D86多元函数微分学的几何应用PPT学习教案

1、会计学1D86多元函数微分学的几何应用多元函数微分学的几何应用已知平面光滑曲线)(xfy ),(00yx切线方程0yy 法线方程0yy 若平面光滑曲线方程为, 0),(yxF),(),(ddyxFyxFxyyx故在点),(00yx切线方程法线方程)(0yy ),(00yxFy)(),(000 xxyxFx0)(00 xxxf)()(100 xxxf在点可导，则有有因 0)(),(000yyyxFx),(00yxFy)(0 xx 第1页/共25页过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法法位置.TM空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限平面平面.MM第2页/共25页)(, )(,

2、 )(:tztytxzzzyyyxxx000得令, 0t切线方程切线方程000zzyyxx000(,)M xx yy zz )(0t)(0t)(0tTMM:的方程割线MM( ),( ),( )ttt设可导0000(,)ttM xyz对应ttt0ttt对应第3页/共25页)(00 xxt此处要求)(, )(, )(000ttt也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量切向量 .)( )(00yyt0)(00zzt如个别为0, 则理解为分子为 0 .M不全为0, )(, )(, )(000tttTT因此得法平面方程法平面方程 T000zzyyxx)(0t)(0t)(0t第4页/共25页求

3、圆柱螺旋线 kzRyRx,sin,cos2 对应点处的切线方程和法平面方程.2 切线方程 Rx法平面方程xR220R xk zk即200k xRzRkyR即解解:,sinRx0Ry 2zkk,cosRy , kz 02(0,)MRk对应的切向量为2()0k zk在),0,(kRT, 切点时,第5页/共25页光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF当0),(),(zyGFJ)()(xzxy则曲线上一点),(000zyxM 可表示为处的切向量为 001,(),()Txx时, 切线方程切线方程00000 1()()xxyyzzxy0()xx法平面方程法平面方程00()()xyy00()()0 xz

4、z第6页/共25页0,6222zyxzyx在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. xxzzxyydddd解解:1ddddxzxy1111ddzyxyxz11ddzyxy曲线在点 M(1,2, 1) 处的切向量:解得11zx,zyxzzyyx)1,0, 1 (MMxzxyTdd,dd,1方程组两边对 x 求导得第7页/共25页切线方程121zyx即0202yzx法平面方程0) 1() 1()2(0) 1(1zyx即0 zx点 M (1,2, 1) 处的切向量011)1,0, 1(T第8页/共25页:( , , )0F x y z 设 有光滑曲面通过其上定点),(000zyxM0t

5、t 设对应点 M,)(, )(, )(000ttt切线方程为)()()(000000tzztyytxx不全为0 . 则 在, )(, )(, )(:tztytx且点 M 的切向量切向量为任意任意引一条光滑曲线MT下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. )(, )(, )(000tttT第9页/共25页在 上, 0),(:zyxFMT( )( )( )0 xyzFtFtFt)(, )(, )(:tztytx0) )(, )(, )(tttF,0Mtt对应点注意 得)(, )(, )(000tttT),(, ),(, ),(00000000

6、0zyxFzyxFzyxFnzyx令nT 切向量由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量n的平面上 , 从而切平面存在 .n两边对 t 求导0tt令)(0t0),(000zyxFz)(0t),(000zyxFy)(0t),(000zyxFx第10页/共25页MT)( ),(0000 xxzyxFx法线方法线方程程 000zzyyxx)( ),(0000yyzyxFy0)(,(0000zzzyxFz),(000zyxFx),(000zyxFy),(000zyxFzn),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx曲面 在点 的0),(:zyxF),(000z

7、yxM法向量法向量第11页/共25页)( ),(000 xxyxfx曲面时, ),(yxfz zyxfzyxF),(),(则在点 处,( , , )x y z故当函数 ),(yxf),(00yx1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx法线方程法线方程,yyfF 1zF令有在点),(000zyx在点有连续偏导数时, )( ),(000yyyxfy0zz,xxfF 切平面方程切平面方程第12页/共25页,法向量法向量用2211cosyxff表示法向量的方向角, 并假定法向量方向.为锐角则22cos,1xxyfff 向上,(, 1)xynff 22cos,1yxyfff 第13页/共

8、25页3632222zyx在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解:3632),(222zyxzyxF所以椭球面在点 (1 , 2 , 3) 处:切平面方程切平面方程 (1)x 03694zyx即法线方程法线方程321zyx4(2)y9(3)0z149法向量令(2 , 4 , 6 )nxyz(1, 2,3)2(1, 4,9)n第14页/共25页zyx222zyx在点),(000zyxM解解:两曲面在点 M 相切,000000000y zx zx yxyz202020zyx又点 M 在球面上,32202020azyx故于是有000zyx2(0)aa相切.333a与球面, ),(0

9、000001yxzxzyn ),(0002zyxn 21/nn, 因此有两曲面在 M 点的法向量分别为第15页/共25页 ,xyzxyzMTF FFG GG空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF在点M 处的切向量三、三、 切向量与法向量的关系切向量与法向量的关系,xyzMTG G G,xyzMTF FF且故第16页/共25页0453203222zyxxzyx在点(1,1,1) 的切线解解:)2,2, 1(因此切线的方向向量为)1,9,16(由此得切线方程:111zyx1691法平面方程:0) 1() 1(9) 1(16zyx024916zyx即与法平面.)1 , 1 , 1 (1)2,

10、2,32(zyxn)5,3,2(2n12Tnn点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为第17页/共25页1 空间曲线的切线与法平空间曲线的切线与法平面面 切线方程切线方程 000zzyyxx法平面方程法平面方程)(00 xxt(1) 参数式情况:)()()(:tztytx空间光滑曲线切向量切向量)(0t)(0t)(0t)( )(00yyt0)(00zzt)(, )(, )(000tttT第18页/共25页切线方程切线方程法平面方程法平面方程000dd1ddxxyyzzyzxx空间光滑曲线0),(0),(:zyxGzyxF切向量切向量000dd()()()0ddMMyzxxyyzzxxdd1,dd

11、MyzTxx或或 ,xyzxyzMTF FFG GG第19页/共25页空间光滑曲面0),(:zyxF曲面 在点法线方程法线方程),(0000zyxFxxx),(0000zyxFyyy),(0000zyxFzzz)( ),()( ),(00000000yyzyxFxxzyxFyx(1) 隐式情况 :的法向量法向量),(000zyxM0)(,(0000zzzyxFz切平面方程切平面方程),(, ),(, ),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx第20页/共25页空间光滑曲面),(:yxfz )( ),()( ),(0000000yyyxfxxyxfzzyx切平面方程切平面方程法线方程法线方程1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx,1cos,1cos2222yxyyxxffffff法线的方向余弦方向余弦2211cosyxff法向量法向量) 1 ,(yxffn第21页/共25页1 如果平面01633zyx与椭球面相切,提示提示:, ),(000zyxM则223yx .求000226zyx3301633000zyx163202020zyx2162 z(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)设切点为第22页/共25页证明 曲面)(xyfxz 上任一点处的切平面都通过原点.提示提示:, ),(000zyxM则通过此0zz)(0