工程力学(1)-第7章

1、材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案1第七章第七章 弯曲强度弯曲强度7- -1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件7- -2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图7- -3 与应力分析相关的截面图形几何量与应力分析相关的截面图形几何量7- -4 平面弯曲时梁横截面上的正应力平面弯曲时梁横截面上的正应力-5 平面弯曲正应力公式应用举例平面弯曲正应力公式应用举例- 梁的强度计算梁的强度计算-结论与讨论结论与讨论材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案2- -1 工程中的弯曲构件工程中的弯曲构件. 关于弯曲的概念关于弯曲的概念 受力特点： 杆件在包含其轴线的纵向平

2、面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。 变形特点： 直杆的轴线在变形后变为曲线。 梁以弯曲为主要变形的杆件称为梁。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案3弯曲变形材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案4工程实例F2F1材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案5纵向对称面 对称弯曲对称弯曲外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。 非对称弯曲非对称弯曲梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。材材 料料 力力 学学 电电 子子

3、 教教 案案6本章讨论对称弯曲时梁的内力和应力。 对称弯曲时和特定条件下的非对称弯曲时，梁的挠曲线与外力所在平面相重合，这种弯曲称为平面弯曲。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案7. . 梁的计算简图梁的计算简图 对于对称弯曲的直梁，外力为作用在梁的纵对称面内的平面力系，故在计算简图中通常就用梁的轴线来代表梁。 这里加“通常”二字是因为简支梁在水平面内对称弯曲时不能用轴线代表梁。F材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案8(1) 支座的基本形式支座的基本形式1. 固定端实例如图a，计算简图如图b, c。(b)(c)MRFRxFRy(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教

4、案案9 2. 固定铰支座实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。 3. 可动铰支座实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案10悬臂梁(2) 梁的基本形式梁的基本形式简支梁外伸梁材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案11 在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。(3) 静定梁和超静定梁静定梁和超静定梁 图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案12-2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图. 梁

5、的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩(shearing force and bending moment) 图a所示跨度为l的简支梁其约束力为lFaFlalFFBA , 梁的左段内任一横截面mm上的内力，由mm左边分离体(图b)的平衡条件可知：xlalFxFMlalFFFAA,S材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案13 它们的指向和转向如图b中所示。显然这些内力是 mm右边的梁段对于左边梁段的作用力和作用力矩。 故根据作用与反作用原理，mm左边的梁段对于右边梁段(图c)的作用力和作用力矩数值应与上式所示相同，但指向和转向相反。这一点也可由mm右边分离体的平衡条件加以检验：材材 料料 力力 学学

6、 电电 子子 教教 案案140, 0SByFFFF00 xlFxaFMMBClalFlFaFFFFBS从而有xlalFxllFaxaFxlFxaFMB从而有材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案15 梁的横截面上位于横截面内的内力FS是与横截面左右两侧的两段梁在与梁轴相垂直方向的错动(剪切)相对应，故称为剪力；梁的横截面上作用在纵向平面内的内力偶矩是与梁的弯曲相对应，故称为弯矩。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案16 为使无论取横截面左边或右边为分离体，求得同一横截面上的剪力和弯矩其正负号相同，剪力和弯矩的正负号要以其所在横截面处梁的微段的变形情况确定，如图。材材 料料 力

7、力 学学 电电 子子 教教 案案17 综上所述可知： (1) 横截面上的剪力在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力的代数和。左侧梁段上向上的外力或右侧梁段上向下的外力将引起正值的剪力；反之，则引起负值的剪力。 (2) 横截面上的弯矩在数值上等于截面左侧或右侧梁段上外力对该截面形心的力矩之代数和。 1. 不论在左侧梁段上或右侧梁段上，向上的外力均将引起正值的弯矩，而向下的外力则引起负值的弯矩。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案18 2. 截面左侧梁段上顺时针转向的外力偶引起正值的弯矩，而逆时针转向的外力偶则引起负值的弯矩；截面右侧梁段上的外力偶引起的弯矩其正负与之相反。材材 料料 力力

