概率论与数理统计 第三四节 区间估计

1、6.3 正态总体参数的区间估计正态总体参数的区间估计定义定义6.2 设总体设总体X的分布中含有未知参数的分布中含有未知参数 ， nXXX,21是来自是来自X的一个样本，的一个样本，若对给定的若对给定的 ，存在统计量，存在统计量)10( ),(2122nXXX ),(2111nXXX 使得使得 121P则称则称随机区间随机区间 是是 的置信度为的置信度为 的的置信区间置信区间，),(21 1 称为称为置信下限置信下限， 称为称为置信上限置信上限，1 2 称为称为置信度置信度或或置信系数置信系数。 1的的含含义义：)95.0(1121 P 固定，在固定，在100次抽样中得到次抽样中得到100个区间

2、个区间n100, 2 , 1),(21 kkk 约有约有95个包含了个包含了 。 )()(kk21 nxxx,21但但 对应的一个确定区间对应的一个确定区间 ),(),(212211nnxxxxxx 如（如（1000，1500），）， 不能理解为有不能理解为有95的把握包含的把握包含 ， 可理解为该区间是以置信度为可理解为该区间是以置信度为95求出来的。求出来的。注：注：2. 对给定的置信度对给定的置信度 ，希望找出，希望找出“较短较短”置信区间。置信区间。步骤：步骤： 1(1) 找一个样本函数找一个样本函数 ，满足：，满足：);,(21 nXXXgw 含待估参数含待估参数 及有关的良好统计量

3、及有关的良好统计量(如如:无偏估计量无偏估计量)； （2）对）对 ,查查 w分位点分位点a,b使使21 ,2 1bwaP2 2 解出解出 得得 121P 分布已知。分布已知。),(),(212211nnxxxxxx nxxx,21（3）对给定的）对给定的求出求出常用的样本函数在第五章给出：常用的样本函数在第五章给出：.,2TUtu 得置信区间得置信区间),(21 一、一个正态总体参数的区间估计一、一个正态总体参数的区间估计的一个样本。的一个样本。是是设总体设总体XXXXNXn,),(212 的区间估计的区间估计 . 1的区间估计的区间估计2. 2 已知已知2)1( 未知未知2)2( 已知已知

4、)1(未知未知 )2(由定理由定理5.4(P.127)知，知，)1 , 0(/NnXu 已知已知2)1( 1. 的区间估计的区间估计 对对 查表可得查表可得 ，使得，使得 2 u 122uuuP2222/ unXunXunXu 即即 122unXunXP故故 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为 1 1 22, unXunX)( X2 un双侧分位点双侧分位点例例1（P.146）某厂铁水含炭量正常情况下）某厂铁水含炭量正常情况下X ),(2 N现测得五炉铁水的含炭量为：现测得五炉铁水的含炭量为：4.28 4.40 4.42 4.35 4.37求求 置信度为置信度为95的置信区间。的置

5、信区间。 （1）若已知）若已知 0.108 解解 因已知因已知 , 5,108. 0 n 所以取所以取随机变量随机变量)1 , 0(5/108. 0NXu 对对 ，查表得，查表得 使使 05. 0 96. 12 u查查表表）,975.0)(2 u(22 uuuP 由由95. 096. 196. 1 uP95.01)(22 u 96. 15108. 0,96. 15108. 0XX从而得从而得 的置信区间的置信区间 由样本值得由样本值得,364. 4 x代入上式得代入上式得 的置信度为的置信度为95的置信区间为：的置信区间为： )459. 4,269. 4(95. 096. 15108. 096

6、. 15108. 0 XXP 364. 4（ ）095. 0续续若要求区间长度若要求区间长度 0.1，问，问 至少取多少？至少取多少？n21 . 096. 1108. 0 n由由, 9 .17 n解解 几个常用分位点几个常用分位点,96. 105. 02 u.58. 201. 02 u,65. 11 . 02 u未知未知2)2( 1. 的区间估计的区间估计 221Putu 即即故故 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间为 1)1 , 0(/NnXu tS)1( nt对对 查表可得查表可得 ， 使得使得 2 u)1(2 nt 2 t2 t 122unXunXP2 t2 tSS 22, u

7、nXunX2 t2 tSS由定理由定理5.4(P.126)知，知，5.7( .128)PP.146例例(P.146-7)某厂铁水含炭量在正常情况下某厂铁水含炭量在正常情况下X ),(2 N现测得五炉铁水的含炭量为：现测得五炉铁水的含炭量为：4.28 4.40 4.42 4.35 4.37求求 置信度为置信度为95的置信区间。的置信区间。 （2）若）若 未知未知 解解 因因,5,n未知所以取所以取随机变量随机变量(4)/5tXtS对对 ，查表得，查表得 使使 05. 0 0.0252(1)(4)2.776tnt 2.7762.7760.95Pt 2.776,2.77655SSXX从而得从而得 的

