点的极坐标及直角坐标的互化

1、点的极坐标和直角坐点的极坐标和直角坐标的互化标的互化 平面内的一个点既可以用直角坐标平面内的一个点既可以用直角坐标表示，也可以用极坐标表示，那么，这表示，也可以用极坐标表示，那么，这两种坐标之间有什么关系呢？两种坐标之间有什么关系呢？思考思考问题情境问题情境 把直角坐标系的原点作为极点把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半轴的正半轴作为极轴轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度并在两种坐标系中取相同的长度单位单位. xyxy问题情境问题情境 把直角坐标系的原点作为极点把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半轴的正半轴作为极轴轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度并在两种坐标系中取相同

2、的长度单位单位. 设设M是平面内任意一点是平面内任意一点, 它的直角坐标它的直角坐标是是( x , y ), 极坐标是极坐标是(,). 则则 xyxy问题情境问题情境 把直角坐标系的原点作为极点把直角坐标系的原点作为极点, x轴的正半轴的正半轴作为极轴轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度并在两种坐标系中取相同的长度单位单位. 设设M是平面内任意一点是平面内任意一点, 它的直角坐标它的直角坐标是是( x , y ), 极坐标是极坐标是(,). 则则cossinxy)0(tan222xxyyx xyxy极坐标与直角坐标的互化公式。极坐标与直角坐标的互化公式。公式与结论公式与结论极坐标与直角坐

3、标的互化公式。极坐标与直角坐标的互化公式。公式与结论公式与结论cossinxy)0(tan222xxyyx 通常情况下，将点的直角坐标, 化为极坐标时，取 ,00互化公式的三个前提条件：1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴 重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.例例 (1) 将点将点M的极坐标的极坐标 化成直角坐标化成直角坐标; )32, 5(问题解析问题解析例例 (1) 将点将点M的极坐标的极坐标 化成直角坐标化成直角坐标; (2) 将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标. )32, 5() 1, 3(问题解析问题解析例例 (1) 将点将点M的

4、极坐标的极坐标 化成直角坐标化成直角坐标; (2) 将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标. )32, 5() 1, 3(解解: (1) ,2532cos5cosx问题解析问题解析例例 (1) 将点将点M的极坐标的极坐标 化成直角坐标化成直角坐标; (2) 将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标. )32, 5() 1, 3(解解: (1) ,2532cos5cosx.23532sin5siny问题解析问题解析问题解析问题解析例例 (1) 将点将点M的极坐标的极坐标 化成直角坐标化成直角坐标;)32, 5(解解: (1) ,2532cos5cosx.23532sin

5、5siny所以所以, 点点M的直角坐标为的直角坐标为 ).235,25(解解: (2) 2) 1()3(2222yx问题解析问题解析 (2) 将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标. ) 1, 3(解解: (2) 2) 1()3(2222yx,3331tanxy问题解析问题解析 (2) 将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标. ) 1, 3(解解: (2) 2) 1()3(2222yx,3331tanxy因为点因为点M在第三象限在第三象限, 所以所以.67问题解析问题解析 (2) 将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标. ) 1, 3(解解: (2)

6、2) 1()3(2222yx因此因此, 点点M的极坐标为的极坐标为 ).67, 2(,3331tanxy因为点因为点M在第三象限在第三象限, 所以所以.67问题解析问题解析 (2) 将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标. ) 1, 3(1.将下列各点的极坐标化为直角坐标将下列各点的极坐标化为直角坐标:)., 5(),611, 2(),3, 6(),4,2(试一试试一试试一试试一试1.将下列各点的极坐标化为直角坐标将下列各点的极坐标化为直角坐标:)., 5(),611, 2(),3, 6(),4,2(2.将下列各点的直角坐标化为极坐标将下列各点的直角坐标化为极坐标:).1 , 3

7、(),5, 0(),1, 1(试一试试一试的直角坐标方程是）（431试一试试一试的直角坐标方程是）（431)0(43tantanyxyxyxy即解：根据极坐标的定义试一试试一试的直角坐标方程是）（431)0(43tantanyxyxyxy即解：根据极坐标的定义曲线是所表示的）极坐标方程（cos2sin2曲线是所表示的）极坐标方程（cos2sin2的圆。半径为为圆心，这是以点即化成直角坐标方程为乘方程的两边得同不恒等于零，用的曲线的形状，因为给定直角坐标方程即可判断解：将极坐标方程化为25)21,1(45)21()1(2cos2sin22222yxxyyx曲线是所表示的）极坐标方程（cos2sin2的圆。半径为为圆心，这是以点即化成直角坐标方程为乘方程的两边得同不恒等于零，用的曲线的形状，因为给定直角坐标方程即可判断解：将极坐标方程化为25)21,1(45)21()1(2cos2sin22222yxxyyx曲线是所表示的）极坐标方程（cos2sin2的圆。半径为为圆心，这是以点即化成直角坐标方程为乘方程的两边得同不恒等于零，用的曲线的形状，因为