8、 学学 电电 子子 教教 案案19. . 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 剪力方程和弯矩方程实际上是表示梁的横截面上的剪力和弯矩随截面位置变化的函数式，它们分别表示剪力和弯矩随截面位置的变化规律。显示这种变化规律的图形则分别称为剪力图和弯矩图。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案20图a所示悬臂梁受集度为q的满布均布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案21 距右端为x的任意横截面上的剪力FS(x)和弯矩M(x)，根据截面右侧梁段上的荷载有 lxqxxqxxMlxqxxF02202S解：1. 列剪力方程

9、和弯矩方程 当求悬臂梁横截面上的内力(剪力和弯矩)时，若取包含自由端截面的一侧梁段来计算，则可不求出约束力。 xMFS(x)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案222. 作剪力图和弯矩图 根据剪力方程和弯矩方程作出剪力图和弯矩图分别如图b和图c。按照习惯，剪力图中正值的剪力值绘于x轴上方，弯矩图中正值的弯矩值则绘于x轴的下方(即弯矩值绘于梁弯曲时其受拉的边缘一侧)。 lxqxxF0S lxqxxqxxM0 222 (b)(c) 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案23 由图可见，此梁横截面上的最大剪力其值为FS,max=ql，最大弯矩(按绝对值)其值为 (负值)，它们都发生

10、在固定端右侧横截面上。22maxqlM (b) (c) (a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案24图a所示简支梁受集度为q的满布荷载作用。试作梁的剪力图和弯矩图。解：解：1. 求约束力2qlFFBA(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案252. 列剪力方程和弯矩方程 lxqxqlqxFxFA02S lxqxqlxxqxxFxMA02222 xMFS(x)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案26 由图可见，此梁横截面上的最大剪力(按绝对值)其值为 (正值，负值)，发生在两个支座各自的内侧横截面上；最大弯矩其值为 发生在跨中横截面上。2max,SqlF82ma

11、xqlM3. 作剪力图和弯矩图 lxqxqlxF02S lxqxqlxxM0222材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案27 简支梁受满布荷载作用是工程上常遇到的计算情况，初学者对于此种情况下的剪力图、弯矩图和FS,max，Mmax的计算公式应牢记在心！材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案28图a所示简支梁受集中荷载F 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。F(a)解：解：1. 求约束力lFaFlFbFBA ,材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案292. 列剪力方程和弯矩方程 此梁上的集中荷载将梁分隔成AC和CB两段，两段内任意横截面同一侧梁段上的外力显然不同，可见这两段梁

12、的剪力方程和弯矩方程均不相同，因此需分段列出。FAC段梁 axxlFbxFxMaxlFbFxFAA0 0 S xMFS(x)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案30CB段梁 lxalFalblFFlFbxFSFFx xMFS(x) lxaxllFaaxFxlFbxM 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案313. 作剪力图和弯矩图 如图b及图c。由图可见，在b a的情况下，AC段梁在0 xa的情况下，C截面右侧(x=a+)横截面上的弯矩绝对值最大， 为 （负值)。弯矩图在集中力偶作用处有突变，也是因为集中力偶实际上只是作用在梁上很短长度范围内的分布力矩的简化。lMFeSlbM

13、Memax材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案38思考思考1：一简支梁受移动荷载F作用，如图所示。试问： (a) 此梁横截面上的最大弯矩是否一定在移动荷载作用处？为什么？ (b) 荷载F移动到什么位置时此梁横截面上的最大弯矩比荷载在任何其它位置时的最大弯矩都要大？该最大弯矩又是多少？亦即要求求出对于弯矩的最不利荷载位置和绝对值最大弯矩值。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案39思考思考2：对于图示带中间铰C的梁，试问： (a) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有向下的同样的集中力F，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？ (b) 如果分别在中间铰左侧和右侧作用有同样大小且同

14、为顺时针的力偶矩Me的力偶，这两种情况下梁的剪力图和弯矩图是否相同？C材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案40 例例 简支梁受力如图a所示。试写出梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：解：1. 求支座约束力得和由00ABMMqlFqlFBA81 ,83 可利用平衡方程 对所求约束力进行校核。 0yF(a) xBAl/2l/2CqFAFB材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案412. 建立剪力方程和弯矩方程 AC段： CB段： qxqlxF83)(S22183)(qxqlxxMqlxF81)(S)2(lxl)20(lx )20(lx )(81)(xlqlxM)2(lx

