小学数学几何五大模型教师版

1、几何五大模型一、五大模型简介(1)等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图所示，Si：S2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图所示，Si：S2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图所示，SaaccfSabcd；反之，如果例、如图，三角形ABC的面积是24,DE、F分别是BGACAD的中点，求三D（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。如图下图三角形ABC,D>E分别是ARAC上或ARAC延长

2、线上的点则有：我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理!如图连接BE,根据等积变化模型知，SADE：Sabe=ADARSxABE：&cbe=AE:CEABE：SaABC=SaABE：:(Saabe+Sacbe)=AEAC因此Saade：SaabcF(Saade：Saabe)x(SAbABE：ABC；)=(ADA®X(AEAQ例、如图在AABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2,ADE的面积为12平方厘米，求ABC的面积。DC【详解】根据鸟头模型可知:3:5=（ABxAC）:C4Z>xAEy所以$3条去OWL（平方厘米人（3）蝴蝶

3、模型1、梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理”）义工演（因为5但二53瓦，所以心广'工以二$:M:犷§1:S/S：:$4=7,：口占:岫,梯形s的对应价数为g+b）例、如图，梯形ABCDAB与CD平行，对角线AGBD交于点O,已知AOBABOC的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD勺面积。【详解】由梯删胡蝶定遑的性质知，5:5=HJCZ）=25:35,1/物CD=5:7?所以5M阪5皿=T万：6工=5:73=25:49*即5"二49平方雇米.而5“二臬女二§5平方厘米，所以梯距AbCD的面积为i25+35*35+4关144（平方厘米底2、任意四边

4、形中的比例关系（“蝴蝶定理”）:5：§：=3T：I或者X.1二3；队S-©AO.OC三屿什邑）二鼻+与）例、如图，四边形ABCD勺对角线AGBD交于点Q如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3,且AO=2DO=3求CO的长度是DO6度的几倍。t详解】由任意四边形蝴蝶定理的性质知，=所以0C=WM|=3X2=6,所以OC：OD=6:3=2：lo蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径，通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。(4)相似模型1、相似三角形：形状相同，大小

5、不相等的两个三角形相似；2、寻找相似模型的大前提是平行线：平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似。3、相似三角形性质：相似三角形的一切对应线段(对应高、对应边)的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似模型大致分为金字塔模型、沙漏模型这两大类，注意这两大类中都含有BC平行DE这样的一对平行线！例、如图，已知在平行四边形ABC巾，AB=16AD=1QBE=4那么FC的长度是(5)燕尾模型由于阴影部分的形状像一只燕子的尾巴,所以在数学上把这样的几何图形叫做燕尾模型，看一下它都有哪些性质:Saabg：SaacG=Sa

6、bgESacge=BECES»ABGA：SBG(=S»AGAF：SGCf=AF：CFS»aagc：SabgC=SaagDSabgcFADBD例、如图，E、D分别在AGBC上，且AE:EC=2:3,BDDC=1:2,AD与BE交于点F,四边形DFEC勺面积等于22平方厘米，求三角形ABC的面积。A【详解】如图所示，连接方构造燕尾模型.根据燕尾模型性质可知，又钻/RD=J_、$温避_/左二二ucrDC2斯EC,现设s皿a份,则3皿=2佛、S52份、粉、ij£F=4苫-=1.6份、Sqcjf=4K-=2.4份。2+32+3所以邑它=2+2.扣4.4份.枭诙=2

7、+3+4=9伤。曷皿=22+gx9*5(平方厘米八二、五大模型经典例题详解(1)等积变换模型例1、图中的E、F、G分别是正方形ABCDE条边的三等分点，如果正方形的边长是12,那么阴影部分的面积是多少？【详解】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3条边出、BC.CD就被分成了相等的三段,把点H在这些分点、正方形的顶点连接，这样就把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形，同时我们把空白部分的6个三角形按顺时针标记1飞.这9个三角形的底边都是正方形边长的三分之一j阴影部分被分割成了其中的3个三角形*根据等积变换模型可知，CD边上的阴晶三角形的面积与第1、2个三角形相等iBC边上的阴影三角开彳与

8、第3、4个三角形相等AB边上的阴影三角形与第5、6个三角形相等.因此,阴影面积是空白面积的二分之一，是正方形面积的三分之一，即:12X129土犯.例2、如图，QE、P、M分别为直角梯形ABCDM边ARCD上的点，且DQCRME彼此平行，已知AD=5BC=7AE=5EB=3求阴影部分三角形PQM勺面积。A口1详解】如图所示，连接CE、DE,由干DQ、ME平行，根据同底等高知,S&0MF=5M如?同理根据BC、HE平仃，有§立睦-5gtt，所以S&晦.=5ABb由于四边用ABCD为直角梯形，所以、3,8£=5看3-$皿一£.工=；（5+了15+3卜；*

