流体力学第4章流体动力学基础

1、v 对运动流体的应力状态作进一步分析，定义应力张对运动流体的应力状态作进一步分析，定义应力张量，并给出应力张量和变形率张量之间的联系。建立量，并给出应力张量和变形率张量之间的联系。建立不可压缩流体运动微分方程不可压缩流体运动微分方程 N-S 方程。方程。v 对理想流体运动微分方程对理想流体运动微分方程 欧拉方程在恒定条欧拉方程在恒定条件下沿流线积分得到恒定元流的能量方程件下沿流线积分得到恒定元流的能量方程 伯努利伯努利方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。方程，进而推广到总流，得到恒定总流的能量方程。v 将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流的动量将动量守恒定律用于恒定总流得到恒定总流

2、的动量方程。方程。三大守恒定律三大守恒定律质量守恒动量守恒能量守恒连续方程能量方程动量方程恒定总流三大方程恒定总流三大方程水力学课程重点水力学课程重点41 运动流体的应力状态42 流体运动微分方程43 恒定总流的能量方程44 恒定总流的动量方程45 求解恒定总流问题的几点说明41 运动流体的应力状态 静止流体（不论静止流体（不论理想或实际流体）理想或实际流体） 运动理想流体运动理想流体pP= - pnpP= - pnp ：动压强动压强 p ：静压强静压强 0dddd),cos(ddVtuVYApApynnyyyndxdydzpypnnyzxoM0d),cos(ddVYApApnnyyyn静止流

3、体静止流体运动理想流体运动理想流体 静止流体和运动理想静止流体和运动理想流体中的四面体微元运流体中的四面体微元运动方程中质量力（含惯动方程中质量力（含惯性力）比起表面力是高性力）比起表面力是高阶无穷小，当四面体微阶无穷小，当四面体微元趋于一点，即可得证元趋于一点，即可得证ynpp Pnn 运动实际流体运动实际流体应力四要素：点、应力四要素：点、面、侧、分量方向。面、侧、分量方向。一点处的应力一点处的应力 pn 取决于取决于作用面法向，所以脚标作用面法向，所以脚标中须加上中须加上 nxxp的含义：的含义：xyp的含义：的含义：pn分量形式分量形式),(nznynxppp脚标含义：前一个表脚标含义

4、：前一个表示作用面方向；后一示作用面方向；后一个表示应力分量之投个表示应力分量之投影方向。影方向。 法向为法向为 x 轴正方向的作用面上的轴正方向的作用面上的应力在应力在 y 方向的分量。方向的分量。（切应力）（切应力） 法向为法向为 x 轴正方向的作用面上的轴正方向的作用面上的应力在应力在 x 方向的分量。方向的分量。（法应力）（法应力） 应力分量应力分量主对角线上的三个元主对角线上的三个元素是法应力分量，其素是法应力分量，其它是切应力分量。它是切应力分量。应力张量应力张量九个量组九个量组成的二阶成的二阶张量张量可以证明这个张量是对可以证明这个张量是对称的，只有六个独立的称的，只有六个独立的

5、分量。分量。 zzzyzxyzyyyxxzxyxxpppppppppP 应力张量应力张量法应力为正法应力为正表示受拉表示受拉有了应力张量有了应力张量 P ，任意方位作用面上的应力都可知道，为：，任意方位作用面上的应力都可知道，为： 例如法向为例如法向为 n 的作用面的作用面上应力的上应力的 y 方向的分量方向的分量运动流体的应力状态可由应力张量来描述。运动流体的应力状态可由应力张量来描述。 任意方位作用面上的应力任意方位作用面上的应力 应力张量主对角线上应力张量主对角线上三个元素之和是坐标变三个元素之和是坐标变换中的不变量，即其值换中的不变量，即其值不随坐标轴的转动而改不随坐标轴的转动而改变，

6、任意三个相互垂直变，任意三个相互垂直的作用面上的法应力之的作用面上的法应力之和都是相同的。和都是相同的。)(31zzyyxxpppp 流体的动压强流体的动压强 流体的动压强由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所流体的动压强由场点唯一对应，而与作用面的方位无关。所以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意以运动流体中存在一动压强场，它是数量场。要注意 p 并非任并非任意方位作用面上真正的压应力意方位作用面上真正的压应力nnp定义流体的动压强流体的动压强 广义牛顿内摩擦定律广义牛顿内摩擦定律 2Pp牛顿内摩擦定律牛顿内摩擦定律yudd推广 各向同性的不可压缩牛各向同性的不可压缩牛顿流体的应力

