5.3向量的坐标运算(第1课时)

1、第五章第五章 平面向量平面向量第 讲（第一课时）（第一课时）考考点点搜搜索索平面向量的基本定理及坐标运算平面向量的基本定理及坐标运算向量平行的充要条件向量平行的充要条件向量的坐标运算与函数向量的坐标运算与函数(包括三角函包括三角函数数)、解析几何的综合题、解析几何的综合题高高考考猜猜想想这一部分是向量的核心内容，高考的这一部分是向量的核心内容，高考的一个重要命题点一个重要命题点.选择题、填空题重在选择题、填空题重在考查数量积的概念、运算律、性质，考查数量积的概念、运算律、性质，向量的平行与垂直、夹角与距离等；向量的平行与垂直、夹角与距离等；解答题重在考查与几何、三角函数、解答题重在考查与几何、

2、三角函数、代数等结合的综合题代数等结合的综合题.一、平面向量的坐标表示一、平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系内，分别取与在平面直角坐标系内，分别取与x轴、轴、y轴轴正方向相同的两个单位向量正方向相同的两个单位向量i、 j作为基底，对作为基底，对任一向量任一向量a，有且只有一对实数，有且只有一对实数x，y，使得，使得a=xi+yj，则实数对，则实数对(x，y)叫做向量叫做向量a的直角坐标，的直角坐标，记作记作a=(x，y).其中其中x、y分别叫做分别叫做a在在x轴、轴、y轴上轴上的坐标，的坐标，a=(x，y)叫做向量叫做向量a的坐标表示的坐标表示. 相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量相等的向

3、量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量是相等的向量.二、平面向量的坐标运算二、平面向量的坐标运算 1.若若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则，则ab=_; 2.如果如果A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则AB=_; 3.若若a=(x，y)，则，则a=_; 4.如果如果a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则，则ab的充要的充要条件是条件是_. (x1x2，y1y2)(x2-x1，y2-y1)(x,y)x1y2-x2y1=0三、平面向量数量积的坐标表示三、平面向量数量积的坐标表示 1.若若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则，则ab=_; 2.若若a=(x，y)，则，则|

4、a|2=aa=_，|a|=_; 3.若若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，则|AB|=_； 4.若若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则，则ab_;x1x2+y1y2x2+y2x1x2+y1y2=022xy222121( - )( - )x xy y5.若若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与与b的夹角的夹角为为，则，则cos=_. 121222221122x xy yxyxy1.对于对于n个向量个向量a1,a2,an,若存在若存在n个不全为个不全为零的实数零的实数k1,k2,，kn,使得使得k1a1+k2a2+knan=0成成立，则称向量立，则称向量a1,a2,an是线性

5、相关的是线性相关的.按此规定，按此规定，能使向量能使向量a1=(1,0),a2=(1,-1),a3=(2,2)是线性相关的是线性相关的实数实数k1,k2,k3的值依次为的值依次为_.(只需写出一组只需写出一组值即可值即可) 解解：根据线性相关的定义得：根据线性相关的定义得k1(1,0)+k2(1,-1)+k3(2,2)=0，则，则 令令k3=1,则则k2=2，k1=-4， 所以所以k1,k2,k3的一组值为的一组值为-4,2,1.1232320,-20kkkkk-4,2,12.已知平面向量已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m)，且，且ab，则则2a+3b=( ) A. (-2，-4) B

6、. (-3，-6) C. (-4，-8) D. (-5，-10) 解解：由：由ab，得，得m=-4，所以所以2a+3b=(2，4)(-6，-12)=(-4，-8)，故选故选C.C3.已知平面向量已知平面向量a=(1，-3)，b=(4，-2)，a+b与与a垂直，则垂直，则=( ) A. -1 B. 1 C. -2 D. 2 解解：由于：由于a+b=(+4,-3-2),a=(1,-3),且且(a+b)a, 所以所以(+4)-3(-3-2)=0，即，即10+10=0, 所以所以=-1，故选，故选A.A题型题型1 向量的坐标向量的坐标1. 设向量设向量a=(1，-3)，b=(-2，4)，c=(-1，-

7、2)，若表示向量若表示向量4a、4b-2c、2(a-c)、d的有向线段首尾的有向线段首尾相接能构成四边形，求向量相接能构成四边形，求向量d的坐标的坐标 解解：根据题意，：根据题意，4a+(4b-2c)+2(a-c)+d=0，即即6a+4b-4c+d=0， 所以所以d=4c-6a-4b=4(-1，-2)-6(1，-3)-4(-2，4)=(-2，-6).点评：点评：坐标向量的加减运算，按对坐标向量的加减运算，按对应的坐标进行加减运算即可，涉及到已应的坐标进行加减运算即可，涉及到已知起点和终点坐标求向量时，用终点坐知起点和终点坐标求向量时，用终点坐标减去起点坐标即可标减去起点坐标即可.点点P在平面上