15、l(a) xBAl/2l/2CqFAFB材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案423求控制截面内力，绘FS , M图 FS图：AC段内 剪力方程是x的一次函数，剪力图为斜直线，故求出两个端截面的剪力值即可qlFA83S右qlFC81S左CB段内 剪力方程为常数，求出其中任一截面的内力值连一水平线即为该段剪力图。 qlFB81S左(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案43M图：AC段内 弯矩方程是x的二次函数，表明弯矩图为二次曲线，需求出两个端截面的弯矩。需判断顶点位置，该处弯矩取得极值。 0AM2161ql

16、MC)0)(0d)(d1SxFxxM211289)83(qllMlx83(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案44我们可以发现，对于该梁来说有 qxxMxFxxMqxxF22SSddddddCB段内 弯矩方程是x的一次函数，分别求出两个端点的弯矩，并连成直线即可。 0BM2161qlMC(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案45 （a） 当梁上有向下的均布荷载时

17、，剪力图为一条直线，其斜率 为负； xxFddS而且，这微分关系也体现在该梁的剪力图和弯矩图中：(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案46(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2 （b）从剪力图可见，随x的增大剪力FS由正值逐渐变为负值，故弯矩图切线的斜率 也应随x的增大而由正值逐渐变为负值；且在 的截面处 ，即弯矩图切线的斜率为零而弯矩有极值； xxMdd0SF 0ddxxM材材 料料 力力 学学 电电 子

18、子 教教 案案47 （c）由 可知，弯矩图的曲率 为负，亦即在弯矩图的纵坐标如图中那样取向下为正时，弯矩图为下凸的二次曲线。 qxxM22dd 22ddxxM(a) xBAl/2l/2Cq(b) FSx38 l18 ql38 ql(c) Mx9128ql2116ql2材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案48. . 弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用弯矩、剪力与荷载集度之间的关系及其应用M(x), FS(x)与q(x)间微分关系的导出 从图a所示简支梁的有分布荷载的区段内，取出长为dx的梁段，如图b所示。这里分布荷载的集度q(x)以向上为正值，且略去荷载集度在微量dx范围内的变化。

19、梁的微段其左、右横截面上的剪力和弯矩均为正值。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案49 0dd0SSSxxqxFxFxFFy从而得： xqxxFddS 02dddd0SxxxqxxFxMxMxMMC得及00CyMF由梁的微段的平衡方程略去二阶无穷小项 ，即得 2ddxxxq xFxxMSdd材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案50 应用这些关系时需要注意，向上的分布荷载集度为正值，反之则为负值。由以上两个微分关系式又可得 xqxxM22dd材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案51常见荷载下常见荷载下FS，M图的一些特征图的一些特征向上）(0 cq向下）(0 cq0

20、q)0(ScbcxF)0(212cdbxcxM)0(ScbcxF)0(212cdbxcxMcF SbcxM材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案52集中力作用处集中力偶作用处 若某截面的剪力FS(x)=0，根据 ，该截面的弯矩为极值。 0)(d)(dSxFxxM材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案53 利用以上各点，除可以校核已作出的剪力图和弯矩图是否正确外，还可以利用微分关系绘制剪力图和弯矩图，而不必再建立剪力方程和弯矩方程，其步骤如下： (1) 求支座约束力； (2) 分段确定剪力图和弯矩图的形状； (3) 求控制截面内力，根据微分关系绘剪力图和弯矩图； (4) 确定|F

21、S|max和|M|max 。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案54 例题 一简支梁在其中间部分受集度为 q=100 kN/m的向下的均布荷载作用，如图a所示。试利用弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系校核图b及图c所示的剪力图和弯矩图。x+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq-材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案55kN100m2mkN10021BAFF而根据 可知，AC段内的剪力图应当是水平直线。该段内梁的横截面上剪力的值显然为 xqxxFddSkN100SAFF1. 校核剪力图 解：解

22、：此梁的荷载及约束力均与跨中对称，故知约束力FA，FB为+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq 该梁的AC段内无荷载，材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案56 对于该梁的CD段，分布荷载的集度q为常量，且因荷载系向下而在微分关系中应为负值，即q=-100 kN/m。kN100m2kN/m100kN100+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq xqxxFddS kN/m100ddSxxF 根据 可知CD段内的剪力图确应为向右下方倾斜的斜直线。由于C点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故斜直线左端的

