转为正 sinycosxx 1 sinxcosyy 1 AxdAyI211 AydAxI211 AyxdAyxI1111 sinycosxx 1 sinxcosyy 1yxoyxdAAy1 1x1 1 x1 1y1 1 22221sinIcosIIIIIxyyxyxx 22221sinIcosIIIIIxyyxyxy yxoyxdAAy1 1x1 1 x1 1y1 1 22211cosIsinIIIxyyxyx (1) 22221 sinIcosII

12、IIIxyyxyxx (2) 22221 sinIcosIIIIIxyyxyxy (3) 22211 cosIsinIIIxyyxyx 转轴公式转轴公式讨论：讨论：1.1.（1 1）+ +（2 2）得）得pyxyxIIIII 11 截面对通过一点的正交坐标轴的轴惯性矩之截面对通过一点的正交坐标轴的轴惯性矩之和是一常量（极惯性矩）。和是一常量（极惯性矩）。(1) 22221 sinIcosIIIIIxyyxyxx (2) 22221 sinIcosIIIIIxyyxyxy (3) 22211 cosIsinIIIxyyxyx 2.2. )(fIIIyxyx 1111、注意：注意： 的正负号。的正负号。 22211cosIsinIIIxyyxyx 3.3.当当 =0 0时，时，yxoyxdAAy1 1x1 1 x1 1y1 1xyyxII 11当当 =9090o o时，时，xyyxII 11概念：概念：0 110 yxI 主惯性轴主惯性轴截面对其惯性积为零的一对坐标轴。截面对其惯性积为零的一对坐标轴。形心主惯性轴形心主惯性轴坐标轴的原点通过截面的形心，坐标轴的原点通过截面的形心， 又惯性积为零。又惯性积为