8、作匀速直线运动，速度向量在平面上作匀速直线运动，速度向量v=(4，-3)(即点即点P的运动方向与的运动方向与v相同，且每秒移相同，且每秒移动的距离为动的距离为|v|个单位长度个单位长度).设开始时点设开始时点P的坐标的坐标为为(-10，10)，则，则5秒后点秒后点P的坐标为的坐标为( ) A. (-2，4) B. (-30，25) C. (5，-10) D. (10，-5) 解：解：设点设点A(-10，10)，5秒后点秒后点P运动到运动到B点，点，则则 =5v，所以，所以 =5v，所以，所以 +5v=(-10，10)+5(4，-3)=(10，-5).故选故选D.AB -OB OA OBOA D

9、题型题型2 向量的模向量的模2. 已知向量已知向量a=(cos23，cos67)，b=(cos68，cos22)，求，求|a+tb|(tR)的最小值的最小值. 解解：由已知得：由已知得a=(cos23，sin23)，b=(sin22，cos22)，所以，所以|a|=|b|=1，ab=sin22cos23+cos22sin23=sin45= . 所以所以|a+tb|2=(a+tb)2=a2+2tab+t2b2所以当所以当t=- 时，时，|a+tb|min= .22222121 (),22ttt 2222点评点评：坐标向量：坐标向量a=(x，y)的模的模 是一个非负数，涉及到三角函数式的运算时，是

10、一个非负数，涉及到三角函数式的运算时，注意先将三角函数式化简再求解注意先将三角函数式化简再求解.22| | axy已知向量已知向量m=(cos，sin)和和n=( -sin，cos)，2.求求|m+n|的最大值的最大值. 解解：m+n=(cos-sin+ ,cos+sin),因为因为，2，所以，所以 所以所以cos( )1，所以，所以|m+n|max= .2222|(cos -sin2)(cossin )42 2(cos -sin )44cos()2 1 cos().44mn59,444 42 2已知已知a、b、c是同一平面内的三个向量，是同一平面内的三个向量，其中其中a=(1，2). (1)

11、若若|c|= ，且，且ca，求，求c的坐标的坐标; (2)若若|b|= ，且，且a+2b与与2a-b垂直垂直,求求a与与b的夹角的夹角. 解：解：(1)设设c=(x,y)，则，则|c|= 又又ca，则，则2x=y, 所以所以 或或 所以所以c=(2,4),或或c=(-2,-4). 题型题型3 向量的平行与垂直向量的平行与垂直2 552222 5,xy24xy-2,-4xy(2)因为因为a+2b与与2a-b垂直垂直,所以所以(a+2b)(2a-b)=2|a|2+3ab-2|b|2=0.因为因为|b|= ，|a|= ，所以，所以ab=- 所以所以所以所以a与与b的夹角的夹角为为135.点评：点评：

12、两坐标向量的平行两坐标向量的平行(或垂直或垂直)的充要的充要条件是将向量运算转化为实数运算的依据，条件是将向量运算转化为实数运算的依据，注意平行与垂直的充要条件极易弄错或混淆注意平行与垂直的充要条件极易弄错或混淆.525525-2c o s-1,552 设向量设向量 m=a+(t2-k)b，其中，其中k0，且为常数，且为常数，n=-sa+tb，其中其中s、t是两个非零实数，若是两个非零实数，若mn (1)试将试将s表示成关于表示成关于t的函数的函数s=f(t); (2)若若s=f(t)在区间在区间1，+)上是单调函数，上是单调函数，求求k的取值范围的取值范围.解：解：(1)因为因为mn，所以，

13、所以mn=0， 即即a+(t2-k)b(-sa+tb)=0. 所以所以-sa2+t(t2-k)b2+t-s(t2-k)ab=0.3113(,- ),( ,),2222ab由题设知由题设知|a|=|b|=1，ab=0， 所以所以-s+t(t2-k)=0，即，即s=t3-kt. 所以所以s=f(t)=t3-kt(t0，k0，且，且k为常数为常数). (2)若若f(t)在区间在区间1，+)上是增函数，则当上是增函数，则当t1时，时，f (t)=3t2-k0恒成立，即恒成立，即k3t2恒成立恒成立. 因为因为3t23，所以，所以k3. 若若f(t)在区间在区间1，+)上是减函数上是减函数. 则当则当t

14、1时，时， f (t)=3t2-k0恒成立恒成立. 即即k3t2恒成立，这不可能恒成立，这不可能. 又又k0，所以，所以k的取值范围是的取值范围是(0，3.1. 建立平面向量的坐标，基础是平面向建立平面向量的坐标，基础是平面向量基本定理量基本定理.因此，对所给向量应会根据条件因此，对所给向量应会根据条件在在x轴和轴和y轴进行分解，求出其坐标轴进行分解，求出其坐标. 2. 向量的坐标表示，实际是向量的代数向量的坐标表示，实际是向量的代数表示表示.在引入向量的坐标表示后，即可使向量在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起运算完全代数化，将数与形紧密地结合了起来来.这样，很多几何问题就转化为我们熟知的这样，很多几何问题就