23、纵坐标确为100 kN。根据斜直线的斜率为 ，可证实D截面处的剪力确应为材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案57 对于该梁的DB段，梁上无荷载，故剪力图应该是水平直线；且由于D点处无集中力作用，剪力图在该处无突变，故该水平直线的纵坐标确为-100 kN。作为复核，显然支座B偏左横截面上的剪力就是kN100SBFF+-100 kN100 kNFSxFS 图yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案582. 校核弯矩图mkN100m1kN1000CM这与图中所示相符。 该梁的AC段内，剪力为常量，因而根据 常量可知此段梁的弯矩图应为斜率为 的正

24、值的斜直线。据此，由支座A处横截面上的弯矩为零可知C截面处的弯矩为 xFxxMSddmmkN100kN100即+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案59 事实上，这个弯矩值也可根据 xFxxMSdd mkN100m1kN1000dSACACxxFMM此式中的 从几何意义上来说，它就是AC段内剪力图的面积。 ACxxFdS+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）通过积分来复核：材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案60

25、 对于该梁的CD段，根据 可知： mkN100dd22xqxxM 弯矩图是如图(c)中所示曲率为负(即向下凸)的二次曲线。因为梁上C点处无集中力偶作用，故弯矩图在C截面处应该没有突变；+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案61 由于C截面处剪力无突变，故CD段的弯矩图在C处的切线的斜率应该与AC段梁弯矩图在C处的斜率相等，即两段梁的弯矩图在C处应光滑连接。+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1

26、m4 mq材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案62 mkN100m1kN10021mkN150dmkN150m1kN10021mkN100dSSEDEDCECExxFMMxxFMM 在剪力为零的跨中截面E处，弯矩图切线的斜率为零，而弯矩有极限值，其值为同样，根据 可知， xFxxMSdd这些均与图(c)中所示相符。+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案63 对于该梁的DB段，由于剪力为负值的常量，故弯矩图应该是斜率为负的斜直线。因为梁上D点处无集中力偶作用，故弯矩图在D截面处不应有突变，再考虑B

27、支座处弯矩为零，即可证实图(c)中此段梁的弯矩图也无误。+-100 kN100 kNFSxFS 图+100150100 xMM图（kNm）yFAFBABCDE2 m1 m4 mq材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案64已知：图中梁的约束力为 qaFqaFDA2 ，思考：思考：试指出图示三根梁各自的剪力图和弯矩图中的错误。正确答案：(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案65图中梁的约束力为 qaFqaFBA31 35，正确答案：(b)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案66图中梁的约束力为0 0AAMF，正确答案： (c) 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教

28、教 案案67. 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案68 (1) 在小变形情况下求梁的约束力、剪力和弯矩时，我们都是按梁未变形时的原始尺寸进行计算的，例如对于图a所示悬臂梁，其剪力方程和弯矩方程分别为 lxqxFxxMlxqxFxF0 ,20 ,2S(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案69 这就是说，在小变形情况下，此梁横截面上的剪力和弯矩分别等于集中荷载F和均布荷载q单独作用时(图b和图c)相应内力的代数和叠加。因此该梁的剪力图和弯矩图也就可以利用叠加的方法作出。(b)(c) (a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案7

29、0 (2) 叠加原理 当所求参数(约束力、内力、应力或位移)与梁上(或结构上)荷载成线性关系时，由几项荷载共同作用所引起的某一参数之值，就等于每项荷载单独作用时所引起的该参数值的叠加。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案714/qlF (3) 示例 图a所示受满布均布荷载q并在自由端受集中荷载 作用的悬臂梁，其剪力图和弯矩图显然就是图b和图c所示，该梁分别受集中荷载F和满布均布荷载q作用时两个剪力图和两个弯矩图的叠加。F=ql/4lq(a)F=ql/4l(b)lq(c)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案72 -42ql322qlM2/ lx Flq(a) -xSFF43q

