材料力学课件 第四章扭 转

1、1241 引言引言 42 外力偶矩和扭矩外力偶矩和扭矩43 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转44 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 强度计算强度计算45 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度计算刚度计算46 非圆截面杆扭转简介非圆截面杆扭转简介第四章第四章 扭扭 转转 *圆轴扭转超静定问题圆轴扭转超静定问题341 引引 言言 轴：轴： 工程中以扭转为主要变形的构件。如：机器中的传动轴、石油钻机中的钻杆、汽车转向轴、搅拌器轴等。受力特点：受力特点：在垂直于杆轴线的平面内作用有力偶.ABOmmOBA变形特点：变形特点：任意横截面绕杆轴相对转动。（杆表面纵线螺 旋线扭转变形）4扭转角扭转角(相对扭转角

2、相对扭转角)（）：）：任意两横截面绕轴线转动而 发生的角位移。剪应变剪应变(切应变切应变)（）：直角的改变量。mmOBA5工工 程程 实实 例例642 外力偶矩和扭矩外力偶矩和扭矩一、外力偶矩一、外力偶矩 m)(kN559nP.mm)(kN0247nP.m其中：P 功率，千瓦（kW） n 转速，转/分（rpm）其中：P 功率，马力（PS） n 转速，转/分（rpm）1kW = 1000Nm/s = 1.36PS 使杆件产生扭转变形的力偶矩。数值上等于杆件所受外力对杆轴的力矩。传动轴的传递功率、转速与外力偶矩的关系：73 扭矩的符号规定：扭矩的符号规定： “T”的转向与截面外法线方向满足右手螺旋

3、法则为正，的转向与截面外法线方向满足右手螺旋法则为正，反之为负。反之为负。二、扭矩及扭矩图二、扭矩及扭矩图mmmTmTmTmx00 x1 扭矩：扭矩：构件受扭时，横截面上的内力偶矩，记作“T”。 2 截面法求扭矩截面法求扭矩84 扭矩图：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。扭矩图：表示扭矩沿轴线方向变化规律的图线。 目目 的的扭矩变化规律；|T|max值及其截面位置 强度计算（危险截面）。xT9例例1已知：一传动轴， n =300r/min，主动轮输入 P1=500kW，从动轮输出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，试绘制扭矩图。nA B C Dm2 m3 m1 m4解：解：

4、计算外力偶矩计算外力偶矩m)15.9(kN 3005009.5555911nP.mm)(kN 7843001509.55559232.nP.mmm)(kN 3763002009.5555944.nP.m10nA B C Dm2 m3 m1 m4112233求扭矩（扭矩按正方向设）求扭矩（扭矩按正方向设）mkN784 0 , 02121.mTmTmCmkN569784784( , 0 322322.).mmTmmTmkN376 , 0 4243.mTmT求扭矩求扭矩: 任意截面的扭矩任意截面的扭矩,数值上等于截面一侧轴段所有外力数值上等于截面一侧轴段所有外力偶矩的代数和偶矩的代数和. 转向与这些

5、外力偶矩的合力偶矩之转向相反转向与这些外力偶矩的合力偶矩之转向相反.11绘制扭矩图绘制扭矩图mkN 569max .TBC段为危险截面。段为危险截面。xTnA B C Dm2 m3 m1 m44.789.566.371243 薄壁圆筒的扭转薄壁圆筒的扭转 薄壁圆筒：薄壁圆筒：壁厚0101rt （r0：为平均半径）一、实验：一、实验：1.实验前：实验前：绘纵向线，圆周线；绘纵向线，圆周线；施加一对外力偶施加一对外力偶 m。132.实验后：实验后：圆周线的大小、形状、圆周线的大小、形状、间距不变；间距不变； 纵纵向线变成斜直线，向线变成斜直线，倾倾角相同。角相同。3.结论：结论：各圆周线的间距均未

6、改变各圆周线的间距均未改变横截面上无正应力横截面上无正应力.圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对圆周线的形状、大小均未改变，只是绕轴线作了相对转动转动周向无正应力周向无正应力 纵向线倾斜纵向线倾斜横截面上有切应力横截面上有切应力. 各纵向线均倾斜了同一微小角度各纵向线均倾斜了同一微小角度 切应力均匀分布切应力均匀分布. 14 acdb 横截面上无正应力 周向无正应力 横截面上各点处，只产生垂直于半径的均匀分布的切应力 ，沿周向大小不变，方向与该截面的扭矩方向一致。微小矩形单元体如图所示：微小矩形单元体如图所示：15二、薄壁圆筒切应力二、薄壁圆筒切应力 与剪应变与剪应变 ： TrAA0

7、d A0：平均半径所作圆的面积。TtrrArA000 2d tATtrT 2 2 0 20切应力切应力剪应变剪应变LRRL/ mmOBA16三、切应力互等定理：三、切应力互等定理： 0故dxdytdxdytmz上式称为切应力互等定理切应力互等定理。 该定理表明：在单元体相互垂直的两个平面上，切应在单元体相互垂直的两个平面上，切应力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交力必然成对出现，且数值相等，两者都垂直于两平面的交线，其方向则共同指向或共同背离该交线。线，其方向则共同指向或共同背离该交线。acddxb dy tz17四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 单元体的四个侧面上只有切应力