8、置信区间的置信区间 由样本值得由样本值得4.364,0.054xs代入上式得代入上式得 的置信度为的置信度为95的置信区间为：的置信区间为： (4.297,4.431)2.7762.7760.9555SSP XX2. 的区间估计的区间估计未知未知 )2(2 由定理由定理5.6(P.128)知，知，)1()1(2222 nSn ，查得查得)1(,2)1(22222 nnP 对于对于 ，由，由 ).1(,21)1(2212212 nnP 查得查得 1222122(1)(1)1Pnn 使得 1)1()1()1()1(22122222nSnnSnP即即故故 的置信度为的置信度为 的置信区间为的置信区间

9、为2 1 )1()1(,)1()1(2212222nSnnSn 当当 已知时，可利用定理已知时，可利用定理5.7(P.128)求得置信区间求得置信区间 )()(121222nXnii 例例2 (P.148) 从某厂生产的钢珠中随机抽取从某厂生产的钢珠中随机抽取9个，测得个，测得它们的直径（单位：毫米）为：它们的直径（单位：毫米）为：15.2 15.0 14.8 15.1 14.8 15.1 14.7 14.9 15.0假设钢珠的直径服从正态分布假设钢珠的直径服从正态分布 ，),(2 N求求 的置信度为的置信度为90的置信区间。的置信区间。2 解解 因为因为 未知，未知， 所以取随机变量所以取随

10、机变量 , 9 n)1()1(2222 nSn 228 S 8对对 , 1 . 0 222(8)0.05P由查表得,507.15)8()1(205. 022 n,733. 2)8()1(295. 0221 n查表得查表得由由95. 0)8(2212 P使得使得9 . 0507.15733. 22 P即即9 . 0733. 28507.158222 SSP 从而得置信区间从而得置信区间 733. 28,507.15822SS由样本值计算得由样本值计算得,028. 02 s代入上式得代入上式得 的置信度为的置信度为90 的置信区间为的置信区间为2 )082. 0,014. 0(二、两个正态总体二、

11、两个正态总体均值差均值差与与方差比方差比的置信区间的置信区间对比两个玉米品种的产量，两个班的学习成绩，通对比两个玉米品种的产量，两个班的学习成绩，通常是比较平均值的差异，方差的差异，即求：常是比较平均值的差异，方差的差异，即求：,12211 P设两个总体设两个总体),(),(222211 NYNX样本样本 来自来自X,1,21nXXX2,21nYYY来自来自Y,两个样本相互独立，两个样本相互独立， 样本均值与样本方差分别为样本均值与样本方差分别为2212,; ,( .129).X SY SP1. 总体均值差的区间估计总体均值差的区间估计由定理由定理5.9(P.130)知，知，2)1()1(21

12、222211 nnSnSnSw其中其中)2(11)()(212121 nntnnSYXTw 未知未知22221 对给定的对给定的 ，查得分位点，使得，查得分位点，使得 ,1)2(|212 nntTP由此可得由此可得 置信度为置信度为 的置信区间为的置信区间为21 1 212122121211)2(,11)2(nnSnntYXnnSnntYXww 求得。求得。的随机变量的随机变量已知时的置信区间，用已知时的置信区间，用当当UP 128.,2221 例例3（P.149) 某厂生产的甲、乙两种香烟，独立地抽某厂生产的甲、乙两种香烟，独立地抽取重量相同的两个样本，测得尼古丁含量（单位取重量相同的两个样

13、本，测得尼古丁含量（单位:mg):甲甲 24 25 23 30 28乙乙 30 24 27 31 27设甲、乙两种尼古丁含量分别为设甲、乙两种尼古丁含量分别为X与与Y, 且且).,(),(2221 NYNX求求 的置信度为的置信度为95的置信区间。的置信区间。21 解解 因为因为,22221 , 521 nn所以取随机变量所以取随机变量)8(5/ )()()(222121tSSYXT 306. 2)8(05. 0)8(|,05. 022查得查得由由对于对于 ttTP 95. 0306. 2| TP即即由此可得由此可得95. 05306. 25306. 22221212221 SSYXSSYXP