30、lF=ql/4l(b)lq(c)M42qlxSFxF -SFqlx-22qlMx材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案73 图d为直接将图b和图c中两个弯矩图叠加后的图形，将图中斜直线作为弯矩图的水平坐标轴时，它就是图a中的弯矩图。lq(c) -SFqlx-22qlMx-x42ql22qlM(d)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案74 作剪力图时虽然(如上所示)也可应用叠加原理，但由于梁上通常无集度变化的分布荷载，而剪力图由直线段组成，作图比较简单，故往往只说按叠加原理作弯矩图。 由图a可见，该梁横截面上的最大剪力为 (负值) ,最大弯矩为 (负值)，而极值弯矩 并非最大弯

31、矩。43max,SqlF42maxqlM3224qlMl -42ql322qlM2/ lx Flq(a) -xSFF43ql材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案75 第一节 静矩和形心一、静矩(面积矩）定义： 微面积dA对z轴和y轴的静矩分别为 和dAydAz 截面（面积A)对z轴和y轴的静矩分别为：;AydAzS;AzdAyS 静矩为代数值。静矩单位：;33mmm 不同截面对同一坐标轴的静矩不同；同一截面对不同坐标轴的静矩也不同。 若截面形心坐标为zc、yc，将面积视为平行力（即看作等厚、均质薄板的重力），由合力矩定理可得：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS 当Sz=0或Sy

32、=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，则截面对该轴的静矩为零。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案76 二、形心公式：.;ASzASyyczc 三、组合截面的静矩：n个简单图形组成的截面，其静矩为：;1niciizyAS;1niciiyzAS四、组合截面形心公式：;11niiniciicAyAy;11niiniciicAzAz 例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为、两个矩形，则;2 . 1,48. 0;46. 2,072. 0222121mymAmymA;36.

33、148. 0072. 02 . 148. 046. 2072. 0212211mAAyAyAyc若分解为、三个矩形，则;16. 04 . 22 . 0252. 26 . 0)2 . 126. 1 (52. 26 . 0myc材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案77 解：将此图形分别为解：将此图形分别为I、II、III三三部分，以图形的铅垂对称轴为部分，以图形的铅垂对称轴为y轴，轴，过过II、III的形心且与的形心且与y轴垂直的轴线取轴垂直的轴线取为为x轴，则轴，则求图示图形的形心。求图示图形的形心。x150yCOx1y120010yC300IIIIII10mm8 .38)30010(

34、2102000)30010(2)1505()10200(iiiAyAyCC由于对称知：由于对称知： xc=0目录目录材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案78求图示半径为求图示半径为r的半圆形对其直径轴的半圆形对其直径轴x的静矩及其形心坐标的静矩及其形心坐标yC。 OCrxydAyCydy解：过圆心解：过圆心O作与作与x轴垂直的轴垂直的y轴，在距轴，在距x任意高度任意高度y处取一个与处取一个与x轴平行的窄条，轴平行的窄条，ydyrAd222 所以所以 3022322ryd)yr( yAdySrAx3423223r/r/rASyxC目录目录材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案7

35、9第二节 惯性矩和惯性积一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐标原点的距离平方的乘积2dA,称为该面积dA对于坐标原点o的极惯性矩。 截面对坐标原点o的极惯性矩为：APdAI;2 简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。 实心圆截面：;3224202DdAIDP 空心圆截面：)();1 (3244DdDIP 二、惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA对z轴、y轴的惯性矩分别为：y2dA和Z2dA；则整个图形（面积为A)对z轴、y轴的惯性矩分别为：;2AzdAyI;2AydAzI材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案80 定义:平面图形内，微面积dA与其两个坐标z、y的乘

36、积zydA在整个图形内的积分称为该图形对z、y轴的惯性积。;AzydAyzI 特点：惯性积是截面对某两个正交坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积均不同。惯性积是代数值。 单位：;,44mmm 若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。 惯性矩是对某轴而言的，同一截面对不同轴的惯性矩值不同。 惯性矩单位：m4或mm4； 惯性矩恒为正值。 简单图形对轴的惯性矩由定义式积分计算。三、惯性积：材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案81 例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：;12

37、32/2/22bhbdyydAyIhhAz;1232/2/22hbhdzzdAzIbbAy取微面积dA=hdz,则：例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：;6442442222DRdyyRydAyIRRAz;644DIIzy由对称性：,222zy 由几何关系：.)(222yZAAPIIdAzydAI取微面积dA=dzdy，则：; 0zyI材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案82第三节 惯性矩和惯性积的平行移轴公式组合截面的惯性矩和惯性积1.1.惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 设有面积为设有面积为A的任意形状的

