材料力学 第四章 扭转

1、长安大学理学院工程力学系长安大学理学院工程力学系材料力学材料力学4-1 4-1 概概 述述 圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动；圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动； 杆表面上的纵向线变成螺旋线。杆表面上的纵向线变成螺旋线。受力特点：受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面垂直于杆的轴线的外力偶作用垂直于杆的轴线的外力偶作用变形特点：变形特点：Me Me NoImage实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有实际构件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、拉压等其他变形。弯曲、拉压等其他变形。按输入功率和转速计算按输入功率和转速计算已知已知

2、轴转速轴转速n n 转转/ /分钟分钟输出功率输出功率P P 千瓦千瓦求：力偶矩求：力偶矩M Me e电机每秒输入功：电机每秒输入功：)N.m(1000 PW外力偶作功完成：外力偶作功完成：602nMWe外力偶矩为外力偶矩为：nPnPMe95496021000eMmN 为外力偶矩为外力偶矩 ( (牛顿牛顿. .米米) )4-2 4-2 扭矩扭矩 扭矩图扭矩图 n扭转内力扭转内力 : 扭矩扭矩 TMeMeMeTnMeT例例4-2-1 4-2-1 已知已知：PA = 40kW，PB =100kW，PC = 60kW，n = 955 rpm， 求求: :作图示传动轴的扭矩图。作图示传动轴的扭矩图。解

3、解: MA = 9549 P/n=400 Nm MB =1000 Nm MC = 600 Nm T1 = 400 Nm 讨论讨论: :交换交换 AB 轮的位置扭矩轮的位置扭矩 将如何变化？将如何变化？(-)400- 600 xT (Nm)-1000- 600 xT (Nm)T2 = - -600 NmMAMBMC2-21-1MAT1nMCnT2(-)(+)一、薄壁圆筒：一、薄壁圆筒：壁厚壁厚0101rt （r0：为平均半径）1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。4-34-3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 2.实验后：圆周线不变；圆周线不变；纵向

4、线变成斜直线。纵向线变成斜直线。3.3.结论：结论：横截面和纵截面上没有正应力。横截面和纵截面上没有正应力。 横截面上只有切应力，因为壁厚横截面上只有切应力，因为壁厚t t很小，近似认为沿壁厚均匀分布很小，近似认为沿壁厚均匀分布 。4-34-3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转二、切应力互等定理：二、切应力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式称为切应力互等定理。上式称为切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，剪应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向出现，且数值相等，两者都垂直于两平面

5、的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。或共同背离该交线。 单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称单元体的四个侧面上只有剪应力而无正应力作用，这种应力状态称为为“纯剪切应力状态纯剪切应力状态”。acddxb dy tz4-34-3薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转三、剪切胡克定律三、剪切胡克定律 l G 上式称为上式称为“剪切胡克定律剪切胡克定律”；G为比例系数称为材料的切变模量，为比例系数称为材料的切变模量，单位是单位是pa，并对各向同性材料存在：，并对各向同性材料存在：当切应力没有超过材料的比例极限时，当切应力没有超过材料的比例极限时， )1 (2EG4-4 4-4 圆轴扭

6、转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度条件pGITl（1）变形几何方程）变形几何方程 表面表面Rl 内部内部 l )(刚性平截面变形规律：刚性平截面变形规律： （1 1）横截面保持平面；）横截面保持平面； （2 2）直径保持直线。）直径保持直线。l )(（2）物理方程）物理方程G)()( dA)(dTT（3）平衡条件）平衡条件：补充方程：补充方程：lG )(pIlGTpITMlT= MDpITpnpWMRITmax强度强度条件条件 pWTmax 43116 DWp抗扭截面系数抗扭截面系数 ApdAI2 极惯性矩极惯性矩 dd2 d32324D )1 (4 例例4-4-14-4-1 已知汽车

7、传动主轴已知汽车传动主轴D = 90 mm, d = 85 mm,MPa60 M= 1.5 kNm求：（求：（1）校核轴的强度；）校核轴的强度； （2）改用实心轴，确定轴的直径；）改用实心轴，确定轴的直径； （3）比较实心轴和空心轴的重量）比较实心轴和空心轴的重量。解：解：（1）T = M = 1.5 kNm , 944.0 Dd 3643m1029116DWp MPa7 .51maxpWT强度安全。 pWTmax（2）max316TDWpmm53 D（3）2.3222 dDDAAQQ 空心优于实心空心优于实心MM强度强度条件条件4-4 4-4 圆轴扭转时的应力和强度条件圆轴扭转时的应力和强度