7、和变形速顿流体的应力和变形速率之间存在线性关系率之间存在线性关系广广义义牛牛顿顿内内摩摩擦擦定定律律42 流体运动微分方程 理论基础是动量守理论基础是动量守 恒定律，讨论在欧恒定律，讨论在欧 拉观点下进行。拉观点下进行。按照欧拉观点表述动量守恒定律按照欧拉观点表述动量守恒定律：单位时单位时间控制体内动量的增加必等于单位时间净流入控间控制体内动量的增加必等于单位时间净流入控制体的动量加上控制体内流体所受合力。制体的动量加上控制体内流体所受合力。 一一. . 以应力表示的流体运动微分方程以应力表示的流体运动微分方程xyzodxdydzuxabcdabcd 单位时间单位时间 里，从里，从 abcd

8、面流入面流入微元体的流体质量为微元体的流体质量为zyuxdd流入微元体的流入微元体的 x 方向的动量为方向的动量为zyxxuuuuxxxxddd)(zyuuxxdd从从 abcd面流出的面流出的 x 方向的动方向的动量为量为净流入前后这一对表面的净流入前后这一对表面的 x 方向的动量为方向的动量为zyxxuuxxddd)(同理可知，在单位时间里，同理可知，在单位时间里，沿着沿着 y 方向和方向和 z 方向净流入左方向净流入左右和上下两对表面的右和上下两对表面的 x 方向方向的动量分别为的动量分别为 zyxyuuxyddd)(zyxzuuxzddd)(和和dxabcdabdydzcduzuyxy

9、zo 作用于六面体表面沿作用于六面体表面沿 x 方向方向的表面力有：的表面力有：前后一对面元法向力前后一对面元法向力 左右一对面元切向力左右一对面元切向力-pzxxyzozyxxppzypxxxxxxdd)d(ddzxyyppzxpyxyxyxdd)d(ddyxzzppyxpzxzxzxdd)d(dd上下一对面元切向力上下一对面元切向力 相加得沿 x 方向的总表面力dxdzdy-pyx-pxx 作用于六面体作用于六面体微元沿微元沿 x 方向的方向的质量力为质量力为 zyxXddd 单位时间微元内单位时间微元内 x 方向动量的增加为方向动量的增加为 zyxtuxddd)(zyxzuuyuuxuu

10、zyxtuxzxyxxxddd)()()(ddd)(zyxzpypxpzyxXzxyxxxddd)(ddd 根据动量根据动量守恒原理守恒原理 动量增加动量增加流入动量流入动量质量力质量力表面力表面力zuuyuuxuutuxzxyxxx)()()(zuyuxutuzyxxtuxdd)(1ddzpypxpXtuzxyxxxx0由连续由连续方程知方程知左边左边等于等于整理得整理得方程组不封闭)(1ddzpypxpYtuzyyyxyy)(1ddzpypxpZtuzzyzxzz)(1ddzpypxpXtuzxyxxxx 以应力表示的流以应力表示的流 体运动微分方程体运动微分方程 2Pp将广义牛顿内摩擦定

11、律将广义牛顿内摩擦定律代入得代入得)()()(1ddxuzuzyuxuyxpxuxuxXtuzxxyxxx)()(1222222zuyuxuxzuyuxuxpXzyxxxx二二. . 不可压缩粘性流体的不可压缩粘性流体的运动微分方程运动微分方程N-SN-S方程方程2222222zyxxu2)()(1dd222222zuyuxuxzuyuxuxpXtuzyxxxxx0不不可可压压xxzxyxxxxuxpXzuuyuuxuututu21dd拉普拉斯算子拉普拉斯算子对跟随其后的量求调和量ufuuuu21)(ddptt矢量形式zzzzyzxzzuzpZzuuyuuxuututu21ddyyzyyyxy

12、yuypYzuuyuuxuututu21ddxxzxyxxxxuxpXzuuyuuxuututu21dd时变时变惯性力惯性力位变位变惯性力惯性力质量力质量力压差力压差力粘性力粘性力方程组封闭ypYzuuyuuxuututuyzyyyxyy1ddzpZzuuyuuxuututuzzzyzxzz1ddxpXzuuyuuxuututuxzxyxxxx1ddptt1)(ddfuuuu时变时变惯性力惯性力位变位变惯性力惯性力质量力质量力压差力压差力三三. .理想流体的运动微分方程理想流体的运动微分方程欧拉欧拉方程方程矢量形式 流体静止时，只受质量力、压差力的流体静止时，只受质量力、压差力的作用，运动方程