38、截面。的任意形状的截面。C为其形心，为其形心，Cxcyc为形心坐标为形心坐标系。与该形心坐标轴分别平行系。与该形心坐标轴分别平行的任意坐标系为的任意坐标系为Oxy ,形心形心C在在在在Oxy坐标系下的坐标为坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元任意微面元dA在两坐标系在两坐标系下的坐标关系为：下的坐标关系为：ayybxxCCaycyxcxCObdAxcycyx材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案83AaIAayAaIAaAyaAyAayAyIccxcxAAcAcAcAx2222222dd2ddd同理，有：同理，有：AaIIcxx2AbIIcyy2abAIIccyxxy（此此为为平

39、行移轴公式平行移轴公式 ）注意：注意：式中的式中的a、b代表坐标值，有时可能取负值。代表坐标值，有时可能取负值。等号右边各首项为相对于形心轴的量。等号右边各首项为相对于形心轴的量。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案842.2.组合截面的惯性矩和惯性积组合截面的惯性矩和惯性积 根据根据惯性矩和惯性积惯性矩和惯性积的定义易得的定义易得组合截面对于某组合截面对于某轴的轴的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一等于其各组成部分对于同一轴的轴的惯性矩（或惯性积）惯性矩（或惯性积）之和之和：nixxiII1niyyiII1nixyxyiII1材材 料料 力力 学学 电电

40、子子 教教 案案85求图示直径为求图示直径为d的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴xc的的惯性矩。惯性矩。解：解：（1）求形心坐标）求形心坐标222)(yRyb12d2d)(d3222020dyyRyyybyAySddAx3281223dddASyxcxyb(y)ycCdxc材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案86（2）求对形心轴）求对形心轴xc的的惯性矩惯性矩12826444ddIx181288)(4422dddyIIcxxc由由平行移轴公式得：平行移轴公式得： xyb(y)ycCdxc材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案87试求图试求图a 所示截面对于对称轴所示截面

41、对于对称轴x的的惯性矩。惯性矩。解：将截面看作一个矩形和解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。两个半圆组成。（1）矩形对）矩形对x的的惯性矩：惯性矩：44331mm1053331220080122adIx（2）一个半圆对其自身形）一个半圆对其自身形心轴心轴xc的的惯性矩（见上例）惯性矩（见上例）181288)(4422dddyIIcxxcxyC(a)d=8040100a=10040 a+2d3材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案88（3）一个半圆对）一个半圆对x的的惯性矩：惯性矩：由由平行移轴公式得：平行移轴公式得：44222222mm103467322324832adaddddaI

42、Icxx（4）整个截面对于对称轴）整个截面对于对称轴x的的惯性矩：惯性矩：444421mm101227010346721053332xxxIII材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案89 第四节 主惯性轴和主惯性矩： 主惯性轴（主轴）使截面对zo、yo轴的惯性积 的这对正交坐标轴；0ooyzI 主惯性矩（主惯矩）截面对主惯性轴的惯性矩； 形心主惯性轴（形心主轴）通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）截面对形心主轴的惯性矩。返回 下一张 上一张 小结若截面有一根对称轴，则此轴即为形心若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主主惯性轴之一，另一惯性轴之一，另一形心形心主惯性轴为通过形心

43、主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。并与对称轴垂直的轴。若若截面有二根对称轴，则此二轴即为形截面有二根对称轴，则此二轴即为形心心主惯性轴。主惯性轴。若若截面有三根对称轴，则通过形心的任一截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。主惯性轴，且主惯性矩相等。几个结论几个结论材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案90303055CC2C1y221y1zC1zC2求求T形截面对形心轴的惯性矩形截面对形心轴的惯性矩先求形心的位置：先求形心的位置：取参考坐标系如图，则：取参考坐标系如图，则：iiiCCAyAyz0mmAAyAyA75.23212211即截面的

44、形心轴。即截面的形心轴。、CCzy再求截面对形心轴的惯性矩：再求截面对形心轴的惯性矩：433115601230512530mmICy422212122212134530)()()()(2121mmAyyIAyyIAaIAaIICzCzzzzCCCCC由平行移轴定理得：yCzyCzC材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案91求图示圆对其切线AB的惯性矩。解 ：求解此题有两种方法： 一是按定义直接积分； 二是用平行移轴定理等知识求。B 建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。6424dIIIPyx6454644442dddAdIIxABAdxyOxyxIIIdI2324圆材材 料料 力力

