导数中求参数的取值范围

1、导数中求参数的取值范围求参数取值范围的方法1 .分离参数，包成立转化为最值问题2 .分离参数，结合零点和单调性解不等式3 .将参数分成若干个区间讨论是否满足题意x1已知函数f（x）=e-ax（awR,e为自然对数的底数）.（I）讨论函数f（x）的单调性；lx2一（H）若a=1,函数g（x）=（x-m）f（x）-e+x+x在（2,上为增函数，求实数m的取值范围.x解：（I）函数f（x）的定义域为R,f（x）=e-a.当aw。时，f'（x）0,f（x）在R上为增函数；当a0时，由f（x）=。得x=|na,当xqF|na）时，f'（x户。，.函数f（x）在（Q，lna）上为减函数，当

2、x1|na，f时，f'（x）。，.函数f（x）在（lna*）上为增函数4分（n）当a=1时,g（x）=（xmXex-x）ex+x2+x,xx.g（x仄*）上为增函数；g（x）=xe-mem1-0在*）上恒成m工xex+1立，即mex-1在（2,皿）上恒成立,(x2xxxxxex1ex-1e-xe-2eee-x-2hX=x2=-x52,f则()(ex-D,令L(x)=ex-x-2,L'(x)=ex7>0在(2尸)上恒成立，x2即L(x)-e-x-2在(2,一)上为增函数，即L(x)>L-e-4>。,xex12e21口hx=2二必hxh2二，即e-1在"

3、,，上为增函数，.二e一1，2e21m-2,eT，所以实数m的取值范围是2e21cd,2e一112分2. (2016全国甲卷)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(2)若当xC(1,+8)时，f(x)>0,求a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0,+oo).当a=4时，f(x)=(x+1)lnx4(x1),f(1)=0,f(x)=lnx+1-3,f(1)=-2.故曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.a(x-1(2)当xC(1,+8)时f(x)>0等价于Inx、0.x十

4、1设g(x)=lnxax1x+1'212ax+2(1ax+1(x)=x-(xZTTx(x+1/，g(1)=0.当a<2,xC(1,+8)时，x2+2(1-a)x+1>x2-2x+1>0,故g(x)>0,g(x)在(1,+00)上单调递增，因此g(x)>0;当a>2时，令g'(x)=0得x1=a1，(a1)21,x2=a1+4(a1)21.由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当x(1,x2)时，g(x)<0,g(x)在(1,x2)上单调递减，因此g(x)<0.综上，a的取值范围是(8,2.3. (2016全国乙卷)已知

5、函数f(x)=(x2)ex+a(x1)2有两个零点.(1)求a的取值范围；(2)设x1,x2是f(x)的两个零点，证明：x1+x2<2.解：(1)f(x)=(x1)ex+2a(x1)=(x1)(ex+2a).设a=0,则f(x)=(x2)ex,f(x)只有一个零点.设a>0,则当xC(8,1)时，f(x)<0；当xC(1,+oo)时，f(x)>0,所以f(x)在(一oo,1)内单调递减，在(1,+OO)内单调递增.又f(1)=e,f(2)=a,取b满足b<0且b<ln则f(b)>2(b-2)+a(b1)2=a»22b>0,故f(x)存在

6、两个零点.设a<0,由f(x)=0得x=1或x=ln(2a).e-右a一,则ln(-2a)01,故当xC(1,+8)时，f(x)>0,因此f(x)在(1,+oo)内单调递增.又当x01时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.e-右a<2，则ln(-2a)>1,故当xC(1,ln(2a)时，f(x)<0;当xC(ln(-2a),+8)时,f(x)>0.因此f(x)在(1,ln(2a)内单调递减，在(ln(-2a),+oo)内单调递增.又当x01时，f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0,+°°)

7、.(2)证明：不妨设x1<x2,由(1)知，x1(-oo?1),x2e(1,+8),2-x2(00,1),又f(x)在(一8,1)内单调递减，所以x1+x2<2等价于f(x1)>f(2-x2),即f(2x2)<0.由于f(2x2)=x2e2x2+a(x21)2,2而f(x2)=(x22)ex2+a(x21)=0,所以f(2-x2)=x2e2x2-(x2-2)ex2.设g(x)=xe2x(x-2)ex,则g(x)=(x1)(e2xex).所以当x>1时，g(x)<0,而g(1)=0,故当x>1时，g(x)<0.从而g(x2)=f(2x2)<0

8、,故x1+x2<2.4,已知函数f(x)=ax1lnx(aCR).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x=1处取得极值，?x(0,+oo),f(x)>bx-2恒成立，求实数b的取值范围.解：(1)由已知得f(x)=a1=ax二1仪>0)xx当a00时，f'(x)&0在(0,+8)上恒成立，函数f(x)在(0,+8)上单调递减，f(x)在(0,+8)上没有极值点.31当a>0时，由f(x)<0,得0<x<-,a1由f(x)>0,得x>-,a；f(x)在a1单调递减，在q,+°

9、6;(单调递增，1.1.即£(乂)在乂=一处有极小值.a当a00时，f(x)在(0,+8)上没有极值点，当a>0时，f(x)在(0,+oo)上有一个极值点.(2) .函数f(x)在x=1处取得极值，f(1)=0,解得a=1,f(x)>bx-2?1+1-ln>b,xx人一，1Inx，一lnx-2令g(x)=1+x京，则g(x)=-x2,令g(x)=0,得x=e2.则g(x)在(0,e2)上单调递减，在(e2,+00)上单调递增，,2.11g(x)min=g(e)=19，即b<1故实数b的取值范围为1-AI5. (2015全国卷H)已知函数f(x)=lnx+a(1