13、退化为欧拉平衡方程作用，运动方程退化为欧拉平衡方程 四四. . 流体动力学定解问题和解法概述流体动力学定解问题和解法概述 微分形式流体运动方程连同连续方程，形成对流体运动的微分形式流体运动方程连同连续方程，形成对流体运动的基本控制方程组，是求解流速场和压力场的理论基础。四个基本控制方程组，是求解流速场和压力场的理论基础。四个方程可求四个未知量：方程可求四个未知量：p 和和 u ，方程组是封闭的。但由于运，方程组是封闭的。但由于运动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流动方程是二阶偏微分方程，其中的位变惯性力（常称为对流项）是非线性的，解析求解非常困难。项）是非线性的，解析求解非常困

14、难。 基本微分方程组 忽略粘性，作理想流体假设，忽略粘性，作理想流体假设，从流动的维数上作简化，都是从流动的维数上作简化，都是常见的手段。如果流动是有势常见的手段。如果流动是有势流动，解析处理就有更多的便流动，解析处理就有更多的便利条件。后面我们就将分门别利条件。后面我们就将分门别类地对各种流动进行求解方法类地对各种流动进行求解方法的讨论。的讨论。解法概述 只有在极少数简单只有在极少数简单流动的情况下，流动的情况下，N-S 方程才有解析解。方程才有解析解。而绝大部分流动都而绝大部分流动都不能直接对不能直接对 N-S 方方程解析求解，我们程解析求解，我们只能抓住问题的主只能抓住问题的主要方面，作

15、相应的要方面，作相应的简化，才能进行进简化，才能进行进一步的解析处理。一步的解析处理。 各种简化都是在基本方程的基础各种简化都是在基本方程的基础上进行的，所以深入理解方程中各上进行的，所以深入理解方程中各项的物理意义是非常重要的。项的物理意义是非常重要的。 边界条件是指运动方程的解在流场边界条件是指运动方程的解在流场的边界上必须满足的运动学和动力学的边界上必须满足的运动学和动力学条件。常见的边界条件有：固壁条件条件。常见的边界条件有：固壁条件和液体的自由表面条件。和液体的自由表面条件。初始条件和边界条件流体动力学流体动力学 定解问题定解问题流体运动流体运动基本方程基本方程初始条件初始条件边界条

16、件边界条件流动共性流动共性体现个性体现个性初始条件是初始条件是对非恒定流动对非恒定流动指定初始时刻指定初始时刻流场的速度和流场的速度和压强分布。压强分布。 理想流体的固壁条件称理想流体的固壁条件称为可滑移条件，即流体为可滑移条件，即流体不能穿越固壁，但可有不能穿越固壁，但可有切向相对运动，所以切向相对运动，所以 液体的自由表面动力学液体的自由表面动力学条件为自由表面上压强为条件为自由表面上压强为常数（大气压）。常数（大气压）。 nnUu 实际（粘性）流体的固壁条实际（粘性）流体的固壁条件称为不可滑移条件，即附着件称为不可滑移条件，即附着在固壁上的流体质点与固壁不在固壁上的流体质点与固壁不能有相

17、对运动，所以能有相对运动，所以 注注：以上：以上 u 和和 U 分别分别表示附着在固壁上的表示附着在固壁上的流体质点与固壁上相流体质点与固壁上相应点的速度。应点的速度。u=U五五. . 理想流体的运动微分方程的积分理想流体的运动微分方程的积分xpXtux1ddypYtuy1ddzpZtuz1dd 运用上面得到的运动微分方程求解各种流动问题时，需要对运用上面得到的运动微分方程求解各种流动问题时，需要对运动方程进行积分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般运动方程进行积分，但由于数学上的困难，目前还无法在一般情况下进行。下面先讨论在恒定条件下理想流体运动方程沿流情况下进行。下面先讨论在恒定条件下理

18、想流体运动方程沿流线的积分。线的积分。理想流体恒定流动ztuzdd ytuydd xtuxdd + （dx,dy,dz) 是流线上沿流动方向一段弧长，与迹线重合。是流线上沿流动方向一段弧长，与迹线重合。2d2d2ddddddddddddd222zyxzzyyxxzzyyxxuuuuuuuuututututututu上式左边可改写为：上式左边可改写为：质量力有势，势函数，势函数 W ，即，即zzpyypxxpzZyYxXtutututututuzzyyxxddd1dddddddddddd2d2d2222uuuuzyx右边后三项为右边后三项为不可压缩流体，密度为常数，密度为常数最终原等式可写成最终

19、原等式可写成则右边前三项是力势函数则右边前三项是力势函数 W 的全微分的全微分02d2upW或或 在理想流体的恒定流动中，同一流线上各点的在理想流体的恒定流动中，同一流线上各点的值是一个常数。其中值是一个常数。其中 W 是力势函数，是力势函数， 是不可压是不可压缩流体的密度。从推导过程看，积分是在流线上缩流体的密度。从推导过程看，积分是在流线上进行的，所以不同的流线可以有各自的积分常进行的，所以不同的流线可以有各自的积分常数，将它记作数，将它记作 Cl ，称为流线常数。，称为流线常数。上式的积分为上式的积分为伯伯努努利利积积分分lCupW2222upW结论结论这是水力学中普遍使用的方程。这是水

