D复合函数微分法与隐函数微分法PPT学习教案

1、会计学1D复合函数微分法与隐函数微分法复合函数微分法与隐函数微分法313.632(m )机动 目录 上页 下页 返回 结束 精确值是V, 近似值是|dV|.5 4 3(50.4) (40.4) (30.2)V dxyzVVxVyVz 用某种材料做一个开口长方体容器,其外形长5m,宽4m, 高3m,厚0.2m,求所需材料的近似值与精确值.yz xzx yxy z 4 3 ( 0.4)3 5 ( 0.4)5 4 ( 0.2) 314.8(m )解解: 设体积为V (m3), 长宽高各为x, y, z (m),.Vxyz5,4,3,0.4,0.4,0.2xyzxyz 第1页/共49页机动 目录 上页

2、 下页 返回 结束 取值, .,.,.xyxydz ( )xzfy1( )xxxxzfffyy2( )yyyxxzfffyy ( )xffy1.求给定点和自变量增量的全微分时,先声明这些否则应用记号2.表示z对 的导数.xy就可以用dz等表示全微分.第2页/共49页 第八章 复合函数和隐函数微分法机动 目录 上页 下页 返回 结束 一. 复合函数微分法二. 隐函数微分法第3页/共49页熟练掌握多元复合函数微分法多元复合函数微分法了解全微分形式不变性掌握多元隐函数微分法多元隐函数微分法重点重点机动 目录 上页 下页 返回 结束 难点难点第4页/共49页设 ( , ),( , )zfx yx y是

3、x,y的复合函数. 则22sin()xyzexy这是函数和中间变量均是二元函数的一般情况,sinuzev它的结构图或变量关系图是: 可看成是由( , ),( , ),( , )zf u vux yvx y机动 目录 上页 下页 返回 结束 如如函数复合而成.uxzvy22,uxyvxy和注意注意: 画出函数结构图对于多元复合函数求导很有帮助.因变量自变量第5页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,uuvvxyxy如果函数 ( , ),( , )ux yvx y且在对应于(x,y)的则复合函数 ( , )zf u v在点(x,y)对x及y的偏导数存在, 函数定理定理8.3 的偏导数偏导

4、数都存在存在,点(u,v)处,可微可微,( ( , ),( , )zfx yx y且,zzuzvxuxv x .zzuzvyuyv y uxzvy多元复合函数求导法则也称为链式法则链式法则.第6页/共49页特别地, 如果 ( , ),( ),( ),zf u vuxvxdzz duz dvdxu dxv dx这时, z对x 的导数称为全导数全导数, 即 ( , ),( ),zf x yyx ( ),( ).zfxx , ( )zf xx如果 的全导数为 则z就是x的一元函数 dzzz dydxxy dx机动 目录 上页 下页 返回 结束 则函数uzxvxzxy第7页/共49页求22,uxy v

5、xysin ,cosuuzzevevuv,2 ,2uuvvyxxyxyxyzzuzvxuxv x zzuzvyuyv y sinuzev机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:sin2cosuuxevyev而sin2cosuuyevxev2222 sin()2 cos()xyexxyyxyuxzvy,.zzxy2222 sin()2 cos()xyeyxyxxy第8页/共49页设223,42 ,uxyvxy1,lnvvzzv uuuuv 的偏导数。 6 ,2 ,4,2uuvvxyxyxy224216 (42 )(3)xyxxyxy16ln4vvzv uxuux 12ln2vvzv uyuuy

6、 2242(3)xyzxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 .vzu解解:224212 (42 )(3)xyyxyxy求则可得2242224(3)ln(3)xyxyxy2242222(3)ln(3)xyxyxyuxzvy第9页/共49页sin ,cos ,ux vx3222,3zzuvu vuv求 cos ,sindudvxxdxdx 3222cos3sinuvxu vxdzz duz dvdxu dxv dx23,zu v机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:3222sincoscos3sincossinxxxxxx222sin cos(2cos3sin)xxxx而.dzdxuzxv第