14、 置信区间置信区间 5306. 2,5306. 222212221SSYXSSYX由样本值得：由样本值得：7 . 7, 8 .27, 5 . 8,262221 sysx代入上式得代入上式得 的置信度为的置信度为95的置信区间为：的置信区间为：21 )357. 2,957. 5( 2. 总体方差比的区间估计总体方差比的区间估计未知，未知，设设21, 的置信区间。的置信区间。求求2221 由定理由定理5.8(P.129)知，知，)1, 1(/2122222121 nnFSSF 对于对于 ， )1, 1(212 nnFFP )1, 1(),1, 1(2121212 nnFnnF 查得查得222122

15、21 SS 使得使得,2)1, 1(2121 nnFFP 1 1)1, 1()1, 1(2122121nnFFnnFP即即从而得从而得22212221 SS 1)1, 1(/)1, 1(/2121222122212122221nnFSSnnFSSP )1, 1(/,)1, 1(/212122212122221nnFSSnnFSS 故故 的置信区间为的置信区间为2221 当当 已知时的置信区间见已知时的置信区间见P159表表6.1。21, 查表得查表得由由,05. 0)5 , 4(05. 0 FFP例例4 (P.151)设有两个正态总体设有两个正态总体 ),(),(222211 NYNX今分别从

16、今分别从X与与Y中抽取容量中抽取容量 的两个独立样本，的两个独立样本，6, 521 nn其样本方差分别为其样本方差分别为.33. 4,37. 02221 ss求求 的置信度为的置信度为90的置信区间。的置信区间。2221 解解 因为因为 未知，未知，21, , 6, 521 nn所以取随机变量所以取随机变量)5 , 4(/22222121FSSF , 1 . 0 对对,19. 5)5 , 4()1, 1(05. 0212 FnnF 16. 026. 61)5 , 4()1, 1(95. 02121 FnnF 得得)4 , 5(1)5 , 4(05. 095. 0FF及及,95. 0)5 , 4

17、(95. 0 FFP由由,26. 6)4 , 5(05. 0 F查得查得使得使得90. 019. 516. 0 FP90. 016. 0/19. 5/222122212221 SSSSP 即即从而得置信区间从而得置信区间 16. 0/,19. 5/22212221SSSS33. 4,37. 02221 ss将将代入上式代入上式,得得 置信度为置信度为90的置信区间为的置信区间为: (0.016, 0.534).2221 6.4 大样本下非正态总体参数的区间估计大样本下非正态总体参数的区间估计对于非正态总体对于非正态总体 X, 设设),()(2已知已知，未知未知 DXEX求求 的置信区间。的置信

18、区间。 nXXX,21设设 是来自是来自X的一个样本，的一个样本，由定理由定理5.5(P.127) 知，当知，当 充分大时，充分大时，n)()1 , 0(/近似近似NnXu 于是可得于是可得 的置信度为的置信度为 的的近似置信区间近似置信区间 1 22, unXunX当当 未知时，可用样本标准差未知时，可用样本标准差 S 代替代替 。2 例例1（P.152）对某商场每天的顾客人数作了）对某商场每天的顾客人数作了60天的记天的记录，其平均人数为录，其平均人数为800人，标准差为人，标准差为60人。求每天顾人。求每天顾客平均人数的置信区间（置信度客平均人数的置信区间（置信度95）。）。解解 设设X

19、 为每天商场的顾客人数，为每天商场的顾客人数，, EX因样本容量因样本容量 ，可认为是大样本，可认为是大样本，60 n故有故有对对 ，查正态分布表得，查正态分布表得05. 0 ,96. 12 u使得使得故得故得 的置信度为的置信度为95的近似置信区间的近似置信区间 95. 096. 196. 1 nSXnSXP )()1 , 0(/近似近似NnXu S,60,60,800 nsx因因（785，815）01分布中参数分布中参数 p 的区间估计的区间估计1 , 0,)1(1 xppxXPxx总体总体X 的概率分布为的概率分布为其中其中p 是未知参数，求是未知参数，求 p 的置信区间。的置信区间。)

20、,1(,ppDXpEX 因因所以当所以当 充分大时有充分大时有n)()1 , 0(/近似近似NnXu p)1(pp 对给定的对给定的 ，有，有 1 1/ )1(|2unpppXP 1/ )1(|2unpppXP222)1()( upppXn 若二次方程若二次方程有两个互异实根有两个互异实根 和和1 p2 p则可得则可得 121pppP其中其中aacbbpaacbbp24,242221 ,22 una ),2(22 uXnb 2Xnc 故故 p 的置信度为的置信度为 近似置信区间为：近似置信区间为： 1),(21pp例例 P.153单侧置信限单侧置信限 (B.9)定义定义 设总体设总体X的分布中含有未知参数的分布中含有未知参数