8、条件 maxpTW低碳钢：横截面切应力破坏灰铸铁：45斜截面拉应力破坏作业题作业题选择题 4.1.2 4.1.4 计算题 4.3.1 4.3.2 4.3.4 例例4-4-24-4-2 图示阶梯状圆轴，图示阶梯状圆轴，AB段直径段直径 d1=120mm，BC段直径段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力材料的许用切应力 = 80MPa ，试校核该轴的强度。，试校核该轴的强度。解：解： 1、求内力，作出轴的扭矩图、求内力，作出轴的扭矩图22 14 T图（kNm） MA MB MC AC BBC段MPa3

9、.71mm10016mmN1014362p2max, 2WTAB段1p1max, 1WT2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度MPa8 .64mm12016mmN102236MPa80即该轴满足强度条件。即该轴满足强度条件。所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋角所谓密圈螺旋弹簧，是指螺旋角 很小，弹簧丝的直径比弹簧圈直径小得多的弹簧。很小，弹簧丝的直径比弹簧圈直径小得多的弹簧。这样可以略去弹簧丝曲率的影响，将它作为扭转的直杆来处理。这样可以略去弹簧丝曲率的影响，将它作为扭转的直杆来处理。 例例4-4-34-4-3 图示圆柱形密圈弹簧，沿弹簧轴线承受拉力图示圆柱形密

10、圈弹簧，沿弹簧轴线承受拉力F作用，设弹簧作用，设弹簧平均直径为平均直径为D，弹簧丝直径为，弹簧丝直径为d，试分析弹簧的应力并建立相应的强度，试分析弹簧的应力并建立相应的强度条件。条件。解：横截面上的内力解：横截面上的内力由由Q Q引起的剪应力引起的剪应力 由由T T引起的最大剪应力引起的最大剪应力 其中其中由由由公式pGITx dd 知：长为长为 l一段杆两截面间相对扭转角一段杆两截面间相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp4-5 4-5 圆轴扭转时的变形和静不定问题圆轴扭转时的变形和静不定问题一一 扭转时的变形扭转时的变形(rad/m) dd pGITx /m)( 1

11、80 dd pGITx 或或GIp反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭反映了截面尺寸和材料性能抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。刚度。 称为许用单位长度扭转角。 (rad/m) maxmaxpGIT /m)( 180 maxmaxpGIT 二二 单位长度扭转角单位长度扭转角三三 刚度条件刚度条件刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： max max GT Ip max pGIT 有时，还可依据此条件进行选材。各类轴的许用单位长度扭转角可在有关的机械设计手册中查得。各类轴的许用单位长度扭转角可在有关的机械设计手册中查得。对精密

12、机器的轴对精密机器的轴 =(0.250.50)0/m；一般传动轴一般传动轴 =(0.51.0)0/m；精度要求不高的轴精度要求不高的轴 =(1.02.5)0/m。 例例4-5-24-5-2 某传动轴设计要求转速某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率，输入功率N1 = 380kw， 输出功率分输出功率分别别 N2 = 160kw及及 N3 = 220kw，已知：，已知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，试确，试确定：定： AB 段直径段直径 d1和和 BC 段直径段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安

13、排合理？主动轮与从动轮如何安排合理？解：解：图示状态下图示状态下, ,扭矩如扭矩如 图图，由强度条件得：，由强度条件得： 500400N1N3N2ACB（-）Tx72574202(Nm)9549(kNm )Nmn16 31TdWt mm4671070143421016163632.Td 32 4 GTdIp 33161616725780.8m m3.147010Td由刚度条件得：500400N1N3N2ACB（-）Tx72574202(Nm) 4422932 32420218074.4m m 3.1480101TdG 4412932 32725718085.3m m 3.1480101TdG1

14、2 86m m, 75m mdd综上：全轴选同一直径时1 8 6 m mdd 轴上的轴上的绝对值绝对值最大最大的的扭矩扭矩越小越越小越合理，所以，合理，所以，1轮和轮和2轮应轮应 该该换换位。位。换位后换位后, ,轴的扭矩如图所示轴的扭矩如图所示, ,此时此时, ,轴的最大直径才轴的最大直径才 为为 75 75mm。Tx4202(Nm)3055（-）（+）解决扭转超静定问题的方法步骤解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程