20、力学中普遍使用的方程。gzWlCupgz22lCgupz22gupzgupz2222222111重力场中的伯努利积分重力场中的伯努利积分伯努利积分可写为伯努利积分可写为或或对同一流线上任意两点对同一流线上任意两点 1 和和 2 利用利用伯努利积分，即有伯努利积分，即有12zuo伯努利方程伯努利方程o流线流线 以上讨论了伯努利积分以上讨论了伯努利积分, 其成立的条件是：理想，恒定，不可其成立的条件是：理想，恒定，不可压，质量力有势。现在再加无旋（有势）条件，导出理想流体压，质量力有势。现在再加无旋（有势）条件，导出理想流体运动方程的欧拉积分。运动方程的欧拉积分。理想理想恒定恒定无旋无旋+ 1dx

21、 2dy 3dz+任意方向的任意方向的弧长弧长欧拉积分欧拉积分CupW22或或不可压不可压积分积分质量力有势质量力有势Cgupz22 在理想流体的恒定有势流动中，流场中各点的在理想流体的恒定有势流动中，流场中各点的值是一个常数。其中值是一个常数。其中 W 是力势函数，是力势函数， 是不可是不可压缩流体的密度。压缩流体的密度。结论结论22upW重力场中的欧拉积分重力场中的欧拉积分 表面上看，伯努利积分和表面上看，伯努利积分和欧拉积分很相似，但两者的欧拉积分很相似，但两者的适用条件和使用范围是截然适用条件和使用范围是截然不同的。不同的。C：通用常通用常数数43 恒定总流的能量方程 一一. . 恒定

22、元流的能量方程恒定元流的能量方程伯努利积分伯努利积分lCgupz22 欧拉方程各项的量纲是单欧拉方程各项的量纲是单位质量流体受力，伯努利积位质量流体受力，伯努利积分是欧拉方程的各项取了势分是欧拉方程的各项取了势函数而得来的，即力对位移函数而得来的，即力对位移作积分，力势函数是能量量作积分，力势函数是能量量纲，所以伯努利方程表示能纲，所以伯努利方程表示能量的平衡关系。量的平衡关系。 伯努利方程伯努利方程的物理意义的物理意义*单位重量流体所具有的单位重量流体所具有的位置位置势能势能（简称单位位置势能）（简称单位位置势能）单位重量流体所具有的单位重量流体所具有的压强压强势能势能（简称单位压强势能）（

23、简称单位压强势能）单位重量流体所具单位重量流体所具有的有的总势能总势能（简称（简称单位总势能）单位总势能）zppz *伯努利积分伯努利积分lCgupz22gu22单位重量流体所具有的单位重量流体所具有的动能动能（简称单位动能）（简称单位动能）单位重量流体所具单位重量流体所具有的有的总机械能总机械能（简（简称单位总机械能）称单位总机械能）*gupz22 在理想流体的恒定流在理想流体的恒定流动中，同一流体质点的动中，同一流体质点的单位总机械能保持不变。单位总机械能保持不变。 在理想流体的在理想流体的恒定流动中，位恒定流动中，位于同一条流线上于同一条流线上任意两个流体质任意两个流体质点的单位总机械点

24、的单位总机械能相等。能相等。拉格朗日观点拉格朗日观点欧欧拉拉观观点点位置水头位置水头z压强水头压强水头p测压管水头测压管水头pz gu22速度水头速度水头总水头总水头gupzH22lCgupz22 伯努利方程的几何意义伯努利方程的几何意义 伯努利积分伯努利积分各项都具有长各项都具有长度量纲，几何度量纲，几何上可用某个高上可用某个高度来表示，常度来表示，常称作称作水头水头。*伯伯努努利利积积分分 伯努利方程在流线上成立，也可认为伯努利方程在流线上成立，也可认为在元流上成立，所以伯努利方程也就是在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流体恒定元流的能量方程。理想流体恒定元流的能量方程。 伯努利方程是

25、能量守恒原理在流体力伯努利方程是能量守恒原理在流体力学中的具体体现，故被称之为能量方程。学中的具体体现，故被称之为能量方程。 总机械能不变，并总机械能不变，并不是各部分能量都保不是各部分能量都保持不变。三种形式的持不变。三种形式的能量可以各有消长，能量可以各有消长，相互转换，但总量不相互转换，但总量不会增减。会增减。 伯努利方程可理解为：元流的任意两个过水断面的单位总伯努利方程可理解为：元流的任意两个过水断面的单位总机械能相等。由于是恒定流，通过元流各过水断面的质量流机械能相等。由于是恒定流，通过元流各过水断面的质量流量相同，所以在单位时间里通过各过水断面的总机械能（即量相同，所以在单位时间里