7、10页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 2ln ,32 ,xzuvuvxyy而解解:2 lnzuvu21,3,2uuxvvxyyyxy ,.zzxy212 ln3zzuzvuuvxuxv xyv 222 ln()( 2)zzuzvxuuvyuyv yyv 223222ln(32 )(32 )xxxyyyxy 2zuvv求uxzvy22223ln(32 )(32 )xxxyyyxy第11页/共49页dzz dxz dydtx dty dt221( 2)ttyeexx 22211( 2)ttttteeeee ().ttee 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,1,ttyzxe

8、yex 而求.dzdt解解:xzty第12页/共49页,.xxxxyzzz机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,zxyu设( , )ux y其中()()xxxxxxxxzzyuu 具有二阶连续偏导xxzyu()()1xyxyxyxyzzyuu 数，求解解:xxzyyuxxyyzux注意注意: 认为抽象函数的偏导数的结构同原函数的结构.第13页/共49页求( , ),vx yzffxxvx xvxffzfyvy ( , ),zf x v机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:而vyfxxzvy,.zzxy其中 都具有连续的偏导数,这里,zx表示复合后 ,( , )zf xx y对x的偏导数;f

9、x表示复合前( , )zf x v(v为“常数”) , f对x的偏导数.第14页/共49页22222( , )( , )( , ),uuuvvvf u vf u vf u vfffuu vv 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意：注意：( , )( , ),uvf u vf u vffuv各阶偏导数时, 在求多元函数的偏导数，特别是抽象函数的经常利用下面简便的记法：复合函数求导的链式法则“分段相乘, 分叉相加, 单路全导, 叉路偏导”uzxvxxvxzffvyvyzfv( , ),( , )zf x v vx yxxzvydzz duz dvdxu dxv dx( , )zf u v( )

10、,( )uu x vv x“理清结构, 找齐链路”第15页/共49页设机动 目录 上页 下页 返回 结束 2(),2yzxyx 为可微的函数,22302zzxxyyxy证证:22( ),2zyyuxx 因所以222223130222zzxxyyyyyxy ( ),zyxuyx求证：设uxy第16页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.zx y 其中f 具有二阶连续偏( , , ),yzf u x yuxe解解: yuxuxzuffe ffxx,uxff注意到 仍是u, x, y的函数，yuxe2()yuxze ffx yy 所以 2yyyyuuuuyxuxye fxefe fxe

11、ff设导数, 求且uxzxyy,uxff()yyuuuuyxuxyuue feffffyy第17页/共49页求22223()()vvvvvvxxxxxffffyyyyy ,( , )xvzyf x vy2()vvvzfvxxfyfyffyfffyyyyy22()()vvzxfxfffyyyyy y2vvvvvxxvfffyyyy( ,),xzyf xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:设xxfvy222,.zzx yy 其中f 具有二阶连续偏导数,令vxxfvy第18页/共49页111()xvvvxvvxfffffyyyy,vzxffyy22()()vzzzxffx yy xxyxy

12、1()xvvvxvvvxvfffffxyyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 2xvxvvxxfffyyxxfvyvxxfvy2223vvzxfyy,xvy第19页/共49页( , , ),yzf u x yuxe其中f 具有二阶连续偏导数,解解:,yuxzfefx2222,.zzxy22()()yuuuxxuxxzuuffeffxxx,uxyfff22()yyuuuyuyuyyzuuffxef xeffyyy22yyuuuxxxefe ff222yyyuuuuyyyxe fx efxe ff()yyyyuuuyuyuyyf xefxef xef xef机动 目录 上页 下页 返回 结束 作

13、业作业 P364 13(3)(4); 14(2); 15(2)求uzxxyy()xuuxffyuyzfxefy()yuuyff第20页/共49页(1) ,yzxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 5(3)ln(1)yxyyzey21(1) (1)yyxzxyyxyx(1) ln(1)1yxyxyxyxy求解解:ln(1)ln(1)1yxyxexyyxy211111(1)1yxxxyyzyxy1111(1) ln(1)12ln21yxyyxyxyzxyxyxy 1111,.xxxyyyzz第21页/共49页当u, v是x, y的可微函数 ( , ),( , )ux yvx y( ( , ),