45、 学学 电电 子子 教教 案案92思考思考：O为直角三角形为直角三角形ABD斜边上的中点，斜边上的中点，x、y轴为轴为过点过点且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性且分别平行于两条直角边的两根轴，关于惯性积和惯性矩有四种答案积和惯性矩有四种答案(已知已知ba)： （A）Ixy （B） Ixy (C) Ixy= （D） Ix=Iy正确答案是正确答案是(C)xABDyOab材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案93思考：等腰直角三角形如图所示，思考：等腰直角三角形如图所示，x、y轴是过斜边中点轴是过斜边中点的任意一对坐标轴（即图中的任意一对坐标轴（即图中 为任意值），该图形的为任意值），

46、该图形的: :(1)(1)惯性积惯性积Ixy (2)(2)惯性矩惯性矩I Ix 、 I Iy。yxaa答案：答案：0；a4/24; a4/24 材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案94小小 结结一、静矩：;cAzyAdAyS;cAyzAdAzS性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；APdAI;2;324DIP)();1 (3244DdDIP 二、极惯性矩：实心圆截面： 空心圆截面：三、惯性矩：;2AzdAyI;2AydAzI;AzydAyzI 四、惯性积：矩形截面： 圆形截面：;123bhIz;123hbIy;644DIIzy.)(222yZAAPIIdAzydAI几何关

47、系：五、平行移轴公式：;21Abyy;11abAIIzyyz;21AaIzz返回 下一张 上一张 小结材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案95 六、主惯性轴和主惯性矩： 形心主惯性轴（形心主轴）通过形心的主惯性轴； 形心主惯性矩（形心主惯矩）截面对形心主轴的惯性矩。 主惯性轴（主轴）使 的这对正交坐标轴； 主惯性矩（主惯矩）截面对主惯性轴的惯性矩；0ooyzI七、平面图形几何性质的几何意义： 1. 静矩：图形的形心相对于指定坐标轴之间距离的远近程度； 2. 极惯性矩：图形的面积相对于指定坐标原点之间分布的集中或分散程度； 3. 惯性矩：图形的面积相对于指定坐标轴之间分布的集中或分散程

48、度； 4. 惯性积：图形面积相对于指定的一对正交坐标轴之间分布的集中或分散程度。返回 下一张 上一张 小结材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案96- -4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 纯弯曲纯弯曲 (pure bending) 梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。MeM材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案97 横力弯曲横力弯曲 (bending by transverse force) 梁的横截面上既有弯矩又有剪力；相应地，横截面既有正应力又有切应力。FCSFMFMFAC材材 料料 力力

49、学学 电电 子子 教教 案案98. . 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力计算公式的推导计算公式的推导 (1) 几何方面几何方面 藉以找出与横截面上正应力相对应的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案99弯曲变形弯曲变形材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案100 1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；材材 料料 力力 学学 电电 子子 教

50、教 案案101 2. 相邻横向线mm和nn(图b)在梁弯曲后仍为直线(图a)，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案102 根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设平面假设 梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案103 横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一侧的纵向线伸长，从而根据变形

51、的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层 (图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴 中中性轴性轴 (neutral axis)。（f)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案104令中性层的曲率半径为(如图c)，则根据曲率的定义 有xdd1yxyOOBBABBBdd21111纵向线应变在横截面范围内的变化规律纵向线应变在横截面范围内的变化规律 图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知为(c)材材 料料 力力 学学 电电 子子

52、 教教 案案105 即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变与该点至中性轴的距离 y 成正比。(c)弯曲变形弯曲变形y材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案106 小变形时纯弯曲情况下可假设梁的各纵向线之间无挤压，认为梁内各点均处于单轴应力状态。 (2) 物理方面物理方面 藉以由纵向线应变在横截面范围内的变化规律 找出横截面上正应力的变化规律。y 梁的材料在线弹性范围内工作，且拉、压弹性模量相同时，有yEE 这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中性轴的方向按直线规律变化(如图)。M材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案107 (3) 静力学方面静力学方面 藉以找出确定中