26、通过各过水断面的总机械能（即能量流量）也相等。能量流量）也相等。* 将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。水头线水头线测压管水头线测压管水头线总水头线总水头线位置水头线位置水头线zpgu22oo水平基准线水平基准线H理想流理想流体恒定体恒定元流的元流的总水头总水头线是水线是水平的。平的。毕毕托托管管测测速速 元流能量方程的应用举例元流能量方程的应用举例Ah管管B管管uApBp0BAuuu022BApgupghppguAB2)(2BAzz 代代 入入伯努利方程伯努利方程 假假 设设、管的存管的存在不扰在不扰动原流动原流场。场。 毕托管利用两管测得总水头和毕托

27、管利用两管测得总水头和测压管水头之差测压管水头之差速度水头，速度水头，来测定流场中某来测定流场中某点流速点流速。ucgh2 实际使用中，在测得实际使用中，在测得 h，计算流速，计算流速 u 时，还时，还要加上毕托管修正系数要加上毕托管修正系数c，即，即 实用的毕托管常将测压实用的毕托管常将测压管和总压管结合在一起。管和总压管结合在一起。管管 测压管，开口方向与流速垂直。测压管，开口方向与流速垂直。管管 总压管，开口方向迎着流速。总压管，开口方向迎着流速。管管管管管测压孔管测压孔管测压孔管测压孔*思考为什么？思考为什么？动动能能势势能能 相互转换相互转换位置势能位置势能压强势能压强势能例子不胜枚

28、举例子不胜枚举 二二. . 恒定总流的能量方程恒定总流的能量方程() d() d() dzpugQzpQugQAAA2222 为把总流能量方程为把总流能量方程的表达的表达一维化一维化，将测，将测压管水头与流速水头压管水头与流速水头的积分分开考虑。的积分分开考虑。总流是无数总流是无数元流的累加元流的累加 理想流体恒定总理想流体恒定总流各过水断面上的流各过水断面上的能量流量能量流量相等相等() dzpugQA22const 理想流体恒定元理想流体恒定元流各过水断面上的流各过水断面上的能量流量相等能量流量相等constd)2(2Qgupz* 恒定均匀流运动方程中只有重力、压差力和粘性力（因以后要将恒

29、定均匀流运动方程中只有重力、压差力和粘性力（因以后要将能量方程扩展到实际流体，故在此不作理想流体假设），为能量方程扩展到实际流体，故在此不作理想流体假设），为解决测压管解决测压管水头的积分水头的积分寻求平均寻求平均测压管水头测压管水头考察均匀流的过水断面上考察均匀流的过水断面上测压管水头的分布情况测压管水头的分布情况 gpku102 ()gzp20u或或 z 轴为铅垂轴为铅垂向上的坐标向上的坐标轴，不能移轴，不能移作别用。作别用。 均匀流的流线是平行直线，流速都沿着同一均匀流的流线是平行直线，流速都沿着同一方向，其过水断面是平面，取直角坐标系：方向，其过水断面是平面，取直角坐标系：x 轴为流速

30、方向，轴为流速方向， y 轴和轴和 z1 轴在过水断面所在平轴在过水断面所在平面上，其中面上，其中 y 轴水平。轴水平。 *xozz1运动方程的分量式运动方程的分量式 xgzpux()2001ypygzp() 001cos1zpgzgzp10()gzpconstzpconst或或或或或或 从上面的后两式可以看出，从上面的后两式可以看出，在过水断面（在过水断面（oyz1平面平面)上上 均匀流的过水断面上粘性力的分量为零，只有压差力与均匀流的过水断面上粘性力的分量为零，只有压差力与重力之间的平衡，所以动水压强按静水压强的规律分布。重力之间的平衡，所以动水压强按静水压强的规律分布。均匀流的过水断面上

31、测压管水头是常数均匀流的过水断面上测压管水头是常数 只能在同一过水断面上应用上只能在同一过水断面上应用上述结论，因为述结论，因为 x 方向的运动方程方向的运动方程里有粘性力项，所以沿着流动方里有粘性力项，所以沿着流动方向动水压强分布不同于静水压强，向动水压强分布不同于静水压强，导致不同过水断面上测压管水头导致不同过水断面上测压管水头可能是不同的常数。可能是不同的常数。 渐变流近似于均匀流，渐变流近似于均匀流，所以渐变流过水断面上所以渐变流过水断面上的测压管水头可视为常的测压管水头可视为常数，任何一点的测压管数，任何一点的测压管水头都可以当作过水断水头都可以当作过水断面的平均测压管水头。面的平均