9、5乂5-：乂3乂7=25,即阴影三上上角形PQH的面积为25。（2）鸟头（共角）定理模型例1、如图所示，平行四边形ABCDBE=ABCF=2CBGD=3DCHA=4AD平行四边形ABCD勺面积为2,求平行四边形ABC由四边形EFGH勺面积比。【详解】如图所示，连接AC.BD,由于在AEBF中，乙4C与互补，所以根据鸟头定理有沁=箓e=罟=因为S-；、7A3s=1，所以S皿=3;3江EF逝xHFIXj52同理可得义斤=4乂2=晨$包片4*2=g、5=5x3=15c宙日s二-口uTXBCD_t_J'、S”也3+2一%1屋例2、如图所示，4ABC的面积为1,BC=5BDAC=4ECDG=GS

10、=SEAF=FG求AFGS的面积。根据鸟头定理有梦=臂器"言=2,所以5皿IS【详解】首先根据等积变换模型知1aFGS、SgF-5江GF5瓢=萼号等"所以$山"=25皿人所以品应=5Agb*45JlCr15C/1乂1法=懿唱W'所以"=2Sg所以即哈(3)蝴蝶模型例1、如图，正六边形面积为1,那么阴影部分面积为多少?K详解】如图所示，连接阴影四边形的对角线，此时正六这帮被平分成两半小设也8的面积为1份，根据正六边形的特殊性质知，K=2AD,再根据梯形蝴蝶定理，标出各个三角形所占份故，所以整个正六边用祓分成了18份，阴影部分站其中的8份，即阴影部分

11、面积为；1&9例2、如图，长方形ABC徽CEDF分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，求余下的四边形OFBC勺面积。AEFBAEFSDCDC【详解】如图所示，连接DE、在梯形EDCF中，根据梯形拗蝶定理知,Jan=§汨k*匿8V此二址=2x8=16、即*迂5，入Sm口=8+4=12pS$方壬ms=12x2=24?5工祖看coc=24-n-2-8=9。例3、如图，已知正方形ABCD勺边长为10厘米，E为AD的中点，F为CE的中点，G为BF的中点，求三角形BDG勺面积。51详解】设BD与CE的交点为0,连接BE、DF,在梯形BCDE中，由梯形蝴蝶定理知，EO:CO

12、=5:,而，亚°=工，正万旁、*诋口=豆闻讯tscD，所以EOCO=1:又因为F为CE的中点，所以即:叩=2:1，在四边形BFDE中，由蝴蝶定理知，£0下0=£也办33砧=2:1，所以q一晨一葭口abfd=彳°i5irri=口三方弓3e0所以31曲?=sBFD-77"S正七号皿:D=-X10xl0-6.25（平方厘米）21616（4）相似模型例1、如图，正方形的面积为1,E、F分别为ARBD的中点，GC=1/3FC求阴影部分的面积。K详解】如图所示，作FH垂直BC于点H,GI垂直BC于点I,根据金字塔模型知，CI=CH=CG：CF=1：3;因为

13、F是BD的中点，所以CH二BlCI：CE二16即BI：BC=C6-1）：6二5:6,所以$.卧田=L乂1义2=。即22624例2、如图，长方形ABCDE为AD的中点，AF与BDBE分别交于G和H,OE垂直于AD交AD于E点，交AF于O点，已知AH=5,HF=3,求AG的长。D【详解】根据长方形的性质知，AB平行于DF,再根据沙漏模型知AB:DF=AH:HF=5:3又因为£为X。的中点:,困心=1;2达氏口五二5二二10：32利用相似三角形性质可得*且二WB:O£=lU；m二达。二工工H尸二工（5+3）二4221040.-4C?=4x=1313(5)燕尾模型例1、如图，正方形

14、ABCD勺面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，求四边形BGHF勺面积。K详解勘口图,连接由于BE与CD平行，根据沙漏模型知，GD=BE；CD=1:2.现设5即=1份，根据燕尾模型知，1皿川伤、5包二2份；因此整个正方形ABCD就是f（142+2）乂2=10（份），四边用EGHF占：1x1+1x2=-（份八所236以S工*由=120+10乂石=14(平方厘米)。例2、如图，在ABC中，BD=2DACE=2EBAF=2FC那么ABC的面积是阴影GHI面积的几倍？t详解】如图，连接AI.根据燕尾模型知,54门:5f学FC：AF1.251113c7-3&白RD：£M=2:L所艮；Siac?；Sa即=1;2;4?那么22SaBC7=；7；5asc=1S蓝1+2+47同理可知，S2221工g=5S.q、SaW/二y5业亡3所以5M宅3（7田二（1一