高中数列经典习题

1、1、在等差数列a n中,a 1=-250,公差d=2,求同时满足下列条件的所有an的和,(1)70 <n<200;(2)n 能被 7 整除.2、设等差数列an的前n项和为3.已知a3=12, S i2>0,Si3V 0.( I )求公差d的取值范围；(n )指出Si,S2,S12,中哪一个值最大，并说明理由.3、数列an是首项为23,公差为整数的等差数列，且前6项为正，从第7项开始变为负的，回答下列各问：(1)求此等差数列的公差 d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值；(3)当 Sn是正数时，求n的最大值.4、设数列 an的前n项和Sn .已知首项a1=3,且Sn 1 +

2、 Sn =2an 1 ,试求此数列的通项公式 an及前n项和Sn.11 5、已知数列 an的前n项和Sn n(n + 1)(n + 2),试求数列的刖n项和.3an6、已知数列an是等差数列，其中每一项及公差d均不为零，设2aiX241X ai 2 =0(i=1,2,3,)是关于x的一组万程.回答：(1)求所有这些万程的公共根；、，1111(2)设这些方程的另一个根为mi ,求证,，,也成等差m11m21m31 mn 1数列.3nXn Cn =0(n=1,2,3 )的两个根,7、如果数列 an中，相邻两项an和an 1是二次方程X2当a1=2时，试求cioo的值.8、有两个无穷的等比数列 20

3、和 an,它们的公比的绝对值都小于1,它们的各项和分别是1和2,并且对于一切自然数n,都有a1 ,试求这两个数列的首项和公比9、有两个各项都是正数的数列an, bn.如果ai=1,bi=2,a 2=3.且an, bn, an 1成等差数列bn，an 1, bn 1成等比数列,试求这两个数列的通项公式10、若等差数列log 2Xn的第m项等于n,第n项等于m（其中m n）,求数列x n的前m+ n 项的和。11、设an为等差数列, bn为等比数列，且ai二b1, a2+a4=b3, b2b4=a3分别求出an及bn的前 10项的和S0及T10.12、已知等差数列an的前项和为 S,且S13>

4、;S6>S14, a2=24.（1）求公差d的取值范围；（2）问数列8是否成存在最大项，若存在求 ，出最大时的n,若 不存在，请说明理由.13、设首项为正数的等比数列，它的前n项和为80,前2n项的为6560,且前n项中数值最大的项为54,求此数列的首项和公比.14、设正项数列an的前n项和为S,且存在正数t,使得对所有正整数 n, t与an的等差 中项和t与S的等比中项相等，求证数列qSn为等差数列，并求an通项公式及前n项 和.15、已知数列 an是公差不为零的等差数列，数列abn是公比为q的等比数列，且b11,b25417.求q的值；求数列bn前n项和.16、 若a、b、c成等差数

5、列，且 a+1、b、c与a、b、c+2都成等比数列，求 b的值.答案:1) 解：a一250, d=2, a n=250+2(n 1)=2n 252同时满足70<n<200, n能被7整除的an构成一个新的等差数列bn.b1=a70= 112, b 2=a77= 98,，b n' =a196=140其公差 d' =98 ( 112)=14. 由 140=112+(n ' 1)14, 解得 n' =1919 18. .bn的前 19项之和 S 19 ( 112) 14 266.2、解：(i )依题意，有 S1212al12 (；2 1)?d 0S1313

6、a113 (13 1)?d20,即2al 11d 0a1 6d 0(1)(2)由 a3=12,得 a 1=12 2d (3)j 、一、，口 24 7d 024将(3)式分别代入(1),(2)式，得，.£4d 3.3 d 07(n)由 d<0 可知 a i>a2> a3> ai2>ai3.因此，若在1W nw 12中存在自然数n,使得an>0,an+i0,则&就是Si,S2,S12中的最大值.由于 S 12=6(a6+a7) >0, S 13=13a7<0,即 a6+a7>0, a 7< 0.由此得 a 6> a

7、7> 0.因为a6> 0, a 7V 0,故在S1 ,S2,S12中&的值最大.3、(1)由 a6=23+5d>0 和 a7=23+6d<0,得公差 d=4.(2)由 a6> 0,a 7< 0, . S6最大，S6=8.(3)1由 a1=23,d= 4,则 Sn = - n(50 -4n),设 Sn >0,得 nv ,整数 n 的最大值为 12.24> - a1=3, - Si =a1=3.Sn+1 + Sn=2an+1 中,n=1, =f S2+ S1=2a2. Jfn S2=a1 + a2.即 a + a2+ a1=2a2.a2=6.