14、( , )zf u x yv x y机动 目录 上页 下页 返回 结束 的全微分为 zzdzdudvuv( , )zf u v当u, v为自变量时, 其全微分 复合函数 由全微分定义和复合函数微分法可求得, 所以设可微,时,zzdzdxdyxy,zzuzvzzuzvxuxvxyuyvy而()()zuzvzuzvdxdzdyuxvxuyvy()()zuuzvvdxdydxdyuxyvxyzzdudvuv第22页/共49页zzdzdudvuv对于函数 ( , ),zf u v机动 目录 上页 下页 返回 结束 还是自变量, 致性, 称为全微分形式不变性全微分形式不变性. 无论u, v是中间变量这一

15、形式上的一其全微分形式一样.利用全微分形式不变性可以通过求微分过程的细化先求出函数的全微分, 后求出函数的偏导数.第23页/共49页22(),xyzxye利用全微分形式不变性, 解解:,.zzxy222222()()()xyxyxydzd xyee d xyxyde机动 目录 上页 下页 返回 结束 2222()()()xyxyedxdyxye d xy22(22)()()xyxyexdxydyxyeydxxdy23(2)xyzexx yyx32( 2)xyzeyxxyy2332(2)( 2)xyxyexx yy dxeyxxydy由此可得求第24页/共49页22,ln,arctan,vyzu

16、 uxyvx解解:.dz122lnlnarctanvvyvudxyuudx机动 目录 上页 下页 返回 结束 12222211ln( )1 ( )vvyvudxyuudyxxyx21222222211ln()vvxdxydyxyvuuudxdyxyxxxyxy1lnvvdzvuduuudv1122(ln )(ln )vuu vxyu dxu vyxu dyxy122()ln ()vuu v xdxydyuydxxdyxy求第25页/共49页1) 在什么条件下才能确定隐函数 y = f (x) .( , )0F x y 2) 在能确定隐函数时, 函数y = f (x)的连续性、可微性及求导方法如

17、何 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 用多元复合函数微分法研究方程 例如, 方程02Cyx当 C 0 时, 不能确定隐函数;第26页/共49页隐函数存在定理隐函数存在定理1 1),(00yxP),(yxF;0),(00yxF则方程( , )0F x y 单值连续函数 y = f (x) , )(00 xfy 并有连ddxyFyxF (隐函数求导公式)(证明略) 具有连续的偏导数;在点x0的某邻域内某邻域内可唯一确定一个在点的某一邻域内00(,)0yFxy满足条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 续导数满足第27页/共49页0)(,(xfxF两边对 x 求导数0ddxyyFxFddxyFy

18、xF 0yF ,0),()(所确定的隐函数为方程设yxFxfy在),(00yx的某邻域内则机动 目录 上页 下页 返回 结束 求导公式推导如下：xxFy第28页/共49页0yyxex确定的函数( )yf x( , ),yF x yyxex解解:1,1yyFFexexy 1111yyyydyeedxxexe 则机动 目录 上页 下页 返回 结束 的导数.利用隐函数求导公式也可利用隐函数求导法直接用复合函数求导法方程两边对x求导得10,yydydyexedxdx 11yydyedxxe 设两种方法不同, 前者F对x求偏导数时y是“常数”, 后者对x求导时y是x的复合函数.注意注意:ddxyFyxF

19、 第29页/共49页若函数 ),(000zyxP),(zyxF,yxzzFFzzxFyF 的某邻域内具有连续偏导数连续偏导数 ,则方程( , , )0F x y z 在点),(00yx并有连续偏导数, ),(000yxfz 定一个单值连续函数 z = f (x , y) , (证明略)满足0),(000zyxF000(,)0zF xy z 在点满足:某一邻域内可唯一确机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共49页0),(,(yxfyxF两边对 x 求偏导数xFxzFzxF yzFzyF 同样可得( , )zf x y则zFxz0机动 目录 上页 下页 返回 结束 求导公式推导如下:xx