32、测压管水头。渐变流过水断面上渐变流过水断面上测压管水头的积分测压管水头的积分() d()zpQzpQA 急变流中同一过水断面上的测压管水头不是常数，因为急变急变流中同一过水断面上的测压管水头不是常数，因为急变流中，位变加速度不等于零，过水断面上有压差力、重力和惯流中，位变加速度不等于零，过水断面上有压差力、重力和惯性力的分量，不再是仅有压差力和重力相平衡的情况，惯性力性力的分量，不再是仅有压差力和重力相平衡的情况，惯性力也参与进来了，造成断面测压管水头不等于常数。也参与进来了，造成断面测压管水头不等于常数。渐变流过流断面上测压管水头是常数渐变流过流断面上测压管水头是常数31OO1232pz 2

33、3z11pz33p2pz2OO1急变流过流断面上测压管水头不是常数急变流过流断面上测压管水头不是常数离心力方向离心力方向静水压强分布静水压强分布动水压强分布动水压强分布静水压强分布静水压强分布动水压强分布动水压强分布动压和静压的差提供向心力动压和静压的差提供向心力 称为动能修正系数。它是一个称为动能修正系数。它是一个大于大于 1.0 的数，其大小取决于断面的数，其大小取决于断面上的流速分布。流速分布越均匀，上的流速分布。流速分布越均匀，越接近于越接近于 1.0；流速分布越不均匀，；流速分布越不均匀， 的数值越大。在一般的渐变流中的数值越大。在一般的渐变流中的的 值为值为 1.05-1.10 .

34、 为简单起见，为简单起见，也常近似地取也常近似地取 =1.0 . QgvQguA2d2222233guAgv AAduAv AA33d用断面平均流速用断面平均流速 v 代代替替 u， 并不能作为并不能作为 的的 平均值平均值 设设 为速为速度水头度水头的平均值的平均值ug22gv22解决速度解决速度水头的积分水头的积分gv22gu22* 理想不可压流体恒定总流，流动理想不可压流体恒定总流，流动中无机械能损耗，通过各过水断面中无机械能损耗，通过各过水断面的能量流量相同，而由连续方程决的能量流量相同，而由连续方程决定了重量流量定了重量流量 沿程不变，所以在沿程不变，所以在任意两个分别位于总流的渐变

35、流段任意两个分别位于总流的渐变流段中的过水断面中的过水断面 A1 和和 A2 有有 Q zpvg()22gvpzH22QHH12gvpzgvpz222222221111总流通过渐变流段中过总流通过渐变流段中过水断面的能量通量为水断面的能量通量为断面单位重量流体的总断面单位重量流体的总机械能（即总水头）为机械能（即总水头）为理想不可压缩理想不可压缩流体恒定总流流体恒定总流的能量方程的能量方程 即即A1A2QQgvpzgvpz222222221111 在总流能量方程的上述表达式中在总流能量方程的上述表达式中断面平均流速断面平均流速 v 、动能修正系数、动能修正系数 和测压管水头和测压管水头 的取值

36、都是由的取值都是由断面唯一确定的，条件是过水断面断面唯一确定的，条件是过水断面应处于渐变流段中。应处于渐变流段中。 pz 断面断面 A1 是上游断面，断面是上游断面，断面 A2 是是下游断面，下游断面，hw1-2 为总流在断面为总流在断面 A1 和和 A2 之间平均每单位重量流体所损耗之间平均每单位重量流体所损耗的机械能，称为水头损失。水头损的机械能，称为水头损失。水头损失如何确定，将在后面叙述。失如何确定，将在后面叙述。 21222222111122whgvpzgvpz 采取补上流体在流采取补上流体在流动过程中机械能损耗动过程中机械能损耗的方法，将理想流体的方法，将理想流体的能量方程推广到实

37、的能量方程推广到实际流体。际流体。实际流体恒定总流实际流体恒定总流的能量方程的能量方程分析水力学问题最常用也是最重要的方程式 总流水头线总流水头线的画法和元流的画法和元流水头线是相仿水头线是相仿的，其中位置的，其中位置水头线一般为水头线一般为总流断面中心总流断面中心线。线。恒定总流能量方程的几何表示恒定总流能量方程的几何表示水头线水头线 与元流一样，恒定总流能量方程的各项也都是长度量纲，所与元流一样，恒定总流能量方程的各项也都是长度量纲，所以可将它们几何表示出来，画成水头线，使沿流能量的转换和以可将它们几何表示出来，画成水头线，使沿流能量的转换和变化情况更直观、更形象。变化情况更直观、更形象。