15、组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。四四 扭转超静定问题扭转超静定问题例例4-5-34-5-3长为长为 L=2m 的圆杆受均布力偶的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之的作用，如图，若杆的内外径之比为比为 =0.8 =0.8 ，外径，外径 D=0.0226m =0.0226m ，G=80GPa，试求固定端反力偶试求固定端反力偶。解：解：杆的受力图如图示，杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。这是一次超静定问题。 平衡方程为：平衡方程为：02BAmmmAB几何方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxG

16、IxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：mN 20Bm4-6 4-6 等直圆轴扭转时的应变能等直圆轴扭转时的应变能11dWTd1012VWTdT2222PPGIT lVGIl例例4-6-14-6-1 图示圆柱形密圈弹簧，沿弹簧轴线承受压力图示圆柱形密圈弹簧，沿弹簧轴线承受压力F作用，设弹簧作用，设弹簧平均直径为平均直径为D，弹簧丝直径为，弹簧丝直径为d，切变模量为，切变模量为G，试计算弹簧的轴向变，试计算弹簧的轴向变形。形。在弹簧丝的截面上有扭矩在弹簧丝的截面上有扭矩 2/TFD忽略剪切应变能，扭转应变能为忽略剪切应变能，扭转应变能为22322ppp1()288D Fn Dn

17、 D FUT dxGIGIGI其中其中n是弹簧的圈数。因为是弹簧的圈数。因为 ，所以，所以4p/ 32Id 3244nD FUG d假如在假如在F力的作用下弹簧伸长了力的作用下弹簧伸长了 ，那么外力所做的功应该等于应变能，那么外力所做的功应该等于应变能， / 2UWF代入上式得到代入上式得到 FF D nGd23442 FD nGd3484-5 4-5 非圆截面轴扭转的概念非圆截面轴扭转的概念一一 约束扭转和自由扭转约束扭转和自由扭转自由扭转：扭转时横截面的翘曲不受限制，横截面上只有切应力，没有正应力。自由扭转：扭转时横截面的翘曲不受限制，横截面上只有切应力，没有正应力。约束扭转：扭转时横截面

18、的翘曲受到限制，横截面上不仅有切应力，还有正应力。约束扭转：扭转时横截面的翘曲受到限制，横截面上不仅有切应力，还有正应力。非轴对称问题，扭转时横截面非轴对称问题，扭转时横截面产生产生翘曲翘曲 。平面假设不。平面假设不再成立。再成立。自由扭转自由扭转等直非圆截面杆受扭时，两端等直非圆截面杆受扭时，两端面变形不受限制，即可自由翘面变形不受限制，即可自由翘曲，则各截面翘曲程度相同。曲，则各截面翘曲程度相同。横截面上仍旧只存在切应力。横截面上仍旧只存在切应力。约束扭转约束扭转 端面受限制而不可自由翘曲，则各截面翘曲程度不同，端面受限制而不可自由翘曲，则各截面翘曲程度不同，截面截面上除切应力外，还产生正

19、应力。上除切应力外，还产生正应力。TT4-5 4-5 非圆截面轴扭转的概念非圆截面轴扭转的概念一一 约束扭转和自由扭转约束扭转和自由扭转LTTTABacbx 4-5 4-5 非圆截面轴扭转的概念非圆截面轴扭转的概念可以证明，轴扭转时，横截面上边缘各点切应力与截面边界相切，可以证明，轴扭转时，横截面上边缘各点切应力与截面边界相切，角点处切应力为零。角点处切应力为零。二二 矩形截面杆的自由扭转矩形截面杆的自由扭转弹性力学结果弹性力学结果 横截面上剪应力非线性分布；横截面上剪应力非线性分布； 横截面边缘上各点剪应力与边缘横截面边缘上各点剪应力与边缘 线平行，角点处为零；线平行，角点处为零； 最大剪应力发生在横截面边缘长最大剪应力发生在横截面边缘长 边中点处。边中点处。m axtTW 1m ax 2tWb h 3tIb h 其中其中B AtTLG I , , 随矩形截面的长、短边尺寸之比随矩形截面的长、短边尺寸之比 而变化。而变化。hb三三 开口薄壁截面杆的自由扭转开口薄壁截面杆的自由扭转 类似狭长矩形截面，在开口薄壁杆件截类似狭长矩形截面，在开口薄壁杆件截面上，切应力沿着周边或周边的切线形成环面上，切应力沿着