20、Fyyz000(,)0zxyzF在的某邻域内设( , , )0F x y z 是方程所确定的隐函数,第31页/共49页2222221xyzabc解解:( , )zf x y222222,FxFyFzxaybzc222222( , , )1,xyzF x y zabc2222222222,22xyzc xzc yabzzxa zyb zcc 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的偏导数. 所确定的函数设则由可得注意注意: 虽然此例中方程确定两个不同的函数 22221,xyzcab 但在其可导区域内, 导数相同.利用隐函数求导公式,yxzzFFzzxFyF 第32页/共49页,04222zzyx解

21、法解法1 利用隐函数求导法直接用复合函数求导法0422xzxzzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导第33页/共49页设zzyxzyxF4),(222则2 ,xFx xzFzxF 两边对 x 求偏导数)2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx224zFz机动 目录 上页 下页 返回 结束 第34页/共49页zxFFxz xz设F(x, y)具有连续偏导数, 0),(zyzxF.dz求解解:是由方程设),(yxfz 0),(zyzxF

22、 yz212FyFxFz211FyFxFzyyzxxzzdddzF11 1F)(2zx 2F)(2zyzF12 确定的隐函数,)dd(2121yFxFFyFxz则)()(2221zyzxFF 已知方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 故解法解法1 利用隐函数求导公式.12xxFzyy第35页/共49页对方程两边求微分: 1F)dd(d2121yFxFFyFxzz)dd(2zzxxzzzFyFxd221 zyFxFdd21解法解法2 利用微分形式不变性.0),(zyzxF)dd(2zzyyz)(dzx 2F0)(dzy 1F 2F0机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共49页机动 目

23、录 上页 下页 返回 结束 2sin0,xyexy求.dydx1.解解:设2( , )sin,xF x yyexy2,cos2xxyFeyFyxy2cos2xxyFdyyedxFyxy (一) 利用隐函数求导公式(二) 利用复合函数求导法22cos20,cos2xxyeyyeyxyyyyxy(三) 利用微分形式不变性2cos20,xydye dxy dxxydy2cos2xdyyedxyxy第37页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.,zexyz求,.zzxy解解:设( , , ),zF x y zexyz,zxyzFyzFxzFexy ,xxyzzzFyzxzzzFexyexy

24、 (一) 利用隐函数求导公式(二) 利用复合函数求导法()() ,zxxexyz,zxxe zyzxyzxzyzzexy ()() ,zyyexyz,zyye zxzxyzyzxzzexy 第38页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.,zexyz求,.zzxy解解:,ze dzyzdxxzdyxydz()zexy dzyzdxxzdyzzyzxzdzdxdyexyexy(三) 利用微分形式不变性xzyzzexy yzxzzexy 第39页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.( , , )uf x y z有连续偏导数, 且xyzxeyeze解解:(1)(1)(1),x

25、yzxe dxye dyze dz(1)(1),(1)xyzxe dxye dydzzefffdudxdydzxyz设函数( , )zz x y由方程所确定, 求du.(1)(1),(1)xyzfffxe dxye dydxdyxyzze(1)(1).(1)(1)xyzzffxeffyedxdyxz zeyzze用微分形式不变性第40页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 复合函数求导的链式法则“分段相乘, 分叉相加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形式不变性, ),(vufz 对不论 u , v

26、是自变量还是因变量,vvufuvufzvud),(d),(duvyxyx“理清结构, 找齐链路”第41页/共49页机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P365 16(1)(2)(5)(6); 17(1); 18(1) 3. 隐函数微分法隐函数求导方法方法1. 利用复合函数求导法直接直接计算 ;方法2. 利用微分微分形式不变性 ;方法3. 代隐函数求导公式公式隐函数存在定理第42页/共49页隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.0),(0),(vuyxGvuyxF),(),(yxvvyxuu由 F、G 的偏导数组成的行列式vuvuGGFFvuGFJ),(),(称为F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 ,