38、水平基准线水平基准线位置水头线位置水头线测压管水头线测压管水头线总水头线总水头线oozpgu22wh*水力坡度水力坡度shsHJwdddd称为水力坡度。其中称为水力坡度。其中 s 是流程长度，是流程长度，hw 为为相应的水头损失。水力坡度表示单位重量相应的水头损失。水力坡度表示单位重量流体在单位长度流程上损失的平均水头。流体在单位长度流程上损失的平均水头。 实际流体的流动总是有水头损失的，所实际流体的流动总是有水头损失的，所以总水头线肯定会沿程下降，将水头线的以总水头线肯定会沿程下降，将水头线的斜率冠以负号斜率冠以负号 测压管水头测压管水头线可能在位置线可能在位置水头线以下，水头线以下，表示当

39、地压强表示当地压强是负值。是负值。恒定总流能量方程的应用条件恒定总流能量方程的应用条件（1）流动必须是恒定流，并且流体是不可压缩的。流动必须是恒定流，并且流体是不可压缩的。（2）作用于流体上的质量力只有重力。作用于流体上的质量力只有重力。（3）所取的上下游两个断面应在渐变流段中，以符合断面上测所取的上下游两个断面应在渐变流段中，以符合断面上测压管水头等于常数这一条件。但在两个断面之间流动可以不是压管水头等于常数这一条件。但在两个断面之间流动可以不是渐变流。断面应选在已知条件较多的位置。在渐变流断面上取渐变流。断面应选在已知条件较多的位置。在渐变流断面上取任何一点的测压管水头值都可作为整个断面的

40、平均值，为简便任何一点的测压管水头值都可作为整个断面的平均值，为简便通常取管道中心点或渠道水面点。通常取管道中心点或渠道水面点。先看一个跌水的例子。取先看一个跌水的例子。取顶上水深处为顶上水深处为 1-1 断面，平断面，平均流速为均流速为 v1，取水流跌落高，取水流跌落高度处为断面度处为断面 2-2 ，平均流速，平均流速为为 v2，认为该两断面均取在，认为该两断面均取在渐变流段中。基准面通过断渐变流段中。基准面通过断面面 2-2 的中心点。的中心点。 三三. . 能量方程能量方程 的应用举例的应用举例恒定总流能量方程表明三种机械能相互恒定总流能量方程表明三种机械能相互转化和总机械能守恒的规律，

41、由此可根据转化和总机械能守恒的规律，由此可根据具体流动的边界条件求解实际总流问题。具体流动的边界条件求解实际总流问题。1122oahv1v2o%11pz =a + h=022pz =0 21whgv2222gv2211在水面在水面点取值点取值四周通大气，四周通大气，取断面形心处取断面形心处的位置水头的位置水头忽略忽略空气空气阻力阻力写出总流能量方程写出总流能量方程如已知如已知 a，h，v1，即可求出，即可求出 v2gvgvha2222210 . 121近似地取近似地取 整股水流的水面都与大气整股水流的水面都与大气相通，属于无压流动，因此相通，属于无压流动，因此在流动过程中我们仅看到位在流动过程

42、中我们仅看到位置势能和动能之间的转换。置势能和动能之间的转换。 % 另一个例子是文透里管中的流动。文透里管是一种常用的量测另一个例子是文透里管中的流动。文透里管是一种常用的量测管道流量的装置，它包括管道流量的装置，它包括“收缩段收缩段”、“喉道喉道”和和“扩散段扩散段”三三部分，安装在需要测定流量的管道上。在收缩段进口断面部分，安装在需要测定流量的管道上。在收缩段进口断面 1-1 和和喉道断面喉道断面 2-2 上接测压管，通过量测两个断面的测压管水头差，上接测压管，通过量测两个断面的测压管水头差，就可计算管道的理论流量就可计算管道的理论流量 Q ，再经修正得到实际流量。，再经修正得到实际流量。

43、 d11d222h1Qh1 h2 d11d222h1Qh1h2 水流从水流从 1-1 断面到断面到达达 2-2 断面，由于过断面，由于过水断面的收缩，流速水断面的收缩，流速增大，根据恒定总流增大，根据恒定总流能量方程，若不考虑能量方程，若不考虑水头损失，速度水头水头损失，速度水头的增加等于测压管水的增加等于测压管水头的减小，所以头的减小，所以gvgvgvgvpzpzhhh2222)()(2122211222221121A vA v1 122212221ddvv根据恒定总流连续方程又有根据恒定总流连续方程又有即即 当管中流过实际液体当管中流过实际液体时，由于两断面测管水头时，由于两断面测管水头差