8、而无正应力作用，这单元体的四个侧面上只有切应力而无正应力作用，这种应力状态称为种应力状态称为纯剪切应力状态。纯剪切应力状态。薄壁圆筒体扭转实验薄壁圆筒体扭转实验 18 T=m)/( ) 2( 0RLtAT 剪切虎克定律：剪切虎克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限时当切应力不超过材料的剪切比例极限时（ p) (在弹性范围内在弹性范围内)，切应力与剪应变成正比关系。，切应力与剪应变成正比关系。在一定范围内在一定范围内 19G 式中：G是材料的一个弹性常数，称为剪切弹性模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 剪切弹性模量、弹性模量和泊松比是

9、表明材料弹性性质的三个常数。对各向同性材料，这三个弹性常数之间存在下列关系（推导详见后面章节）： 可见，在三个弹性常数中，只要知道任意两个，第三个量就可以推算出来。)1 ( 2EG2044 圆轴扭转时的应力圆轴扭转时的应力 强度计算强度计算圆轴横截面应力圆轴横截面应力变形几何方面变形几何方面物理关系方面物理关系方面静力学方面静力学方面 1. 横截面变形后横截面变形后 仍为平面；仍为平面； 2. 轴向无伸缩；轴向无伸缩； 3. 纵向线变形后仍为平行。纵向线变形后仍为平行。一、等直圆轴扭转实验观察：一、等直圆轴扭转实验观察：2122二、等直圆轴扭转时横截面上的应力：二、等直圆轴扭转时横截面上的应力

10、：1. 变形几何关系：变形几何关系：xxGGdddtg1xdd距圆心为距圆心为 任一点处的任一点处的 与到圆心的距离与到圆心的距离 成正比。成正比。xdd 扭转角沿长度方向变化率(单位长度扭转角)。232. 物理关系：物理关系：胡克定律：代入上式得： GxGxGGddddxGdd 距圆心等距离处的切应力相等243. 静力学关系：静力学关系：OdAAxGAxGATAAAddd ddd d22AIApd2令xGI Tpdd pGITx dd 代入物理关系式 得：xGdd pIT25pIT横截面上距圆心为处任一点切应力计算公式。4. 公式讨论：公式讨论： 仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等

11、圆截面仅适用于各向同性、线弹性材料，在小变形时的等圆截面 直杆。直杆。 式中：式中：T横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。横截面上的扭矩，由截面法通过外力偶矩求得。 该点到圆心的距离。该点到圆心的距离。 Ip极惯性矩，纯几何量，无物理意义。极惯性矩，纯几何量，无物理意义。26单位：单位：mm4，m4。AIApd2 尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆，尽管由实心圆截面杆推出，但同样适用于空心圆截面杆， 只是只是Ip值不同。值不同。AIApd2对于实心圆截面：DdO202d2 D32424204DD27对于空心圆截面：AIApd2)(DddDOd222d2 Dd)1 (32 4

12、4D)(32 44dD 28 应力分布应力分布（实心截面）（空心截面）工程上采用空心截面构件：提高强度，节约材料， 结构轻便，应用广泛。29 确定最大切应力：确定最大切应力：pIT由知：当 , 2DR pIDT2 maxtWTmaxWt 抗扭截面系数（抗扭截面模量）， 几何量，单位：mm3或m3。对于实心圆截面：163DRIWpt对于空心圆截面：16)1 (43DRIWptmax 2 DITp)2 ( DIWWTptt令30三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力三、等直圆杆扭转时斜截面上的应力低碳钢试件：沿横截面断开。铸铁试件：沿与轴线约成45的螺旋线断开。因此还需要研究斜截面上的应力。311. 点

13、M的应力单元体如图(b)：(a)M(b) (c)2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：(d) x32(d) xnt转角规定：轴正向转至截面外法线逆时针：为“+”顺时针：为“”由平衡方程：0)cossind()sincosd(d ; 0AAAFn0)sinsind()coscosd(d ; 0AAAFt解得：2cos ; 2sin 332cos ; 2sin 分析：当 = 0时，max00 , 0当 = 45时，0 , 45min45当 = 45时，0 , 45max45当 = 90时，max9090 , 0 45 由此可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力为最大值；在方向角 = 4

14、5的斜截面上作用有最大压应力和最大拉应力。根据这一结论，就可解释前述的破坏现象。34四、圆轴扭转时的强度计算四、圆轴扭转时的强度计算强度条件：强度条件：对于等截面圆轴：对于等截面圆轴：maxmaxtWT( 称为许用切应力。)强度计算三方面：强度计算三方面： 校核强度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷：maxmaxtWTmaxTWtmaxtWT）（空：实：433116 16 DDWt静载下静载下: = ( 0.5 0.6 ) ( 钢钢 ) = ( 0.8 1.0 ) ( 铸铁铸铁 )35 例例2 2 功率为150kW，转速为15.4转/秒的电动机转子轴如图， 许用切应力 =30M Pa, 试校核其