53、性轴位置的条件以及横截面上正应力的计算公式。MAyMAzd 梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素dA(图d )不可能组成轴力( )，也不可能组成对于与中性轴垂直的y 轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩( )，只能组成对于中性轴 z 的内力偶矩，即0dNAAF0dAyAzM(d)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案108将 代入上述三个静力学条件，有yE0ddNzAAESAyEAF(a)0ddyzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzdd2(c) 以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，统称为截面的几何性质，而材材 料料 力力 学学 电电 子

54、子 教教 案案109 其中 为截面对于z轴的静矩(static moment of an area)或一次矩，其单位为m3。AzAySd 为截面对于y轴和z轴的惯性积，其单位为m4。AyzAyzId 为截面对于z轴的惯性矩(moment of inerita of an area)或二次轴矩，其单位为m4。AzAyId2材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案110 由于式(a)，(b)中的 不可能等于零，因而该两式要求：E 1. 横截面对于中性轴 z 的静矩等于零， ；显然这是要求中性轴 z 通过横截面的形心；0dAAy 2. 横截面对于 y 轴和 z 轴的惯性积等于零， ；在对称弯曲

55、情况下，y 轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。0dAAyz0ddNzAAESAyEAF(a)0ddyzAAyEIAyzEAzM(b)MEIAyEAyMzAAzdd2(c)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案111由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为 上式中的EIz称为梁的弯曲刚度。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M 不随截面位置变化，故知对于等截面的直梁包含在中性层内的那根轴线将弯成圆弧。zEIM1 将上式代入得出的式子 即得弯曲正应力计算公式：yEzIMy(c)MEIAyEAyMzAAzdd2材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案112 应用此式时，如果

56、如图中那样取 y轴向下为正的坐标系来定义式中 y 的正负，则在弯矩 M 按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的 y 看作求应力的点离中性轴 z 的距离。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案113 中性轴 z 为横截面对称轴的梁 (图a，b) 其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴 z 不是横截面对称轴的梁 (图c) ，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。第四章第四章 弯曲应力弯曲应力dzyo(b) yc

57、,max yt,maxyz bd1 hOd2(c) hbzyo(a)材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案114zzzWMyIMIMymaxmaxmax 中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最大拉、压应力的值max为式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数(section modulus in bending)，其单位为m3。hbzyodzyo材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案115 中性轴 z 不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为zIMymax, tmaxt,zIMymaxc,maxc,材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案

58、116简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数(1) 矩形截面矩形截面12dd32222bhybyAyIhhAz622bhhIWzz12dd32222hbzhzAzIbbAy622hbbIWyy材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案117思考思考: : 一长边宽度为 b，高为 h 的平行四边形，它对于形心轴 z 的惯性矩是否也是 ？123bhIz材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案118(2) 圆截面圆截面在等直圆杆扭转问题(3- -4)中已求得：32d42pdAIA32ddd4222pdIIAzAyAIyzAAAzoyyzdAd而由图

59、可见，2=y2+z2 , 从而知材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案119而弯曲截面系数为6424pdIIIyz 32223ddIdIWWyzyz 根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯性矩Iz和Iy是相等的，Iz= Iy，于是得zoyyzdAd材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案120(3) 空心圆截面空心圆截面 由于空心圆截面的面积等于大圆的面积AD减去小圆(即空心部分)的面积Ad故有4444442222164646464ddddDdDdDAyAyAyAyIdDdDAAAAAz式中， 。DddOyzD材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案121根据对称性可知

60、：思考思考： 空心圆截面对于形心轴的惯性矩就等于大圆对形心轴的惯性矩减去小圆对于形心轴的惯性矩；但空心圆截面的弯曲截面系数并不等于大圆和小圆的弯曲截面系数之差，为什么？zyzyWWII ,431322DDIWzz而空心圆截面的弯曲截面系数为第四章第四章 弯曲应力弯曲应力dOyzD材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案122型钢截面及其几何性质型钢截面及其几何性质：参见型钢表 需要注意的是，型钢规格表中所示的x轴是我们所标示的z轴。材材 料料 力力 学学 电电 子子 教教 案案123. 纯弯曲理论的推广纯弯曲理论的推广 工程中实际的梁大多发生横力弯曲，此时梁的横截面由于切应力的存在而发生