44、中还包括了因粘性造成差中还包括了因粘性造成的水头损失，流量应修正的水头损失，流量应修正为：为：其中，其中， 称为文透里管称为文透里管的流量系数。的流量系数。hgddv2114122Qv Ad dddg hKh理221222142442Kd dddg4212221424QKh实10 . 以上，由能量方程和连续方程以上，由能量方程和连续方程得到了得到了 v1 和和 v2 间的两个关系式，间的两个关系式，联立求解，得联立求解，得 理论流量为：理论流量为：式中式中d11d222h1Qh2d22Qd111斜置上下游倒置思考 文透里管可否文透里管可否斜置斜置?可否上下可否上下游倒置游倒置? 四四. . 有

45、能量输入或输出的能量方程有能量输入或输出的能量方程21222222111122wmhgvpzHgvpz 1、2 断面之间单位重量流体从水断面之间单位重量流体从水力机械获得（取力机械获得（取+号，如水泵）或号，如水泵）或给出（取给出（取-号，如水轮机）的能量号，如水轮机）的能量1122ooz水泵管路系统水泵管路系统21222222111122wmhgvpzHgvpz= 000z21wmhzH水泵水泵21wmhzHpmpQHN水泵轴功率水泵轴功率单位时间单位时间水流获得水流获得总能量总能量分子分子水泵效率水泵效率分母分母扬扬程程扬扬程程提水提水高度高度引水渠引水渠压力钢管压力钢管水轮机水轮机122

46、ooz1水轮机管路系统水轮机管路系统 =z21222222111122wmhgvpzHgvpz 0=0021wmhzH21wmhzHmttQHN水轮机功率水轮机功率单位时间单位时间水流输出水流输出总能量总能量水轮机水轮机效率效率扬扬程程水轮机作水轮机作用水头用水头不包括水不包括水轮机系统轮机系统内的损失内的损失mQHt单位时间里通过总流过水断面的动量单位时间里通过总流过水断面的动量动量通量动量通量 44 恒定总流的动量方程 控制体：上游过水断控制体：上游过水断面面 A1 和下游过水断面和下游过水断面 A2 之间的总流管之间的总流管A1A2 一一. . 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程AAu

47、 duu1u2单位时间一段单位时间一段总流管内流体总流管内流体动量的增加动量的增加单位时间净单位时间净流入这段总流入这段总流管的动量流管的动量这段总流这段总流管内流体管内流体所受合力所受合力=012ddAAAuAuuuF=按照欧拉观点表述动量守恒定律按照欧拉观点表述动量守恒定律Fuu12ddAAAuAu 把渐变流过水把渐变流过水断面上动量通量断面上动量通量的表达的表达一维化一维化。断面上各点断面上各点 u 的的方向一致。方向一致。 用断面平均流速用断面平均流速 v 代替代替 u，定义定义 v 的大小为的大小为 v，方向为，方向为 u 的方向，用的方向，用 v 代替代替 u，设，设AAAvAud

48、d0vuAvAuA202d大于大于 1.0 的数，其大小取决于断的数，其大小取决于断面上的流速分布。在一般的渐变面上的流速分布。在一般的渐变流中的值为流中的值为 1.02-1.05 . 为简单起为简单起见，也常采用见，也常采用 = 1.0 AvAuA220d0动量修正系数动量修正系数* 上游水流作用于断上游水流作用于断面面A1上的动水压力上的动水压力P1，下，下游水流作用于断面游水流作用于断面A2上的上的动水压力动水压力P2，重力，重力G和总和总流侧壁边界对这段水流的流侧壁边界对这段水流的总作用力总作用力R。其中只有重。其中只有重力是质量力，其它都是表力是质量力，其它都是表面力。面力。Fvv)

49、(101202QFFvv)(1110122202AvAv一维化的恒定总流动量方程一维化的恒定总流动量方程或或GA1A2P1P2Ru1u2 水流对侧水流对侧壁的作用力壁的作用力 R 是是 R 的的反作用力反作用力恒定总流动量方程建恒定总流动量方程建立了流出与流进控制体立了流出与流进控制体的动量流量之差与控制的动量流量之差与控制体内流体所受外力之间体内流体所受外力之间的关系，避开了这段流的关系，避开了这段流动内部的细节。对于有动内部的细节。对于有些水力学问题，能量损些水力学问题，能量损失事先难以确定，用动失事先难以确定，用动量方程来进行分析常常量方程来进行分析常常是方便的。是方便的。xxxFvvQ)(101202yyyFvvQ)(101202zzzFvvQ)(101202恒定总流动量方程是矢恒定总流动量方程是矢量方程，实际使用时一般量方程，实际使用时一般都要写成分量形式都要写成分量形式)OHm(1821p)OHm(7 .1722p弯管水平转过弯管水平转过60度度d = 500mmQ = 1m3/s已知已知v1RxP1P2Ry