10、-x).(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a2时，求a的取值范围.1解：(1)f(x)的定义域为(0,+8)f(x)=-a.x若a00,则f(x)>0,所以f(x)在(0,+oo)上单调递增.若a>0,则当x'0,1符，f(x)>0;a当xC2+00k,f(x)<0.a所以f(x)在(0,；卜单调递增，在+8口单调递减.(2)由(1)知，当a<0时，f(x)在(0,+8)上无最大值；1当a>0时，f(x)在x：1处取得最大值，最大值为afgglngi+a”J)=Ina+a-1.因止匕f0>2a2等价于Ina+a

11、1<0.a令g(a)=lna+a1,则g(a)在(0,+8)上单调递增，g(l)=0.于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1).6. (2016全国甲卷)已知函数f(x)=(x+1)lnx-a(x-1).(1)当a=4时，求曲线y=f(x)在(1,f(1)处的切线方程；(2)若当xC(1,+8)时，f(x)>0,求a的取值范围.解：(1)f(x)的定义域为(0,+oo).当a=4时，f(x)=(x+1)lnx4(x1),f(1)=0,f(x)=lnx+1-3,f(1)=-2.x故曲线y=f(x)在(1

12、,f(1)处的切线方程为2x+y-2=0.(2)当xC(1,+oo)时，f(x)>0等价于lnxax*)>0.、lax1设g(x)=lnx-,x+12,12ax+2(1ax+1则g(x)=,22,i<2,g(1)=0.¥-x(x+1)x(x+1)，5/当a<2,xC(1,+8)时,x2+2(1a)x+1>x22x+1>0,故g(x)>0,g(x)在(1,+00)上单调递增，因此g(x)>0；当a>2时，令g'(x)=0得x1=a1d(a1)21,x2=a1+(a1)21.由x2>1和x1x2=1得x1<1,故当

13、x(1,x2)时，g(x)<0,g(x)在(1,x2)上单调递减，因此g(x)<0.综上，a的取值范围是(8,2.7. (2016山东高考)设f(x)=xlnxax2+(2a1)x,aCR.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区问；(2)已知f(x)在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围.解：(1)由f(x)=lnx-2ax+2a,可得g(x)=lnx2ax+2a,xC(0,+°°).,11-2ax所以g(x)=;2a=一""一当a00,xC(0,+oo)时，c|(x)>0,函数g(x)单调递增；当a>0,x0

14、21aM，g(x)>0,函数g(x)单调递增，xCE，+00忖，g(x)<0,函数g(x)单调递减.2a所以当a00时，g(x)的单调增区间为(0,+oo);当a>0时，g(x)的单调增区间为,，21aj，单调减区间为昌，+8)(2)由(1)知，f(1)=0.当a00时，f'(x)单调递增，所以当xC(0,1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当xC(1,+oo)时，f(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.-1.1当0<a<时，石>1,22a由(1)知F(x)在'0,内单调递增，2a

15、可得当xC(0,1)时，f(x)<0,当xC11,1-i时，f(x)>0.2a所以f(x)在(0,1)内单调递减，在1,1-1内单调递增，2a所以f(x)在x=1处取得极小值，不合题意.1.1当a=5时，另=1,22af'(x)在(0,1)内单调递增，在(1,+8)内单调递减，所以当xC(0,+8)时，F(x)&0,f(x)单调递减，不合题意.-1-1当a>时，0<<1,22a当x1,1讨，f'(x)>0,f(x)单调递增，2a当xC(1,+oo)时，f(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)在x=1处取极大值，符合题意.综上

16、可知，实数a的取值范围为0,+8).8.(2016海口调研)已知函数f(x)=mx：,g(x)=3lnx.(1)当m=4时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；(2)若xC(1,五(e是自然对数的底数)时，不等式f(x)g(x)<3何成立，求实数m的取值范围.44解：(1)当m=4时，f(x)=4x，f(x)=4+-2,xxf(2)=5,又f(2)=6,所求切线方程为y6=5(x2),即y=5x4.由题意知，x(1,a时，mx73lnx<3恒成立，即m(x21)<3x+3xlnx恒成立,x(1,加,.x21>0,3x+3xlnxq、则m<x一恒成立.

17、人一、3x+3xlnx厂,令h(x)=71-,x(1,也,则m<h(x)min.22,3(x+1)lnx63fx+1)lnx+6h(x)=(x2-12=-(x2-1f，xC(1,恫，h(x)<0,即h(x)在(1,加上是减函数.当xC(1,洞时,一乂而;力粕)、12e1一一'9/e'：；m的取值氾围是10°,2eJ.9.(2017福建省质检)已知函数f(x)=axln(x+1),g(x)=ex-x-1.曲线y=f(x)与y=g(x)在原点处的切线相同.求f(x)的单调区间；若x0时，g(x)>kf(x),求k的取值范围.解：(1)因为f(x)=a(x

18、>1),g(x)=ex1,x十1依题意，f(0)=g(0),即a1=0,解得a=1,所以f'(x)=11x=x+1x+1当一1<x<0时，f(x)<0;当x>0时，f(x)>0.故f(x)的单调递减区间为(一1,0),单调递增区间为(0,+8).(2)由(1)知，当x=0时，f(x)取得最小值0,所以f(x)>0,即x>ln(x+1),从而ex>x+1.设F(x)=g(x)kf(x)=ex+kln(x+1)(k+1)x1,xkk则F(x)=e+K-(k+1)>x+1+-(k+1),一一1(i)当k=1时，因为x>0,所以F'(x)>x+1+工一2>0(当且仅当x=0x1时等号成立),此时F(x)在0,+8)上单调递增，从而F(x)>F(0)=0,即g(x)>kf(x).(ii)当k<1时，因为f(x)>0,所以f(x)>kf(x).由(i)知g(x)-f(x)>0,所以g(x)>f(x)>kf(x),故g(x)>