8、由 S+1+S=2an+1,(1) S n+2+Sn+1=2an+2,(2)3,当n 1时，3n 1,当 n2时.一 一 n 12 3(31) =3n3 1.2) ) (1),彳导 Si+2 Si+1=2an+2 2an+1 , - an+1+ an+2=2an+22an+1 即 a n+2=3an+1此数列从第2项开始成等比数列，公比q=的通项公式an=2此数列的前 n项和为 S=3+2X3+2X3 6、(1)设公共根为p,则ai p 2ai 1 p ai 2+ 2X3 n1=3 +1-15、 an = Sn - Sn 1 = - n(n + 1)(n + 2) - - (n - 1)n(n

9、 + 1)=n(n + 1).当 n=1 时, 33“1a1=2,S1= x 1 x (1 +1) x (2 + 1)=2,a1= S 1.则 an = n(n + 1)是此数列的通项公式。111111a1a2 an 1 22 33 4320 ai 1P2ai 2P ai 3 0 则-，得dp2+2dp+d=0,d w0为公差，(p + 1)2=0. p= 1是公共根.(直接观察也可以看出公共根2al 2d2d为-1).(2)力一个根为 mi ,则 mi + ( 1)= 2 .mi +1= 即aiaiai-互,易于证明 -是以一11111(1)()()n(n 1)22 3 n n 1为公差的等

10、差数列mi 12dmi 127、斛由根与系关系 ,an + an 1 = 3n,贝 U(an1+ a n 2 ) (an+ a n 1 )= 3,即an2 an=3.a1,a 3,a5 和a2,a4,a 6都是公差为一3 的等差数列，由a1=2,a 1+a2=3,a2=5.则a2k =- 3k 2, a1oo=- 152, a2k 1 = 3k + 5, a101= 148, c100= a 100? a 101=224968、设首项分别为a和b,公比q和r.则有q 1, r 1.依据题设条件，有_=1， =2,1 q 1 rn 1 2n 122n 2n 1D aq br , 由上面的， 可得

11、(1q) q =2(1r) r .令n=1,有(1由和，可得q2=r,代入得(1 q) 2=2(1r),设 n=2.则有(1 q) 2q2=2(1 r)r,q) 2=2(1 - q2).由于 qw1,.有 q= 1 ,r =34,16_ b3和9经检验，满足a211一 r 39.因此可得 a=1 q= ,b=2(1 r)=.939bn的要求.9、依据题设条件，有bna n(anan 1 )21 . bnbn 1由此可得1bn2"(.bn1bn 1 ,.b bn bn 1)=2 b bn (' /bn 1 b bn 1 ) .bn >0,则2 bn', bn 1q

12、b二。.二国是等差数列. bn = (n 21)10、a2 bn 1bn?(n 1)222n(n 1)an=- n(n21)2m+-111、解：设an的公差为d, bn的公比为q,贝U：2(1 2d) q23. 2解得：d -,q 1 2d q482551 q1031(2 .2)S10 10a1 45d一,T10 b1 81 q 3212、解：(1)由题意:S13 S5 a7 a8升 7O|0 0.a2 8d 0§4033a)4 4(a)0 an) 02a2 17d 0(2)由(1)知，a10>0, a10+a11<0, . a10>0>an,又公差小于零，数

13、列 才递减,所以an的前10项为正，从第11项起为负，加完正项达最大值。，r=10时，S最大。13、解：设该等比数列为an,且公比为q若 q=1,贝U S=na1, S2n=2na1,与题意不符，故 qw 1。Snna L_£_ al1 q1 q2nai i q80两式相除，得1+qn=82, qn=81,6560aiq=ai+1 > 1,数列才为递增数列，前 n项中最大的项为 an=aiqn-1 = -1 81 54q解得：ai=2,q=3 t a 14、证明：由题意：-%；tSn即2jtSnt an2当 n=1时，2%酝taitSi,（%;回Vt）20§t当 n" 时，2;tS； t an t Sn Sni（VS； Vt）2 GST）20（百商7阳（35拈 0。因为酎为正项数列，故s递增，（Sn ',；Sn二&）o不能对正整数n恒成立， JS二Jt即数列JS?为等差数列。公差为&、'S7店（n1）4nJt,Sntn2,ant2厄2nt, an （2n