15、强度。nPmTBC55. 9m)(kN55. 1m)(kN604 .1515055. 9Tm解：求扭矩及扭矩图计算并校核切应力强度此轴满足强度要求。D3 =135D2=75 D1=70ABCmmxMPa231607. 01055. 133maxtWT3645 圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形 刚度计算刚度计算一、扭转时的变形一、扭转时的变形由公式pGITx dd 知：长为长为 l一段等截面杆两截面间一段等截面杆两截面间相对扭转角相对扭转角 为值不变）若 ( d d0TGITlxGITplp单位单位: 弧度弧度(rad)37二、单位扭转角二、单位扭转角q q：(rad/m) dd pGITx q

16、/m)( 180 dd qpGITx 或三、刚度条件三、刚度条件 (rad/m) maxqpGIT /m)( 180 maxqpGIT 或GIp反映了截面抵抗扭转变形的能力，称为截面的抗扭刚度截面的抗扭刚度。q q称为许用单位扭转角。38刚度计算的三方面：刚度计算的三方面： 校核刚度： 设计截面尺寸： 计算许可载荷： maxqq max qGT Ip max qpGIT 有时，还可依据此条件进行选材。qq 根据机器要求、轴的工作条件确定。 可查手册。精密机器轴： q q = （ 0.15 0.30 ）/m一般传动轴： q q = （ 0.30 .0 ）/m精度不高的轴： q q = （ .0

17、. ）/m39 例例33长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，G=80GPa ，许用切应力 =30MPa，试设计杆的外径；若q2/m ，试校核此杆的刚度，并求右端面转角。解：设计杆的外径maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD40314max 116）（TD40NmxT代入数值得：D 0.0226m。 由扭转刚度条件校核刚度q180maxmaxPGIT4140NmxTq180maxmaxPGIT q89. 1)1 (108018040324429D右端面转角为：弧度）( 033.0 )4(10204020220

18、0 xxGIdxGIxdxGITPPLP42 例例44 某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500 马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ， =70M Pa，f1/m ，试确定： AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？ 若全轴选同一直径，应为多少？ 主动轮与从动轮如何安排合理？解：图示状态下,扭矩如图，由强度条件得： 500400N1N3N2ACBTx7.024 4.21(kNm)m)(kN024. 7024. 71ABnNTmaxmaxtWTm)(kN21. 4024. 73BCnNT4316 31T

19、dWt mm4 .67107014. 3421016163632BCTd 32 4 qGTdIp mm80107014. 3702416163631ABTd由刚度条件得：500400N1N3N2ACBTx7.0244.21(kNm) (rad/m) maxqqpGIT 44 mm4 .741108014. 3180421032 3249242 qGTdBCmm841108014. 3180702432 3249241 qGTdAB mm75 mm8521 d,d综上：全轴选同一直径时 mm851 dd45 轴上的绝对值最大的扭矩越小越合理，所以，1轮和2轮应 该换位。换位后,轴的扭矩如图所示,

20、此时,轴的最大直径 为 75mm。Tx 4.21(kNm)2.81446圆轴扭转的超静定问题圆轴扭转的超静定问题解决扭转超静定问题的方法步骤：解决扭转超静定问题的方法步骤：平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；物理方程；物理方程；解由平衡方程和补充方程组成的方程组。解由平衡方程和补充方程组成的方程组。 pGITl47 例例55长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。解解：杆的受力图如图

21、示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：02BAmmm48几何方程变形协调方程0BA 综合物理方程与几何方程，得补充方程：040220200PAPALPBAGImdxGIxmdxGITmN 20 Am 由平衡方程和补充方程得：另:此题可由对称性直接求得结果。mN 20Bm4946 非圆截面杆扭转简介非圆截面杆扭转简介非圆截面等直杆：非圆截面等直杆：平面假设不成立。即各截面发生翘曲成空间曲面。因此，由等直圆杆扭转时推出的应力、变形公式不适用，须由弹性力学方法求解。50一一、自由扭转、自由扭转：杆件扭转时，横截面的翘曲不受限制，任意两相 邻截面的翘曲程度完全相同。二二、约束扭转：、约束扭转：杆件扭

22、转时，横截面的翘曲受到限制，相邻截面 的翘曲程度不同。三三、矩形杆横截面上的切应力、矩形杆横截面上的切应力: : hbh 1T max 注意！b1. 切应力分布如图：（角点、形心、长短边中点）( (纵向纤维长度不变纵向纤维长度不变, , 无无 , , 只有只有 ) )（产生（产生 、 ) )512. 最大切应力及单位扭转角max1 hbh 1T max 注意！b maxmaxtWT , tGITqIt相当极惯性矩。hbtW2 :其中hbIt3 :其中31 ; ) 10 : (bh即对于狭长矩形 和 可查表求得。52 例例8 8 一矩形截面等直钢杆，其横截面尺寸为：h = 100 mm， b=50mm，长度L=2m，杆的两端受扭转力偶 T=4000Nm 的 作用 ，钢的G =80GPa